二、2直线、平面平行的判定及其性质

*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节：直线、平面平行的判定及其性质,第二章：,点、直线、平面之间的位置关系,例,2.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,它的各个顶点都在球,O,的球面上，问球,O,的表面积。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题,1.,如果球,O,和这个正方体的六个面都相切，则有,S=,。,变题,2.,如果球,O,和这个正方体的各条棱都相切，则有,S=,。,关键,：,找正方体的棱长,a,与球半径,R,之间的关系,知识点一,、直线与平面平行的判定,a,b,复习引入,直线与平面有什么样的位置关系？,(1),直线在平面内,有无数个公共点；,(2),直线与平面相交,有且只有一个 公共点；,(3),直线与平面平行,没有公共点,.,a,a,a,A,问题,1,、,观察开门与关门， 门的两边是什么位置关系当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？,l,感知定理,观察,问题,2,、,请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线,l,与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与,l,平行的直线吗？,l,动手体验,问题,3,、根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？,探究,归纳,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,符号表示,：,平,面外,的一条,直线,与此平,面内,的一条,直线平行,，则该,直线,与此平,面平行,.,直线与平面平行的判定定理,：,a,b,线线平行,线面平行,将线面平行转化为线线平行,解读定理,将空间问题转化为平面问题,三个条件不能少,例,1,、,如图,长方体 的,六个面中，,(1),与,AB,平行的平面,是,_;,(2),与 平行的平面,是,_;,(3),与,AD,平行的平面,是,_.,C,B,A,D,分析,:,OF,是,ABE,的中位线，,所以得到,AB,/,OF,.,A,B,C,D,F,O,E,连结,OF,，,例,2.,如图，四棱锥,ADBCE,中，,O,为底面正方形,DBCE,对角线的交点，,F,为,AE,的中点,.,判断,AB,与平面,DCF,的位置关系，,并说明理由,.,.,例,3.,如图，空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,分别是,AB,，,AD,的中点,.,求证：,EF,平面,BCD.,分析：,要证明线面平行,只需证明线线平行，即,在平面,BCD,内找一条直,线平行于,EF,，由已知的,条件怎样找这条直线？,A,B,C,D,E,F,证明：,EF,BD.,EF,平面,BCD,.,BD,平面,BCD,AB,、,AD,的中点，,在,ABD,中,E,、,F,分别是,EF,平面,BCD,，,连接,BD,，,已知：空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,.,求证：,EF,/,平面,BCD,.,A,B,C,D,E,F,注意：,证线面平行三个条件缺一不可,.,证明步骤,：,第一步：证线线平行；第二步：证线面平行,_.,如图，在空间四边形,ABCD,中，,E,、,F,分别为,AB,、,AD,上的点，若 ，,则,EF,与平面,BCD,的位置关系是,EF,/,平面,BCD,A,B,C,D,E,F,变式探究,平行线的判定定理,分析：,要证,BD,1,/,平面,AEC,，即要在平,面,AEC,内找一条直线,与,BD,1,平行,.,根据已知,条件应该怎样考虑辅,助线,?,例,.,如图，正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,DD,1,的中点，求证,:,BD,1,/,平面,AEC,.,E,D,1,C,1,B,1,A,1,D,C,B,A,O,有中点再找中点得中位线,如图,:ABCD,为平行四边形，,M,N,分别是,AB,PC,的中点,求证,MN/,面,PAD,H,P,A,B,C,D,N,M,分析：,关键,在平面,PAD,内找,MN,平行线，有中点再中点找中点，中点和中点相连得中位线，从而得到平行线,。,变式探究,1.,要证明直线与平面平行可以运用线面平行的判定定理,；,线线平行 线面平行,2.,能够运用定理的条件要满足三个条件：,3.,运用定理的关键,找平行线,；找平行线又经常会用到,三角形中位线、梯形的中位线、平行四边形、平行线的判定定理,平行公理,.,(,一般题中有中点再找中点,有分点再找分点得平行关系,.),“,一线面内、,一线,面外、,两线平行,”,规律总结,4,数学思想方法：,转化化归的思想方法：,将线面平行转化为线线平行,将空间问题转化为平面问题,C,1,A,C,B,1,B,M,N,A,1,如图，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,M,、,N,分别是,BC,和,A,1,B,1,的中点，求证,:MN,平面,AA,1,C,1,C,F,证明：设,A,1,C,1,中点为,F,连结,NF,，,FC,N,为,A,1,B,1,中点，,M,是,BC,的中点，,N,FCM,为平行四边形,故,MNCF,例：,B,1,C,1,NF,又,BC,B,1,C,1,，,M,C,1/2B,1,C,1,即,MC,NF,而,CF,平面,AA,1,C,1,C,MN,平面,AA,1,C,1,C,MN,平面,AA,1,C,1,C,大图,例 ：在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,.,（,1,）作出过直线,AC,且与直线,BD,1,平行的截面，并说明理由,.,（,2,）设,E,，,F,分别是,A,1,B,和,B,1,C,的中点，求证：,直线,EF/,平面,ABCD.,A,B,C,C,1,D,A,1,B,1,D,1,E,F,M,G,H,如图所示,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，侧面对角线,AB,1,，,BC,1,上分别有两点,E,，,F,，且,B,1,E,=,C,1,F,.,求证：,EF,平面,ABCD,.,分析：,根据直线与平面平行的判定定理或平面与平面平行的性质定理来证明,.,证明,分别过,E,，,F,作,EM,AB,于,M,，,FN,BC,于,N,，连接,MN,.,BB,1,平面,ABCD,，,BB,1,AB,，,BB,1,BC,，,EM,BB,1,，,FN,BB,1,，,EM,FN,.,又,B,1,E,=,C,1,F,，,EM,=,FN,，,故四边形,MNFE,是平行四边形，,EF,MN,.,又,MN,平面,ABCD,EF,平面,ABCD,，,所以,EF,平面,ABCD,.,例：,如图所示，已知,S,是正三角,形,ABC,所在平面外的一点，且,SA,=,SB,=,SC,，,SG,为,SAB,上的高，,D,、,E,、,F,分,别是,AC,、,BC,、,SC,的中点，试判断,SG,与平面,DEF,的位置关系，并给予证明,.,解,SG,平面,DEF,，证明如下：,连接,CG,交,DE,于点,H,，连接,FH,，,如图所示,.,DE,是,ABC,的中位线，,DE,AB,.,在,ACG,中，,D,是,AC,的中点，,且,DH,AG,.,H,为,CG,的中点,.,FH,是,SCG,的中位线，,FH,SG,.,又,SG,平面,DEF,，,FH,平面,DEF,，,SG,平面,DEF,.,方法二,EF,为,SBC,的中位线，,EF,SB,.,EF,平面,SAB,，,SB,平面,SAB,，,EF,平面,SAB,.,同理可证，,DF,平面,SAB,，,EF,DF,=,F,，,平面,SAB,平面,DEF,，又,SG,平面,SAB,，,SG,平面,DEF,.,23,知识点二：,直线与平面平行的性质,24,一条直线和一个平面有三种位置关系：,（,1,）直线在平面内,有无数个公共点。,（,2,）直线与平面相交,有且只有一个公共点。,（,3,）直线与平面平行,没有公共点。,线面平行的判定定理,:,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线,平行，那么,这条直,线与这个平面平行。,简记：,线线,平行,线面,平行。,a,b,c,思考：,如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？,由直线与平面平行可知，这条直线与这个平面内的任意一条直线都没有公共点，所以它们只能平行或异面。,26,请观察长方体中,A,1,B,1,、,AB,和平面,ABB,1,A,1,、平面,ABCD,的位置关系，你能从中得到什么启发？,观察思考,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,27,b,a,证明：,28,直线和平面平行的,性质,定理,如果一条直,线,和一个平,面,平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直,线,和交,线,平行。,b,a,注意：,1,、定理三个条件缺一不可。,2,、简记,:,线面,平行,线线,平行,。,29,例、设平面,、,、,两两相交，且 ，若 ，求证：,转化思想,：线线平行,线面平行,线线平行,证明：,30,2.,线线平行,线面平行,1.,直线与平面平行的性质定理,总结：,31,例：,32,(1),(2),证明：,33,证明思路是：,线,/,线,线,/,面,线,/,线,线,/,面,(1),(2),线,/,面,34,例：,分析,证法,1,证法,2,35,证法,2,利用相似三角形对应边成比例,及平行线分线段成比例的性质,（略写）,证法,1,36,我们今天有哪些收获？还有什么疑惑？,2,、直线和平面平行的性质定理,3,、直线和平面平行的判定定理和性质定理可以进行“,线,线,平行”和“,线面平行”的相互转化，实现空间问题平面化,线线平行,在平面内作或找一直线,线面,平行,经过直线作或找平面与平面相交直线,线线,平行,小结：,1,、,直线和平面平行的判定定理,37,38,A,3,、,39,D,4,、,例： 两个全等的正方形,ABCD,和,ABEF,所在的平面相交于,AB,，,MAC,，,NFB,，且,AM,FN,，求证：,MN,平面,BCE.,思路点拨,方法一：,过,M,作,MP,BC,，,过,N,作,NQ,BE,，,P,、,Q,为垂足,(,如图,1),，,连结,PQ.,MP,AB,，,NQ,AB,，,MP,NQ.,又,NQ,BN,CM,MP,，,四边形,MPQN,是平行四边形,.,MN,PQ.,又,PQ,平面,BCE,，而,MN,平面,BCE,，,MN,平面,BCE.,方法二：,过,M,作,MG,BC,，交,AB,于,G(,如图,2),，连结,NG.,MG,BC,，,BC,平面,BCE,，,MG,平面,BCE,，,MG,平面,BCE.,又,AM,FN,，,AC,BF,，, ，,GN,AF,BE,，同样可证明,GN,平面,BCE.,MGNG,G,，,平面,MNG,平面,BCE.,又,MN,平面,MNG,，,MN,平面,BCE.,如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，侧面对角,线,AB,1,，,BC,1,上分别有两,点,M,，,N.,且,B,1,M,C,1,N.,求证,MN,平面,ABCD.,证明：方法一：,分别过,M,、,N,作,MM,AB,于,M,，,NN,BC,于,N,，,连结,MN.,BB,1,平面,ABCD,，,BB,1,AB,，,BB,1,BC.,MM,BB,1,，,NN,BB,1,.,MM,NN,，又,B,1,M,C,1,N,，,MM,NN.,故四边形,MMNN,是平行四边形，,MN,MN,，,又,MN,平面,ABCD,，,MN,平面,ABCD,，,MN,平面,ABCD.,方法二：,过,M,作,MG,AB,交,BB,1,于,G,，连接,GN,，则,，,B,1,M,C,1,N,，,B,1,A,C,1,B,，, ，,NG,B,1,C,1,BC.,又,MGNG,G,，,ABBC,B,，,平面,MNG,平面,ABCD,，,又,MN,平面,MNG,，,MN,平面,ABCD.,（,1,）平行,（,2,）相交,复习回顾：,平面与平面有几种位置关系？分别是什么？,知识点三：平面与平面平行的判定,认识,1,如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行,认识,2,如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行,对面面平行的认识,（,1,）中的平面,，,不一定平行。如图，借助长方体模型，平面,ABCD,中直线,AD,平行平面,BCC,B,，但平面,ABCD,与平面,BCC,B,不平行。,探究：,探究：,P,Q,如果平面,内的两条直线是相交的直线，两个平面会不会一定平行？,如果平面,内的两条直线是平行直线，平面,与平面,不一定平行。如图，,ADPQ,，,AD,平面,BCC,B,，,PQBCC,B,，但平面,ABCD,与平面,BCC,B,不平行。,平面与平面平行的判定定理：,一个平面内有两条,相交,直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,.,简述为：,线,面,平行,面面平行,a,b,A,/,即：,a,b,b/,a/,a,b=A,线不在多，重在,相交,直线的条数不是关键,直线相交才是关键,判定定理剖析：,判定定理,:,一个平面内,两条,相交,直线,分别平行于,另一个平面，那么这两个平面平行,.,直线,符号语言,：,证题思路：,要证明两平面平行，,关键是,在其中一个平面内,找出,两条相交直线分别平行于另一个平面,.,练习：判断下列命题正确与否。,1,）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,2,）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,3,）如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,4,）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,（,5,）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则,与 平行；,（,6,）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则,与 平行；,（,7,）平行于同一直线的两个平面平行；,（,8,）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平,行；,（,9,）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平,行的平面,（,10,）与同一条直线所成角相等两个平面平行,.,（,11,）垂直于同一条直线的两个平面平行,.,（,12,）平行于同一平面的两个平面平行,.,例：如图，在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是棱,BC,与,C,1,D,1,的中点。 求证：面,EFG/,平面,BDD,1,B,1,.,G,分析：由,FGB,1,D,1,易得,FG,平面,BDD,1,B,1,同理,GE ,平面,BDD,1,B,1,FG,GE,G,故得面,EFG/,平面,BDD,1,B,1,证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面,.,例、已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,求证：平面,AB,1,D,1,平面,C,1,BD.,分析：在四边形,ABC,1,D,1,中，,ABC,1,D,1,且,AB,C,1,D,1,故四边形,ABC,1,D,1,为平行四边形,.,即,AD,1,BC,1,思路：只要证明一个平面内有两条相交的直线与另一个平面平行,证明：,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体,D,1,C,1,/A,1,B,1,，,D,1,C,1,=A,1,B,1,AB/A,1,B,1,，,AB=A,1,B,1,D,1,C,1,/AB,，,D,1,C,1,=AB,四边形,D,1,C,1,BA,为平行四边形, D,1,A/C,1,B,又,D,1,A,平面,C,1,BD,，,C,1,B,平面,C,1,BD,，,D,1,A/,平面,C,1,BD,同理,D,1,B,1,/,平面,C,1,BD,又,D,1,A D,1,B,1,=D,1,D,1,A,平面,AB,1,D,1,D,1,B,1,平面,AB,1,D,1,平面,AB,1,D,1,/,平面,C,1,BD.,第一步：在一个平面内找出两条相交直线；,第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平面。,第三步：利用判定定理得出结论。,证明两个平面平行的一般步骤：,例：,反例,3,分别在两个平行平面内的两条直线都平行,4,如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,5,如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,例,:,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,若,M,、,N,、,E,、,F,分别是棱,A,1,B,1,，,A,1,D,1,，,B,1,C,1,，,C,1,D,1,的中点，求证：平面,AMN/,平面,EFDB,。,A,B,C,A,1,B,1,C,1,D,1,D,M,N,E,F,线面平行 面面平行,线线平行,例：,推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行,.,证明面面平行的方法有：,1,面面平行的定义；,2,面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；,3,利用垂直于同一条直线的两个平面平行；,4,两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；,5,利用,“,线线平行,”,、,“,线面平行,”,、,“,面面平行,”,的相互转化,1,、如图：三棱锥,P-ABC, D,E,F,分别是棱,PA,，,PB,，,PC,中点，,求证：平面,DEF,平面,ABC,。,P,D,E,F,A,B,C,2,、如图，,B,为,ACD,所在平面外一点，,M,，,N,，,G,分别为,ABC,，,ABD,，,BCD,的重心，求证：平面,MNG,平面,ACD,。,B,A,C,D,N,M,G,N,M,F,E,D,C,B,A,H,例：,如图所示，平面,ABCD,平面,EFCD = CD,，,M,、,N,、,H,分别是,DC,、,CF,、,CB,的中点，,求证 平面,MNH /,平面,DBF,例,.,正方体,ABCD - A,1,B,1,C,1,D,1,中,求证,:,平面,AB,1,D,1,/,平面,C,1,BD,A,D,1,D,C,B,A,1,B,1,C,1,例：已知,:,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中, E,、,F,分别是,CC,1,、,AA,1,的中点，求证,:,平面,BDE/,平面,B,1,D,1,F,A,D,1,D,C,B,A,1,B,1,C,1,E,F,G,如图所示，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,(1),求证：平面,A,1,BD,平面,B,1,D,1,C,；,(2),若,E,、,F,分别是,AA,1,、,CC,1,的中点，,求证：平面,EB,1,D,1,平面,FBD,.,思维点拨：,(1),证,BD,平面,B,1,D,1,C,，,A,1,D,平面,B,1,D,1,C,；,(2),证,BD,平面,EB,1,D,1,，,DF,平面,EB,1,D,1,.,【,例,】,证明：,(1),由,B,1,B,綊,DD,1,，得四边形,BB,1,D,1,D,是平行四边形，,B,1,D,1,BD,，又,BD,平面,B,1,D,1,C,，,B,1,D,1,平面,B,1,D,1,C,，,BD,平面,B,1,D,1,C,.,同理,A,1,D,平面,B,1,D,1,C,.,而,A,1,D,BD,D,，,平面,A,1,BD,平面,B,1,D,1,C,.,(2),由,BD,B,1,D,1,，得,BD,平面,EB,1,D,1,.,取,BB,1,中点,G,，得,AE,綊,B,1,G,，从而,B,1,E,AG,.,又,GF,綊,AD,，,AG,DF,.,B,1,E,DF,，,DF,平面,EB,1,D,1,.,又,BD,DF,D,，,平面,EB,1,D,1,平面,FBD,.,如图所示，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,是,BC,上一点，,且,A,1,B,平面,AC,1,D,，,D,1,是,B,1,C,1,的中点,求证：平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,变式,3,：,证明,：,如图所示，连结,A,1,C,交,AC,1,于,E,.,四边形,A,1,ACC,1,是平行四边形，,E,是,A,1,C,的中点，连结,ED,.,A,1,B,平面,AC,1,D,，,平面,A,1,BC,平面,AC,1,D,=,ED,，,A1B,ED,.,E,是,A,1,C,的中点,，,D,是,BC,的中点,D,1,是,B,1,C,1,的中点,，,BD,1,C,1,D,，,A1D,1,AD,，,又,A,1,D,1,BD,1,=D,1,，,平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,当,AB,与,CD,异面时，设平面,ACD,=DH,，且,DH=AC,.,，,平面,ACDH=AC,，,AC,DH,，,四边形,ACDH,是平行四边形，,在,AH,上取一点,G,，使,AG,GH=CF,FD,，,又,AE,EB=CF,FD,，,GF,HD,，,EG,BH,，,又,EG,GF=G,，,平面,EFG,平面,.,EF,平面,EFG,，,EF,.,综上，,EF,.,(2),解,：如图所示，连接,AD,，取,AD,的中点,M,，连接,ME,，,MF.,E,，,F,分别为,AB,，,CD,的中点，,ME,BD,，,MF,AC,，,且,ME= BD=3,，,MF= AC,=2,，,EMF,为,AC,与,BD,所成的角,(,或其补角,),，,EMF,=60,或,120,，在,EFM,中由余弦定理得,，,【,方法规律,】,1,直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意,“,一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线,”,的错误结论,2,以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利用转化和降维的思想方法求解其他几何参量,3,线面平行和面面平行的判定和性质：,4,要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题对此需强调两点：第一，,辅助线、辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线或辅助面有,什么性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断，否则谬误难免,.,【,高考真题,】,(2009,福建卷,),设,m,，,n,是平面,内的两条不同直线；,l,1,，,l,2,是平面,内的,两条相交直线，则,的一个充分而不必要条件是,(,),A,m,且,l,1,B,m,l,1,且,n,l,2,C,m,且,n,D,m,且,n,l,2,【,规范解答,】,解析：,选项,A,作条件，由于这时两个平面中各有一条直线与另一个平面平行，不能得到,，但,却能得到选项,A,，故选项,A,是必要而不充分条件；选项,B,作条件，此时,m,，,n,一定是平面,内的两条相交直线,(,否则，则推出直线,l,1,l,2,，与已知矛盾,),，这就符合两个平面平行的判定定理的推论,“,一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行,”,，故条件是充分的，但是在,时，由于直线,m,，,n,在平面,内的位置不同，只能得到,m,，,n,与平面,平行，得不到,m,l,1,，,n,l,2,的结论，故条件是不必要的，故选项,B,中的条件是充分而不必要的；,选项,C,作条件，由于,m,，,n,只是平面,内的两条不同直线，这两条直线可能相互平行，故得不到,的必然结论，这个条件是不充分的，但,却能得到选项,C,，故选项,C,是必要而不充分条件；选项,D,作条件，由,n,l,2,可得,n,，平面,内的直线,m,，,n,分别与平面,平行，由于,m,，,n,可能平行，得不到,的必然结论，故这个条件是不充分的，当,时，只能得到,m,但得不到,n,l,2,，故条件也不是必要的，故选项,D,中的条件是既不充分也不必要的,答案：,B,本题是教材上两个平面平行的判定定理的推论，隐含了一个必然关系,“,m,，,n,为相交直线,”,而设计出来的，目的是考查考生对两个平面平行关系及充分必要关系的掌握,【,探究与研究,】,解本题很容易出现把充分而不必要条件判断为必要而不充分条件的错误，问题的根源是作为选择题，在题目的叙述上和一般问题中的叙述正好相反在一般问题的叙述中往往是给出条件,P,，,Q,后，设问,P,是,Q,的什么条件，其解决方法是看,P,Q,、,Q,P,能不能成立，确定问题的答案，但在选择题中却把,“,P,是,Q,的什么条件,”,中的条件,P,放到了选项中，而把,Q,放在了题干中，这就容易使考生误以为,“,Q,是,P,的什么条件,”,，导致错解题目考生在解决充要条件的问题时一定要注意题目中所说的什么是,P,，什么是,Q,.,解决这类空间线面位置关系的判断题，要善于利用常见的立体几何模型,(,如长方体模型，空间四边形模型,),作为选择题要善于排除最不可能的选项，如选项,A,、,C,，通过简单的回顾两个平面平行的判定定理，首先就可以排除，选项,D,和选项,C,基本一致，也可以排除，就剩下了选项,B.,解答选择题要学会排除法,.,(2009,山东卷,),如图，在直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，底面,ABCD,为等腰梯,形，,AB,CD,，,AB,4,，,BC,CD,2,，,AA,1,2,，,E,、,E,1,、,F,分别为棱,AD,、,AA,1,、,AB,的中点，求证：直线,EE,1,平面,FCC,1,.,思维点拨：,在平面,FCC,1,中找一条线平行于,EE,1,或证平面,ADD,1,A,1,平面,FCC,1,均可,.,【,例,】,证明：证法一：,取,A,1,B,1,的中点为,F,1,，连结,FF,1,，,C,1,F,1,，由于,FF,1,BB,1,CC,1,，所以,F,1,平面,FCC,1,，因此平面,FCC,1,即为平面,C,1,CFF,1,.,连结,A,1,D,，,F,1,C,，由于,A,1,F,1,D,1,C,1,CD,，所以四边形,A,1,DCF,1,为平行四边形，因此,A,1,D,F,1,C,.,又,EE,1,A,1,D,，得,EE,1,F,1,C,，而,EE,1,平面,FCC,1,，,F,1,C,平面,FCC,1,，故,EE,1,平面,FCC,1,.,证法二：,因为,F,为,AB,的中点，,CD,=2,，,AB,=4,，,AB,CD,，,所以,CD,AF,，因此四边形,AFCD,为平行四边形，所以,AD,FC,.,又,CC,1,DD,1,，,FC,CC,1,=,C,，,FC,平面,FCC,1,，,CC,1,平面,FCC,1,，所以平面,ADD,1,A,1,平面,FCC,1,，又,EE,1,平面,ADD,1,A,1,，所以,EE,1,平面,FCC,1,.,如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,，,O,为正方形,ABCD,的中,点，,求证,：,B,1,O,平面,A,1,C,1,D,.,变式,1,：,证明：,分别连结,BD,和,B,1,D,1,，,则,O,BD,且,A,1,C,1,B,1,D,1,O,1,.,BB,1,綊,DD,1,，,BB,1,D,1,D,是平行四边形,BD,綊,B,1,D,1,，,OD,綊,O,1,B,1,.,连结,O,1,D,，则四边形,B,1,ODO,1,是平行四边形，,B,1,O,DO,1,.,DO,1,平面,A,1,C,1,D,，,B,1,O,平面,A,1,C,1,D,，,且,B,1,O,DO,1,，,B,1,O,平面,A,1,C,1,D,.,已知,ABCD,是平行四边形，点,P,是平面,ABCD,外一点，,M,是,PC,的中点，,在,DM,上取一点,G,，过,G,和,AP,作平面交平面,BDM,于,GH,，求证：,AP,GH,.,思维点拨：,先将三角形中位线的线线平行关系转化为线面平行，,然后由线面平行转化为所要证明的线线平行,【,例,】,证明：,如图所示，连结,AC,，交,BD,于,O,，连结,MO,，,由,ABCD,是平行四边形得,O,是,AC,的中点又,M,是,PC,的中点，,知,AP,OM,，,AP,平面,BMD,，,DM,平面,BMD,，故,PA,平面,BMD,.,由平面,PAHG,平面,BMD,GH,，知,PA,GH,.,如图所示，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,(1),求证：平面,A,1,BD,平面,B,1,D,1,C,；,(2),若,E,、,F,分别是,AA,1,、,CC,1,的中点，,求证：平面,EB,1,D,1,平面,FBD,.,思维点拨：,(1),证,BD,平面,B,1,D,1,C,，,A,1,D,平面,B,1,D,1,C,；,(2),证,BD,平面,EB,1,D,1,，,DF,平面,EB,1,D,1,.,【,例,】,证明：,(1),由,B,1,B,綊,DD,1,，得四边形,BB,1,D,1,D,是平行四边形，,B,1,D,1,BD,，又,BD,平面,B,1,D,1,C,，,B,1,D,1,平面,B,1,D,1,C,，,BD,平面,B,1,D,1,C,.,同理,A,1,D,平面,B,1,D,1,C,.,而,A,1,D,BD,D,，,平面,A,1,BD,平面,B,1,D,1,C,.,(2),由,BD,B,1,D,1,，得,BD,平面,EB,1,D,1,.,取,BB,1,中点,G,，得,AE,綊,B,1,G,，从而,B,1,E,AG,.,又,GF,綊,AD,，,AG,DF,.,B,1,E,DF,，,DF,平面,EB,1,D,1,.,又,BD,DF,D,，,平面,EB,1,D,1,平面,FBD,.,如图所示，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,是,BC,上一点，,且,A,1,B,平面,AC,1,D,，,D,1,是,B,1,C,1,的中点,求证：平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,变式,3,：,证明,：,如图所示，连结,A,1,C,交,AC,1,于,E,.,四边形,A,1,ACC,1,是平行四边形，,E,是,A,1,C,的中点，连结,ED,.,A,1,B,平面,AC,1,D,，,平面,A,1,BC,平面,AC,1,D,=,ED,，,A1B,ED,.,E,是,A,1,C,的中点,，,D,是,BC,的中点,D,1,是,B,1,C,1,的中点,，,BD,1,C,1,D,，,A1D,1,AD,，,又,A,1,D,1,BD,1,=D,1,，,平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,求证,:,已知,:,所以,证明,:,因为 ,所以 与 没有公共点,因而交线,也没有公共点,又因为,都在平面 内,知识点四、两个平面平行的性质,:,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行,性质定理：,化归思想,合作探究：,如果两个平面平行，那么,（）一个平面内的直线是否平行于另一个平面,?,（）分别在两个平面内的两条直线是否平行？,对于第一个问题根据线面平行和面面平行的概,念可知正确,第二个问题有两中可能：分别是平行或异面,.,（,3,）平行于同一个平面的两个平面是否平行。,结论,2:,平行于同,一个平面的两个平面平行。,结论,1,：,如果两个平面平行，那么一个平面内的直线一定平行于另一个平面。,两个重要结论：,例,.,已知两条直线和三个平,行平面都相交，求证所截,得的线段对应成比例,已知,:,求证,:,直线 和 分别交于点,A,、,B,、,C,和点,D,、,E,、,F,，,分析,:,过点,A,作平行于直线 的直线交 于点 和 ，,连接,课堂小结,一个概念,1.,两个平面平行的定义,;,两个定理,1,面面平行的判定定理,2,面面平行的性质定理,一个思想,-,化归思想,b,a,A,判定定理,:,一个平面内,两条,相交直线,分别平行于,另一个平面，那么这两个平面平行,.,结论：,1,、,如果两个平面平行，那么一个平面的直线一定平行于另一个平面。,结论：,2,、,平行于同,一个平面的两个平面平行。,推论：,如果一个平面内有两条,相交,直线,分别平行于,另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行,.,线面平行,面面平行,线线平行,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行,性质定理：,例：平面,a,/,平面,b,，直线,a,，,b,相交于点,S,，且直线,a,分别交,a,、,b,于点,A,、,B,，直线,b,分别交,a,、,b,于点,C,、,D,已知,AS=1,，,BS=2,，,CD=9,，求线段,CS,的长。,a,b,S,B,D,A,C,a,b,b,a,S,B,D,A,C,a,b,例,:,1.,判断下列命题是否正确,并说明理由,.,(1).,过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行,. ( ),(2),过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面,. ( ),2.,六棱柱的表面中,互相平行的面最多,有,_,对,.,4,3.,求证,:,夹在两个平行平面间的平行线段相等,.,A,A,B,B,已知,:,求证,:,证明,:,例,如图,:,已知正方体,求证,:,定理的应用,证明,:,为正方体,D,1,C,1,/ AB,，且,D,1,C,1,= AB,，,D,1,C,1,AB,为平行四边形，,则,D,1,A/C,1,B.,所以 平面,AB,1,D,1,/,平面,C,1,BD.,所以，,D,1,A/,平面,C,1,BD,，,同理,，,D,1,B,1,/,平面,C,1,BD,，,D,1,C,1,A,1,A,B,C,D,B,1,A,D,B,C,P,