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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,次型正定惯性指数,*,4.2 二次型的标准形与规范形,一、 用配方法化二次型为标准形,次型正定惯性指数,一、 用配方法化二次型为标准形,次型正定惯性指数,令,次型正定惯性指数,实对称矩阵,A,经过非退化线性替换,二次型,f,化为:,存在可逆矩阵,C,使得,次型正定惯性指数,二、 用正交替换化二次型为标准形,实对称矩阵A,存在,正交矩阵,Q,使得,存在,正交矩阵,Q,使得,Q,T,AQ=,A的所有特征值,实对称矩阵A,经过,正交替换,标准形,二次型化为：,次型正定惯性指数,例1 用正交替换化二次型,为标准形,解,二次型对应的矩阵为,特征值：,再将,单位化,得,将,1,2,正交化得,并写出所作的线性替换.,是正交矩阵,次型正定惯性指数,是正交矩阵,经过非退化的线性替换,二次型化为,次型正定惯性指数,次型正定惯性指数,例1 考虑二次型,有,称此二次型是,正定二次型,.,相应的矩阵,为,正定矩阵,.,设实二次型,f,(,x,1,x,2, ,x,n,) =,X,T,AX,(,A,T,=,A,) ,如果对任何,则称二次型,A称为,正定矩阵.,是,正定二次型,.,X,= (,x,1,x,2, ,x,n,),T,o,，,有,例1 二次型,对任何,为,正定,二次型,X,=,(,x,1,x,2, ,x,n,),T,o,，,二次型,f,(,x,1,x,2, ,x,n,) =,x,1,2,+,x,2,2,+ +,x,r,2,(,r,n,),次型正定惯性指数,4.3 二次型和对称矩阵的有定性,一、正定二次型和正定矩阵,二次型,f,(,x,1,x,2, ,x,n,) =,x,1,2,+,x,2,2,+ +,x,r,2,(,r,n,),对,x,=,( 0 , , 0 ,f,(,x,1,x,2,x,n,) = 0 .,x,r,+1, ,x,n,),T,o,，有,故二次型,不是正定二次型,.,例1 二次型,为,正定,二次型,对任何,X,=,(,x,1,x,2, ,x,n,),T,o,，,次型正定惯性指数,|A|大于零,二、二次型正定性的判别,如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢?,以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件.,准则1,准则2,f,的正惯性指数为n,f,正定,准则3,A的特征值都大于零,对称矩阵A为正定矩阵,次型正定惯性指数,称为矩阵A的,顺序主子式,.,准则4,对称阵A为正定矩阵,A的顺序主子式都大于零.,例1 判别下列矩阵或二次型是否正定, A正定,次型正定惯性指数,例1 判别下列矩阵或二次型是否正定,解,二次型对应的矩阵为：,该二次型正定, A正定,次型正定惯性指数,例2, 取何值时,下面的二次型正定,解,二次型对应的矩阵为：,当 时，二次型正定.,Ex,2,:, 取何值时,下面的二次型正定,次型正定惯性指数,B正定.,次型正定惯性指数,次型正定惯性指数,三、二次型的有定性,也不是 负定的.,有,二次型 是,正,定的,有,二次型 是,负,定的,有,二次型 是,半正,定的,使,有,二次型 是,半负,定的,使,例 二次型,不是 正定的;,(半),(半),此时,称为,不定的,.,次型正定惯性指数,1.二次型的负定性,矩阵A负定,矩阵 正定.,即,奇数阶,顺序主子式小于零，,偶数阶,顺序主子式大于零.,A的顺序主子式都为,负,.,次型正定惯性指数,
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