因式分解(常用方法)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,因式分解,因式分解的定义与提公因式法,复习回顾,口答：,问题：,630,可以被哪些整数整除？,解决,这个问题，需要对,630,进行分解质因数,630 = 23,2,57,类似地，在式的变形中，,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,以便于更好的解决一些问题,新课引入,试试看,(,将下列多项式写成几个整式的乘积,),回忆前面整式的乘法,上面我们把一个,多项式,化成了几个,整式,的,积,的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项,式,，也叫做把这个多项式,。,分解因式,因式分解,因式分解,整式乘法,因式分解与整式乘法是,逆变形,依,照定义，判断下列变形是不是因式分解,（把,多项式,化成几个,整式,的,积,）,创设情景,学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积。,a,b,c,m,a,b,c,m,方法一：,S,=,m,(,a,+,b,+,c,),方法二：,S,=,ma,+,mb,+,mc,m,m,方法一：,S,=,m,(,a,+,b,+,c,),方法二：,S,=,ma,+,mb,+,mc,m,(,a,+,b,+,c,),=,ma,+,mb,+,mc,下面两个式子中哪个是因式分解？,在式,子,ma,+,mb,+,mc,中，,m,是这个多项式中每一个项都含有的因式，叫,做,。,公因式,ma +,mb,+ mc = m,(,a,+,b,+,c,),ma +,mb,+ mc = m,(,a,+,b,+,c,),在下,面这个式子的因式分解过程中，先,找到,这个多项式的,公因式,，再将,原式除以公因式,，得到一个新多项式，将这个多项式与公因式相乘即可。,这种方法叫做,提公因式法,。,提公因式法一般步骤：,1,、找到该多项式的公因式，,2,、将原式除以公因式，得到一个新多项式，,3,、把,它与公因式相乘。,8a,3,b,2,12ab,3,c,的,公因式,是什么？,最大公约数,相同,字母最,低,指数,公因式,4,a,b,2,一,看,系数,二,看字母,三,看指数,观察方向,例,1,把,8,a,3,b,2,+ 12,ab,3,c,分解因式,.,解,:,8,a,3,b,2,+12,ab,3,c,=4,ab,2,2,a,2,+4,ab,2,3,bc,=4,ab,2,(2,a,2,+3,bc,).,例,2,把,2,a,(,b,+,c,) -3(,b,+,c,),分解因式,.,分析,:,(,b,+,c,),是这个式子的公因式,可以直接提出,.,解,:,2,a,(,b,+,c,) 3(,b,+,c,),=(,b,+,c,)(2,a,-3).,做一做,按照提公因式法因式分解。,公式法,利用完全平方公式因式分解,利用平方差公式因式分解,公式回顾,平方差公式,：,完全平方公式,：,立方和公式：,立方差公式：,考试不会涉及,选学，不做统一要求，,维度,A,复习回顾,还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？,平方差公式：,完全平方公式：,计算：,= (999+1)(9991),此处运用了什么公式,?,新课引入,试计算：,999,2, 1,1,2,= 1000998 = 998000,平方差公式,逆用,因式分解,:,（,1,）,x,2, ;,（,2,）,y,2,4 25,2,2,5,2,= (,x,+2)(,x,2),= (,y,+5)(,y,5),这些计算过程中都,逆用,了平方差公式,即：,此即运用平方差公式进行因式分解 用文字表述为：,两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。,尝试练,习,(,对下列各式因式分解,),：,a,2, 9 = _, 49 ,n,2,= _, 5,s,2, 20,t,2,= _, 100,x,2, 9,y,2,=_,(,a,+3)(,a,3),(7+,n,)(7,n,),5(,s,+2,t,)(,s,2,t,),(10,x,+3,y,)(10,x,3,y,),=,y,2, 4,x,2,= (,y,+2,x,)(,y,2,x,),=,(,x,2,),2, 1,2,= (,x,2,+1) (,x,2,1),（,1,）, 4,x,2,+,y,2,解：原式,（,2,）,x,4, 1,解：原式,(,x,2,1),=, ( 4,x,2,y,2,),= (2,x,+,y,)(2,x,y,),(,x,+1)(,x,1),因式分解一定要分解彻底,!,例如：,1,（,3,）,6,x,3, 54,xy,2,解：原式,=,6,x,(,x,2,9,y,2,),= 6,x,(,x,+3,y,)(,x,3,y,),（,4,）,(,x,+,p,),2, (,x,q,),2,解：原式,= (,x,+,p,)+(,x,q,) , (,x,+,p,)(,x,q,) ,= (2,x,+,p,q,)(,p,+,q,),Y,X,Y,X,Y,X,例如：,2,做一做,利用平方差公式因式分解。,公式法,利用完全平方公式进行因式分解,复习回顾,还记得前面学的完全平方公式吗？,计算：,新课引入,试计算：,999,2,+ 1998 + 1,29991,= (999+1),2,= 10,6,此处运用了什么公式,?,完全平方公式,逆用,就像平方差公式一样，,完全平方公式,也可以,逆用,，从而进行一些简便计算与因式分解。,即：,这个公式可以用文字表述为：,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的,两,倍，等于这两个数的和（或差）的平方。,牛刀小试,(,对下列各式因式分解,),：,a,2,+6,a,+9 = _,n,2,10,n,+25 = _, 4,t,2,8,t,+4 = _, 4,x,2,12,xy,+9,y,2,= _,(,a,+3),2,(,n,5),2,4(,t,1),2,(2,x,3,y,),2,完全平方式的特点：,1,、必须是,三项式,（或可以看成三项的）,2,、有两个,同号,的平方项,3,、有一个乘积项（等于平方项底数的,2,倍,）,简记口诀：,首平方，尾平方，首尾两倍在中央。,16,x,2,+ 24,x,+ 9, 4,x,2,+ 4,xy,y,2, 4,x,2, 8,xy,+ 4,y,2,=,(4,x,+3),2,= ,(4,x,2,4,xy,+,y,2,),= ,(2,x,y,),2,=,4,(,x,2,2,xy,+,y,2,),= 4,(,x,y,),2,例如,做一做,用完全平方公式进行因式分解。,做一做,用恰当的方法进行因式分解。,备选方法：,提公因式法,平方差公式,完全平方公式,因式分解,十字相乘法,一、提公因式法,只需,找到,多项式中的,公因式,，然后用,原多项式除以公因式,，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。,提公因式法,随堂练习：,1,）,15(,m,n,)+13(,n,m,),2,）,4(,x,+,y,)+4(,x,3,y,),复习回顾,二、公式法,只需发现多项式的,特点,，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法,结合,或多种公式,结合,。,接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。,复习回顾,常用公式,1,、,(,a,+,b,)(,a,b,)=,a,2,b,2,（,平方差公式）,2,、,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,（完全平方公式）,3,、,(,a,+,b,+,c,),2,=,a,2,+,b,2,+,c,2,+2,ab,+2,ac,+2,bc,4,、,a,3,+,b,3,=(,a,+,b,)(,a,2,ab,+,b,2,),及,a,3,b,3,=(,a,b,)(,a,2,+,ab,+,b,2,),（立方和、差公式）,5,、,(,a,+,b,),3,=,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,（完全立方和公式）,6,、,(,x,+,p,)(,x,+,q,)=,x,2,+(,p,+,q,),x,+,pq,7,、,x,2,+,y,2,+,z,2,+,xy,+,xz,+,yz,公式推导,复习回顾,这是公式,x,2,+,y,2,+,z,2,+,xy,+,xz,+,yz,的推导过程,不要与,(,x,+,y,+,z,),2,=,x,2,+,y,2,+,z,2,+,2,xy,+,2,xz,+,2,yz,混淆,复习回顾,公式法,随堂练习：,1,）,(,a,2,10,a,+25)(,a,2,25),2,）,x,3,+3,x,2,+,3,x,+1,二、公式法,只需发现多项式的,特点,，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法,结合,或多种公式,结合,。,复习回顾,三、十字相乘法,试因式分解,6,x,2,+7,x,+2,。,这里就要用到,十字相乘法,（适用于二次三项式）,。,既然是二次式，就可以写成,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,),的形式。,(,ax,+,b,)(,cx,+,d,)=,ac,x,2,+,(,ad,+,bc,),x,+,bd,所,以，需要将,二次项系数,与,常数项,分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。,= 17,3,x,2,+ 11,x,+ 10,6,x,2,+ 7,x,+ 2,2,3,1,2,4,+ 3,= 7,6,x,2,+7,x,+2=(,2,x,+,1,)(,3,x,+,2,),1,3,5,2,2,+ 15,= 11,1,3,2,5,5,+ 6,3,x,2,+11,x,+10=(,x,+,2,)(,3,x,+,5,),= 6,5,x,2, 6,xy, 8,y,2,试因式分解,5,x,2,6,xy,8,y,2,。,这里仍然可以用,十字相乘法,。,1,5,2,4,4, 10,5,x,2,6,xy,8,y,2,=(,x,2,y,)(,5,x,+,4,y,),简记口诀：,首尾分解，交叉相乘，求和凑中。,十字相乘法,随堂练习：,1,）,4,a,2,9,a,+2,2,）,7,a,2,19,a,6,3,）,2(,x,2,+,y,2,)+5,xy,综合训练,