阶电路和二阶电路的时域分析课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,71 动态电路的议程及其初始条件,72 一阶电路的零输入响应,73 一阶电路的零状态响应,74 一阶电路的全响应,75 二阶电路的零输入响应,76 二阶电路的零状态响应和全响应,77 一阶电路和二阶电路的阶跃响应,78 一阶电路和二阶电路的冲激响应,*79 卷积积分,*710 状态方程,*711 动态电路时域分析中的几个问题,9/14/2024,1,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,1.,换路定则和电路初始值的求法；,2.掌握,一阶电路的,零输入响应、零状态响应、全响应的概念和物理意义；,3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；,4.了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的概念和物理意义；,5.会分析简单的二阶电路；,6.会计算一阶电路的阶跃响应、冲激响应；,7.会用系统法列写简单的状态方程。,内容提要与基本要求,9/14/2024,2,重点,(1)动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；,(2)一阶电路时间常数的概念与计算 ；,(3)一阶电路的零输入响应和零状态响应；,(4)求解一阶电路的三要素法；,(5)暂态分量(自由分量)和(稳态分量)强制分量概念；,(6)二阶电路的零输入、零状态和全响应的概念；,(7)二阶电路的方程和特征根、过渡过程的过阻尼、欠 阻尼及临界阻尼的概念及分析；,(8)二阶电路的阶跃响应。,9/14/2024,3,难点,(1)应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程；,(2)电路初始条件的概念和确定方法；,(3)二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方法和基本物理概念。,与其它章节的联系,本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。,9/14/2024,4,7-1 动态电路的方程及其初始条件,S,U,S,+,-,(,t,=,0),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,引 言,自然界事物的运动，在一定的条件下有一定的稳定状态。当条件发生变化时，就要过渡到新的稳定状态。从,一种稳定状态,转到,另一种新稳定状态,时，往往不能跃变，而是需要一定时间，或者说需要一个过程，在工程上称,过渡过程,。,接通电源，,C,被充电，,C,两端的电压逐渐增长到稳态值,U,s,，即要经历一段时间。电路中的,过渡过程虽然短暂，在实践中却很重要。,9/14/2024,5,一、动态电路的基本概念,含有动态元件,(,L,、,C,),的电路称为,动态电路,。描述,动态电路,的方程是微分方程。,全部由,线性非时变,元件构成的,动态电路,，其,描述方程是线性常系数微分方程,。,只含一个动态元件,(,L,或,C,),的电路，,其,描述方程是一阶线性常系数微分方程，称,一阶电路,。,一阶电路有,3,种分析方法：,1.,经典法,列写电路的微分方程，求解电流和电压。是一种在,时,间,域,中进行的分析方,法,。,9/14/2024,6,2. 典型电路分析法,记住一些典型电路(,RC,串联、,RL,串联、,RC,并联、,RL,并联等) 的分析结果，在分析非典型电路时可以设法套用。,3. 三要素法,只要知道一阶电路的三个要素，代入一个公式就可以直接得到结果，这是分析一阶电路的最有效方法。,任意N,S,u,C,C,+,-,i,S,(,t,=,0),S,U,S,+,-,(,t,=,0),+,-,u,C,R,C,i,典型电路,重点掌握3 ， 1、2 两种方法可掌握其中之一。,9/14/2024,7,二、换路及换路定则,1.,换路,电路结构或元件参数的改变,称为换路,。换路是在,t,=0 (或,t,=,t,0,) 时刻进行的。,含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件,L、C,，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要,S,24V,+,-,(,t,=,0),+,L,i,L,4,W,1,4,W,2,2,W,3,W,6H,6,W,-,u,L,12V,+,-,i,8,W,4,W,t,=0,S,纯电阻电路在换路时没有过渡期。,一定的时间来完成。,9/14/2024,8,2. 换路定则,在换路前后：,q,(,t,),=,q,(,t,0,),+,t,t,0,i,C,(,x,) d,x,q,(0,+,),=,q,(0,-,),+,0,+,0,-,i,C,(,x,),d,x,以,t,=,t,0,=,0作为换路的计时起点：换路前最终时刻记为,t,=,0,-,，换路后最初时刻记为,t,=,0,+,。,线性电容,C,的电荷,0,-,到0,+,瞬间，,i,C,(,t,)为有限值时，积分为0。,q,(0,+,),=,q,(0,-,),C,上的,电荷不能跃变,！,由,q,(,t,),=,C u,C,(,t,)可知，当换路前后,C,不变时,u,C,(0,+,),=,u,C,(0,-,),C,两端的,电压也不能跃变,！,9/14/2024,9,(0,+,),=,(0,-,),L,中的,磁链不能跃变,！,由,(,t,) =,Li,L,(,t,),可知，当,换路前后,L,不变时,i,L,(0,+,),=,i,L,(0,-,),L,中的,电流也不能跃变,！,同理可得：,q,(0,+,),=,q,(0,-,),u,C,(0,+,),=,u,C,(0,-,),换路定则表明,(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是,电荷守恒,定律的体现。,(2)换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是,磁链守恒,定律的体现。,9/14/2024,10,三、初始值的计算,解：,换路前的“旧电路”,求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。,1. 由换路前的“旧电路”计算,u,C,(0,-,)和,i,L,(0,-,) 。,i,C,(0,-,)=0，,C,视为开路。,u,L,(0,-,)=0，,L,视为短路。,i,L,(0,-,),=,12A,u,C,(0,-,),=,24V,=,i,L,(0,+,),=,u,C,(0,+,),R,1,+,-,U,0,S,R,2,i,L,i,C,C,L,+,-,u,L,+,-,u,C,R,3,3,W,2,W,2,W,48V,i,R,1,+,-,U,0,S,R,2,i,L,i,C,C,L,+,-,u,L,+,-,u,C,R,3,3,W,2,W,2,W,48V,i,由等效电路算出,9/14/2024,11,2.画出,t,=0,+,等效电路：电感用电流源替代，电容用电压源替代。,i,C,(0,+,),=,48,-,24,3,= 8A,u,L,(0,+,),=,48,-2,12,= 24,V,R,1,+,-,U,0,S,R,2,i,L,i,C,12A,+,-,u,L,+,-,R,3,3,W,2,W,2,W,48V,24V,i,R,1,+,-,U,0,S,R,2,i,L,i,C,C,L,+,-,u,L,+,-,u,C,R,3,3,W,2,W,2,W,48V,i,i,L,(0,-,),=,12A,=,i,L,(0,+,),u,C,(0,-,),=,24V,=,u,C,(0,+,),i,(0,+,),=,i,L,(0,+,),+,i,C,(0,+,),=,12,+,8,=,20A,t,=0,+,时刻的,等效电路,9/14/2024,12,7,-,2 一阶电路的,零输入,响应,零输入响应：,在,电源激励为零,的情况下，,由动态元件的初始值,(0),引起的响应。,1.,RC,电路,S,R,+,-,u,C,(,t=,0),i,+,-,u,R,U,0,S,R,+,-,u,C,(,t,0,+,),i,+,-,u,R,U,0,换路后的“新电路”,i,=,d,u,c,d,t,-,C,=,R,i,d,u,c,d,t,=,-,R,C,由,KVL,得：,d,u,c,d,t,R,C,+,u,C,=,0,u,R,分析,RC,电路的零输入响应，实际上是分析其放电过程。,一阶齐次微分方程,9/14/2024,13,=,RC,称,RC,电路的,时间常数,。,若,R,取W，,C,取F，则,为s。,的大小，反映,u,C,的变化快慢：,越大，,u,C,衰减越慢。,S,R,+,-,u,C,(,t,0,+,),i,+,-,u,R,U,0,p,=,-,R,C,1,通解,u,C,=,A,e,1,RC,-,t,由初始条件,u,C,(0,+,),=,u,C,(0,-,),=,U,0,得：,u,C,=,U,0,e,=,U,0,e,t,-,t,1,RC,-,t,，,t,0,t,o,u,C,t,2t,3t,U,0,t的图解,d,u,c,d,t,R,C,+,u,C,=,0,特征方程,特征根,RCp,+,1,=,0,9/14/2024,14,t=,0，,u,C,=,U,0,t=,t,，,u,C,=,U,0,e,-,1,0.638,U,0,在理论上，要经过无限长时间，,u,C,才能衰减到0。,在工程上，认为经过,3,t,5,t,时间，过渡过程即告结束。,t,o,u,C,t,2t,3t,U,0,0.368,U,0,0.05,U,0,u,C,=,U,0,e,t,-,t,t=,3,t,，,u,C,=,U,0,e,-,3,0.05,U,0,t=,5,t,，,u,C,=,U,0,e,-,5,0.007,U,0,u,R,=,u,C,=,U,0,e,t,-,t,S,R,+,-,u,C,(,t,0,+,),i,+,-,u,R,U,0,u,R,i,=,d,u,c,d,t,-,C,=,R,U,0,t,-,t,e,W,R,=,0,i,2,(,t,),R,d,t,=,0,R,U,0,2,2,RC,-,t,e,d,t,=,2,1,CU,0,2,C,储存的能量全被,R,吸收，并转换成热能消耗掉。,R,U,0,i,9/14/2024,15,例：试求,t,0时的,i,(,t,),。,换路后，,C,通过(,R,1,/,R,2,)放电，,R,eq,=,R,1,/,R,2,= 2,。,所以,=,R,eq,C,= 2 s,引用典型电路结果：,u,C,(0,-,),=,2+4+4,104,=,4 V,根据换路定则：,u,C,(0,-,),=,u,C,(0,+,),=,4 V,R,2,+,-,u,C,4,W,4,W,C,1F,i,t,0,S,R,1,u,C,=,u,C,(0,+,),e,t,-,t,=,4 e,-,0.5,t,V,i,= -,2,1,R,eq,u,C,=,-,e,-,0.5,t,A,解：,(,t,0),(,t,0),2,W,S,R,2,+,-,(,t,=,0),+,-,u,C,4,W,R,1,4,W,C,1F,1,2,R,10V,i,9/14/2024,16,2.,RL,电路,由KVL,u,L,+,u,R,= 0,S,R,+,-,(,t,=,0),R,0,L,1,2,u,L,+,-,i,U,0,R,(,t,0),L,u,L,+,-,i,S,2,+,-,u,R,d,i,L,d,t,+,Ri,=,0,d,i,d,t,L,+,i,=,0,R,i,(0,+,),=,i,(0,-,),=,R,0,U,0,i,(,t,),=,i,(0,+,) e,=,R,0,U,0,t,=,R,L,为,RL,电路的,时间常数。,t,-,t,e,s,=,W,H,t,-,t,得,i,(,t,),解之,代入初试条件,基本形式：,i,(,t,),=,I,0,e,t,-,t,(,t,0),9/14/2024,17,电阻,和,电感,上的电压分别为：,R,(,t,0),L,u,L,+,-,i,S,2,+,-,u,R,RI,0,u,R,t,o,i,u,R,u,L,i,I,0,u,L,-,RI,0,u,R,=,R,i,=,R,I,0,e,u,L,= -,u,R,=,-,R I,0,e,d,i,d,t,L,或者：,u,L,=,=,-,R I,0,e,i,(,t,),=,I,0,e,t,-,t,t,-,t,t,-,t,t,-,t,，(,t,0),，(,t,0),，(,t,0),9/14/2024,18,3.例题分析 P144 例7,-,2,试求：,t,；,i,(0,+,)和,i,(0,-,) ；,i,(,t,)和,u,V,(,t,) ；,u,V,(0,+,)。,V,S,+,-,R,L,+,-,U,R,V,u,V,i,0.189,W,0.398H,5k,W,35V,某300kW汽轮发电机励磁回路的电路模型,电压表的量程才50V。,t,=,R+R,V,L,=,0.189,+,510,3,0.398,=,79.6 (m,s),i,(0,-,),R,U,=,0.189,35,=,185.2,A,i,(,t,),=,185.2,e,-,12560,t,A,u,V,(,t,),=,-,R,V,i,(,t,) =,-,926,e,-,12560,t,kV,u,V,(0,+,),=,926 kV !,t,0,+,实践中，要切断,L,的电流，必须考虑磁场能量的释放问题,解：,=,i,(0,+,),9/14/2024,19,7-3 一阶电路的,零状态,响应,零状态响应：,在动态元件初值为,0,的状态下，外施激励引起的响应。,1.,RC,电路,由KVL：,u,R,+,u,C,=,U,S,S,U,S,+,-,(,t=,0),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,u,R,=,R,i,d,u,c,d,t,=,R,C,d,u,c,d,t,RC,+,u,C,=,U,S,常系数非齐次线性方程,对应的齐次方程：,其解为：,u,C,=,u,C,+,u,C,通解：,u,C,=,A,e,1,RC,-,t,特解：,u,C,=,U,S,所以：,u,C,=,U,S,+,A,e,d,u,c,d,t,RC,+,u,C,=,0,1,RC,-,t,9/14/2024,20,代入初值：,u,C,(0,+,) =,u,C,(0,-,) = 0,求得：,A,=-,U,S,所以零状态响应为,u,C,=,U,S,(1,-,e,)，,t,-,t,u,C,稳态分量,u,C,瞬态分量,d,u,c,d,t,i,=,C,=,R,U,S,e,t,-,t,i,S,U,S,+,-,(,t,0,+,),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,d,u,c,d,t,RC,+,u,C,=,U,S,u,C,=,U,S,+,A,e,1,RC,-,t,t,=,RC,u,C,=,u,C,+,u,C,U,S,t,o,u,C,i,R,U,S,-,U,S,u,C,=,U,S,-,U,S,e,t,-,t,9/14/2024,21,电源,提供的,能量：,电阻,吸收的,能量：,W,=,0,U,S,i,(,t,),d,t,=,CU,S,2,W,R,=,0,i,2,(,t,),R,d,t,=,2,1,CU,S,2,t,=,RC,d,u,c,d,t,RC,+,u,C,=,U,S,u,C,=,U,S,+,A,e,1,RC,-,t,d,u,c,d,t,i,=,C,=,R,U,S,e,t,-,t,S,U,S,+,-,(,t,0,+,),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,结果表明：电源提供的能量只有一半转换为电场能量存储于,C,中，另一半在充电过程中被,R,消耗掉。不论,RC,的值是多少，充电效率总是50%。,9/14/2024,22,2.,RL,电路的零状态响应,(1) 激励是恒定直流,换路前：,i,L,(0,+,) =,i,L,(0,-,) = 0,换路后：,i,R,+,i,L,=,I,S,S,R,L,+,-,I,S,u,L,t,=,0,i,R,i,L,(,t,0,+,),i,R,=,u,L,R,=,L,R,d,i,L,d,t,L,R,d,i,L,d,t,+,i,L,=,I,S,L,R,t =,解得：,i,L,=,I,S,(1,-,e,),t,-,t,代入,式中：,9/14/2024,23,(2)激励是正弦电压,设,u,s,=,U,m,cos(,wt,+,y,u,),则,L,d,i,L,d,t,+,Ri,L,=,U,m,cos(,w,t,+,y,u,),通解：,i,L,=,A,e,t,-,t,特解的形式：,i,L,=,I,m,cos(,w,t,+,q,),把,i,L,代入微分方程：,I,m,、,q,为待定系数。,RI,m,cos(,w,t,+,q,),-,w,L,I,m,sin(,w,t,+,q,),=,U,m,cos(,w,t,+,y,u,),I,m,|,Z,|,cos(,w,t,+,q,+,j,),=,U,m,cos(,w,t,+,y,u,),式中,R,2,|,Z,|,=,+,(,w,L,),2,tg,j,=,R,w,L,L,R,t =,t,0,+,u,s,+,-,+,-,u,L,R,L,i,+,-,u,R,9/14/2024,24,比较得：,q,=,y,u,-,j,，,|,Z,|,U,m,特解：,i,L,=,I,m,cos(,w,t,+,q,),=,cos(,w,t,+,y,u,-,j,),上述常系数非齐次线性微分方程的全解为：,|,Z,|,U,m,i,L,=,cos(,w,t,+,y,u,-,j,),+,A,e,-,t,t,由,i,L,(0,+,),=,i,L,(0,-,),=,0定出,：,A,=,-,|,Z,|,U,m,cos,(,y,u,-,j,),|,Z,|,U,m,i,L,=,cos(,w,t,+,y,u,-,j,),-,cos(,y,u,-,j,),e,I,m,=,U,m,|,Z,|,I,m,|,Z,|,cos(,w,t,+,q,+,j,),=,U,m,cos(,w,t,+,y,u,),式中,R,2,|,Z,|,=,+,(,w,L,),2,tg,j,=,R,w,L,|,Z,|,U,m,-,t,t,9/14/2024,25,讨论,(1)若 S闭合时,y,u,-,j,=90,o,，,t,o,i,i,=,i,稳态分量,i,L,是与外施激励,同频率,的正弦量,暂态分量,i,L,随时间的增长衰减为零。,(2)若S闭合时,y,u,=,j,，则：,i,L,=,|,Z,|,U,m,cos,w,t,e,-,t,t,|,Z,|,U,m,-,|,Z,|,U,m,i,L,=,cos(,w,t,+,y,u,-,j,),-,cos(,y,u,-,j,),e,|,Z,|,U,m,-,t,t,则,i,L,=,0。,说明电路不发生,过渡过程而立即进入稳态。,R,上的电压,u,R,=,R,i,L,L,上的电压,u,L,=,L,d,i,L,d,t,9/14/2024,26,RL,串联电路与正弦电压接通后，在一定初值条件下，电路的过渡过程与,S,动作时刻有关。,i,L,i,L,t,o,i,L,|,Z,|,U,m,|,Z,|,U,m,-,此时闭合,S,，,约过半个周期，,i,L,的最大瞬时值,(,绝对值,),将接近稳态振幅的两倍。,当,t,很大时，,i,L,衰减极其缓慢。,稳态振幅,过渡中的最大瞬时值,i,L,=,|,Z,|,U,m,cos,w,t,e,-,t,t,|,Z,|,U,m,-,9/14/2024,27,全响应,稳态解,暂态解,7,-,4 一阶电路的全响应,1. 全响应：,外施激励和动态元件初值都不为零时的响应。,S,U,S,+,-,(,t,=,0),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,+,-,U,0,u,C,(0,+,),=,u,C,(0,-,),=,U,0,u,C,=,U,S,+ (,U,0,-,U,S,),e,d,u,c,d,t,RC,+,u,C,=,U,S,-,t,t,(1)一阶电路的全响应可以看成是稳态分量(强制分量) 与暂态分量(自由分量) 之和。,=,+,2. 全响应的两种分解方式,强制分量,自由分量,9/14/2024,28,零输入响应,(2)把上式改写成下列形式：,零状态响应,全响应,此种分解方式便于叠加计算，,体现了线性电路的叠加性质。,u,C,=,U,S,+ (,U,0,-,U,S,),e,-,t,t,S,U,S,+,-,(,t,=,0),+,-,u,C,R,C,+,-,u,R,i,+,-,U,0,u,C,=,U,0,e,-,t,t,+,U,S,(,1,-,e,),-,t,t,=,+,9/14/2024,29,3. 三要素法,(1) 在恒定激励下,f,(,t,),=,f,(),+,f,(0,+,),-,f,(),-,t,t,e,由,初始值,、,稳态值,和,时间常数,三个要素决定。,全响应,=,稳态分量,+,暂态分量,u,C,=,U,S,+ (,U,0,-,U,S,),e,-,t,t,(2) 在正弦电源激励下,f,(,t,),=,f,(,t,),+,f,(0,+,),-,f,(0,+,),-,t,t,e,的正弦量,；,f,(,t,),是换路后的稳态响应(特解) ，是与激励同频率,f,(0,+,),是稳态响应,f,(,t,),的初始值。,f,(0,+,),和,t,的含义与恒定激励下相同。,说明一阶电路的响应,求,f,(,t,)的方法是待定系数法,或,相量法,。,9/14/2024,30,4. 解题指导,例1,换路前：,i,L,(0,-,)=,-,I,S,=,-,2A,求换路后的戴维宁电路,S,U,s,+,-,(,t,=,0),i,L,R,L,i,I,s,a,b,10V,4H,2,W,2A,?,?,U,oc,+,-,(,t,0,+,),i,L,R,eq,L,a,b,=,10,-,22,=,6 V,U,oc,=,U,s,-,Ri,s,R,eq,=,R,=,2,W,求,i,L,的三个要素：,i,L,(0,+,),=,i,L,(0,-,),=,-,2A,i,L,(),=,U,oc,/,R,eq,=,6,/,2,=,3 (A),t,=,L,/,R,eq,=,4,/,2,=,2 (s),f,(,t,),=,f,(),+,f,(0,+,),-,f,(),e,-,t,t,i,L,(,t,),3,-,2,3,2,i,L,(,t,),=,3,-,5,e,-,0.5,t,A,i,(,t,),=,I,S,+,i,L,(,t,),=,5,-,5,e,-,0.5,t,A,9/14/2024,31,例2：电路如图，求,u,L,。,S,i,L,+,-,2A,u,L,4,W,2,W,4,W,1,2,-,+,8V,i,1,+,-,2,i,1,0.1H,U,oc,=,4,i,1,+,2,i,1,R,eq,=,=,10,W,U,i,解：,i,L,(0,-,)=,-,4A =,i,L,(0,+,),S,i,L,+,-,2A,u,L,4,W,2,W,4,W,1,2,-,+,8V,i,1,+,-,2,i,1,0.1H,(,t,0),求换路后的戴维宁电路,=,12V,R,eq,U,i,=,(4,+,4),i,1,+,2,i,1,i,1,u,L,(0,+,),=,U,oc,-,R,eq,i,L,(0,+,),=,12,-,10,(,-,4),=,52V,i,L,U,oc,+,-,(,t,0,+,),R,eq,L,+,-,u,L,0.1H,9/14/2024,32,也可以先求,i,L,：,u,L,=,L,d,t,d,i,L,u,L,(),=,0,t,=,R,eq,L,=,=,0.01s,10,0.1,得,u,L,=,52e,-,100,t,V,例2：电路如图，求,u,L,。,解：,i,L,(0,-,)= - 4A =,i,L,(0,+,),代入三要素公式,f,(,t,),=,f,(),+,f,(0,+,),-,f,(),-,t,t,e,t,=,0.01s,i,L,(0,-,)= - 4A =,i,L,(0,+,),i,L,()=,U,oc,/ R,eq,= 1.2A,i,L,=1.2-5.2e,-100,t,A,再由,求出,u,L,。,U,oc,=,4,i,1,+,2,i,1,R,eq,=,U,i,求换路后的戴维宁电路,=,12V,u,L,(0,+,),=,U,oc,-,R,eq,i,L,(0,+,),=,52V,=,10,W,i,L,U,oc,+,-,(,t,0,+,),R,eq,L,+,-,u,L,0.1H,9/14/2024,33,例3：,图示电路原本处于稳定状态，,t,=0 时开关S闭合，求换路后的电流,i,(,t,),。,i,U,=,10V,+,-,R,1,=2W,S,L,=,1H,R,2,=5W,C,=,0.25F,S闭合前,C,开路,L,短路,i,L,(0,-,),=,0，,u,C,(0,-,),=,10V，,换路后变为两个独立的单回路,i,L,(0,-,),+,-,u,C,(0,-,),i,U,=,10V,+,-,R,1,=2W,S,L,=,1H,R,2,=5W,C,=,0.25F,+,-,u,C,i,L,i,C,解：,电容电路的三要素为,i,C,(0,+,),=,u,C,(0,+,),R,1,=,5A,t,1,=,R,1,C,=,0.5s ,i,C,(),=,0,电感电路的三要素为,i,L,(0,+,),=,i,L,(0,-,),=,0,t,2,=,L,R,2,=,0.2s ,i,L,(),=,U,R,2,=,10,5,=,2A,i,(,t,),=,i,L,(,t,),+,i,C,(,t,),求出,i,C,(,t,)、,i,L,(,t,),后,(,t,0),9/14/2024,34,例4：,电路如图。,t,=0时S,1,从位置1拨向位置2，经0.12s后S,2,打开，求,u,C,(,t,)并绘波形图。,U,1,+,-,R,2,1,0,m,F,S,2,50V,R,1,=,20k,W,C,S,1,2,1,U,2,-,+,30k,W,10V,+,-,u,C,解：,先求初始值,u,C,(0,-,),=,-,10V,再分阶段用三要素法求解。,(1) 0t,0.12s,U,1,+,-,R,2,1,0,m,F,S,2,50V,R,1,=,20k,W,C,S,1,2,30k,W,+,-,u,C,u,C,(0,+,),=,u,C,(0,-,),=,-,10V,u,C,(),=,30,+20,30,50,=,30V,t,1,=,(20,/,30),10,3,1010,-,6,=,0.12s,u,C,(,t,),=,30,-,40e,-,8.33,t,V,(0,t,0.12s,),9/14/2024,35,(2),t,0.12s,U,1,+,-,R,2,1,0,m,F,S,2,50V,R,1,=,20k,W,C,S,1,2,30k,W,+,-,u,C,u,C,(0.12,-,),=,30,-,40e,-,8.33,0.12,=,15.28V,u,C,(,t,),=,30,-,40e,-,8.33,t,V,(0,t,0.12s,),u,C,(0.12,+,),=,u,C,(0.12,-,),=,15.28V,t,2,=,R,2,C,=,30,10,3,1010,-,6,=,0.3s,u,C,(),=,0,u,C,(,t,),=,15.28,e,-,3.33(,t,-,0.12),V,t,0.12s,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,t,/,s,u,C,(,t,),/,V,-,10,10,20,0.12s,15.28,9/14/2024,36,75 二阶电路的零输入响应,二阶电路的动态分析，原则上与一阶电路相似，那就是列方程、解方程。,由于二阶线性微分方程有两个特征根，对于不同的二阶电路，它们可能是实数、虚数或共轭复数。因此动态过程将呈现不同的变化规律。,分析时由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电，还是振荡放电，还是临界放电状态。,9/14/2024,37,C,+,-,u,C,+,-,S (,t,=,0),+,-,u,L,R,L,+,-,u,R,i,U,0,I,0,典型电路分析(,RLC,串联),1. 列写方程,i,=,d,u,C,d,t,-,C,R,i,= -,R,C,u,L,=,L,d,i,d,t,= -,LC,d,2,u,C,d,t,2,由KVL：,-,u,C,+,R,i,+,u,L,=,0,LC,d,2,u,C,d,t,2,d,u,C,d,t,+,RC,+,u,C,=,0,代入上式得二阶齐次微分方程,d,u,C,d,t,若以电容电压为变量则有,u,C,(0,+,)=,U,0,，,i,(0,+,) = 0,初始条件为,或,d,u,C,d,t,= -,C,t,=,0,+,i,(0,+,),= 0,(,t,0,+,),9/14/2024,38,2.,解方程,特征方程的根,特征方程,LCp,2,+,RCp,+,1,=,0,p,1,=,2,L,R,-,+,2,L,R,2,-,LC,1,C,+,-,u,C,+,-,(,t,0,+,),+,-,u,L,R,L,+,-,u,R,i,U,0,I,0,u,C,(0,+,)=,U,0,，,LC,d,2,u,C,d,t,2,d,u,C,d,t,+,RC,+,u,C,=,0,d,u,C,d,t,= 0,t,=,0,+,p,2,=,2,L,R,-,-,2,L,R,2,-,LC,1,(1)特征根只与电路参数和结构有关，与激励和初始值无关。,(2)当,R,、,L,、,C,的参数不同时，特征根有不同的形式。,9/14/2024,39,u,C,=,A,1,e,p,1,t,+,A,2,e,p,2,t,解的形式为,(1),R,2,3.分析三种情况,p,1,、,p,2,是两个不相等的负实根。,A,1,=,p,2,-,p,1,p,2,U,0,A,2,=,p,2,-,p,1,p,1,U,0,由初始条件求得,u,C,=,p,2,-,p,1,U,0,(,p,2,e,p,1,t,-,p,1,e,p,2,t,),所以,L,C,p,1,2,=,2,L,R,-,2,L,R,2,-,LC,1,LC,d,2,u,C,d,t,2,d,u,C,d,t,+,RC,+,u,C,=,0,u,C,(0,+,)=,U,0,，,d,u,C,d,t,= 0,t,=,0,+,9/14/2024,40,d,u,C,d,t,i,=,-,C,u,L,=,d,i,d,t,L,= -,(,p,2,-,p,1,),U,0,(,p,1,e,p,1,t,-,p,2,e,p,2,t,),p,1,p,2,=,LC,1,考虑到,=,-,L,(,p,2,-,p,1,),U,0,(,e,p,1,t,-,e,p,2,t,),t,m,2,t,m,u,C,u,L,i,o,t,u,C,u,L,U,0,i,|,p,2,| |,p,1,|,u,C,第1项较大，且衰减较慢。故占主导地位。,总有,u,C,0、,i,0,，说明,C,一直在释放电能。称,非振荡放电,或,过阻尼放电,。,u,C,=,p,2,-,p,1,U,0,(,p,2,e,p,1,t,-,p,1,e,p,2,t,),分析,9/14/2024,41,C,+,-,u,C,+,-,+,-,u,L,R,L,+,-,u,R,i,U,0,t,m,2,t,m,u,C,u,L,i,o,t,u,C,u,L,U,0,i,|,p,2,| |,p,1,|,t,m,=,p,1,-,p,2,ln,(,p,2,p,1,),i,从0开始，到0结束，有极值。令 (d,i/,d,t,) = 0 得,i,达到,i,max,的时刻为：,0,t,m,：,C,的电场能转化为,L,的磁场能和,R,的热能。,t,m,：,u,L,变负，,C,的电场能和,L,的磁场能都转化为,R,的热能。,能量释放完毕，过渡过程结束。,9/14/2024,42,(2),令,2,L,R,d,=,LC,1,w,2,=,-,2,2,L,R,b,w,d,w,0,则,p,1,=,-,d,+,j,w,，,p,2,=,-,d,-,j,w,R,临界电阻,为,过阻尼,电路。,R,0,+,和,t,t,0,+,和,t,0,+,和,t,0,-,时,d,(,t,),=,0,，所以：,9/14/2024,57,2. 冲击函数的性质,(1) d(,t,) 与 e(,t,)的关系,(2)“筛分”性质,f,(,t,),d(,t,-,t,0,) =,f,(,t,0,),d(,t,-,t,0,),d,(,t,),=,d,e,(,t,),d,t,e,(,t,),=,-,t,d,(,x,)d,x,-,+,f,(,t,0,),d,(,t,-,t,0,) d,t,=,f,(,t,0,),把,t,0,时刻的函数值“筛”出来，也称,取样性质,。,(3)冲击强度,定义中的积分值称为冲击强度。,k,d,(,t,)的冲击强度为,k,。,d,(,t,),o,t,k,t,0,-,k,-,k,d,(,t,-,t,0,),9/14/2024,58,3. 冲击响应的分析,对上式取积分求,u,C,(0,+,)；,d,i,(,t,),R,C,+,-,u,C,在冲击电流激励下的,RC并联,电路,d,u,C,d,t,C,+,R,=,d,i,(,t,),u,C,u,C,(0,-,),=,0,0,+,0,-,d,u,C,d,t,C,d,t,+,0,+,0,-,R,u,C,d,t,=,0,+,0,-,d,i,(,t,) d,t,C,u,C,(0,+,),-,u,C,(0,-,),因,u,C,是有限值，故此项积分为0。,u,C,(0,+,),=,C,1,+,u,C,(0,-,),电路在单位冲击函数激励下的,零状态响应,称为冲击响应。,记作,h,(,t,),。,(1) 分析过程,列,t,0,-,时电路的微分方程；,根据d,i,(,t,)的定义，,故此项积分为,1,。,=,1,9/14/2024,59,(3),t,0,+,时，,d,i,(,t,) = 0。,用同样的方法，可求得,RL,串联,电路在单位冲击电压作用下的响应。,d,i,(,t,),R,C,+,-,u,C,d,u,C,d,t,C,+,R,=,d,i,(,t,),u,C,变为,=,0,d,u,C,d,t,C,+,R,u,C,u,C,(0,+,),=,C,1,+,u,C,(0,-,),d,u,(,t,),R,L,+,-,u,L,+,-,i,L,d,i,L,d,t,L,+,Ri,L,=,0,i,L,(0,+,),=,L,1,+,i,L,(0,-,),方程,t,0,+,d,i,(,t,),u,C,(0,+,),已,变成了零输入响应,的求解问题(,t,0,+,) 。,i,L,(0,+,),d,u,(,t,),+,-,t,0,+,9/14/2024,60,综上，冲击响应分两个过程：,若,d,(,t,)的强度为,k,u,C,(0,+,),=,C,k,+,u,C,(0,-,),i,L,(0,+,),=,L,k,+,i,L,(0,-,),过程1,：,t,从 0,-,0,+,u,C,(,t,)从,u,C,(0,-,),u,C,(0,+,),i,L,(,t,) 从,i,L,(0,-,) ,i,L,(0,+,),建立初始值的过程。,u,C,或,i,L,产生跃变，已不满足换路定则。,过程2,：,t,从 0,+,d,(,t,)已不起作用。,第1个过程中留下的能量开始释放。这是以,u,C,(0,+,)或,i,L,(0,+,) 为初始值的,零输入响应,。,可用三要素法求解。,则,9/14/2024,61,4.,解题指导,d,u,(,t