圆锥曲线复习_课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.椭圆的定义,平面内到两定点,F,1,、,F,2,距离之和为常数2,a,(,)的点的轨迹叫椭圆.有|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,a,.,在定义中，当,时，表示线段,F,1,F,2,;当,时,不表示任何图形.,2,a,|,F,1,F,2,|,2,a,=|,F,1,F,2,|,2,a,|,F,1,F,2,|,6.双曲线的标准方程,(1)焦点在,x,轴上的双曲线:,其中,焦点坐标为,F,1,(-,c,0),F,2,(,c,0)；,(2)焦点在,y,轴上的双曲线:,其中,c,2,=,a,2,+,b,2,，焦点坐标为,F,1,(0,-,c,),F,2,(0,c,).,c,2,=,a,2,+,b,2,7.,双曲线 (,a,0,b,0)的几何性质,(1)范围：,y,R,；,(2)对称性：对称轴,x,=0,y,=0，对称中心(0，0)；,一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.,|,x,|,a,(3)顶点：,A,1,(-,a,0),A,2,(,a,0)；实轴长,，虚轴长,;,一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.,(4)离心率,e,= (,)；双曲线的离心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的形状.,(5)渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为,;双曲线 的两条渐近线方程为,.,|,A,1,A,2,|=2,a,11,|,B,1,B,2,|=2,b,12,e,1,13,y,=,x,14,y,=,x,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长,b,;公用渐近线的两条双曲线可能是:,a,.共轭双曲线；,b,.放大的双曲线；,c,.共轭放大或放大后共轭的双曲线.,已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程.,8.抛物线的定义,平面内与一定点,F,和一条定直线,l,(,F,l,)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点,F,叫做抛物线的焦点，直线,l,叫做抛物线的,.,2.抛物线的标准方程与几何性质,准线,标准方程,y,2,=2,px,(,p,0),y,2,=-2,px,(,p,0),x,2,=2,py,(,p,0),x,2,=-2,py,(,p,0),图形,顶点,(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),对称轴,.,x,轴,y,轴,.,焦点,F,( ,0),.,.,F,(0,- ),x,轴,y,轴,F,(- ,0),F,(0, ),离心率,e,=1,e,=1,e,=1,e,=1,准线,.,x,y,.,x,=-,y,=,9.直线与圆的位置关系的判断,由圆心到直线的距离,d,与圆半径,r,比较大小判断位置关系;(1)当,d,r,时,直线与圆,;(2)当,d,=,r,时,直线与圆,;(3)当,d,r,时，直线与圆,.,10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断,判断直线,l,与圆锥曲线,C,的位置关系时，可将直线,l,的方程代入曲线,C,的方程，消去,y,(或,x,)得一个关于变量,x,(或,y,)的一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0（或,ay,2,+,by,+,c,=0）.,相离,相切,相交,(1)当a0时,则有,l与C相交;,l与C相切;,l与C相离;,(2)当,a,=0时，即得到一个一次方程，则,l,与,C,相交,且只有一个交点,此时,若曲线,C,为双曲线,则,l,于双曲线的渐近线;若,C,为抛物线,则,l,于抛物线的对称轴.,0,=0,0,平行,平行,11.弦长公式,连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|,AB,|=,=,.当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.,13.求轨迹方程的基本思路,(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为,M,(,x,y,).,(2)写出动点,M,所满足的,.,(3)将动点,M,的坐标,列出关于动点坐标的方程,f,(,x,y,)=0.,(4)化简方程,f,(,x,y,)0为最简形式.,(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.,几何条件的集合,代入几何条件,注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）,x,、,y,的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.,14.求轨迹方程的常用方法,(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为,x,y,的等式就得到曲线的轨迹方程；,(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；,(3)代入法(相关点法)：当所求动点,M,是随着另一动点,P,(称之为相关点)而运动，如果相关点,P,满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；,定义,22.,设,P,为双曲线 -,y,2,=1上一动点,O,为坐标原点，,M,为线段,OP,的中点，则点,M,的轨迹方程为,.,x,2,-4,y,2,=1,(代入法)设,M,(,x,y,)，,P,(,x,1,y,1,)，,则 -,y,1,2,=1. ,x,=,x,1,=2,x,y,=,y,1,=2,y,又,即,代入得,x,2,-4,y,2,=1.,3.特殊弦问题探究方法.,(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.,(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.,1.,动点,P,到两定点,F,1,(-3,0)，,F,2,(3,0)的距离之和等于6，则点,P,的轨迹是( ),C,A.椭圆 B.圆,C.线段,F,1,F,2,D.直线,F,1,F,2,课堂练习,2.,椭圆 + =1的焦点坐标是,若弦,CD,过左焦点,F,1,则,F,2,CD,的周长是,.,( ,0),16,由已知，半焦距,c,= = ,故焦点坐标为( ,0),F,2,CD,的周长为4,a,=44=16.,5.,椭圆 =1(,a,b,0)的焦点为,F,1,、,F,2,，两条直线,x,= (,c,2,=,a,2,-,b,2,)与,x,轴的交点为,M,、,N,，若,MN,2|,F,1,F,2,|,则该椭圆的离心率,e,的取值范围是,., ,1),由已知|,MN,|=2 .,又|,MN,|2|,F,1,F,2,|,则2 4,c,从而 ,故 1,故,e, ,1).,1.,在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解.,2.,求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为 + =1(,m,0,n,0),或设为,Ax,2,+,By,2,=1(,A,0,B,0).,6.,双曲线 =1的实轴长是,，焦点坐标是,.,8,（0,5),7.,方程 =1表示双曲线，则实数,k,的取值范围是,.,(-,-1)(1,+),由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+,k,)(1-,k,)0，求得,k,1.,9.,若双曲线 =1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率,.,e,=,由已知，两渐近线方程为,y,=,x,由两渐近线互相垂直得 (- )=-1,即,a,=,b,.,从而,e,= = = .,3.,椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上.,4.,根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性.,5.,求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为,Ax,2,+,By,2,=1(,AB,0).,6.,与双曲线 共渐近线的双曲线方程为 =,(,0).,与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为 (,0)的焦点,F,的弦为,AB,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则有|,AB,|,x,1,+,x,2,+,p,.,(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.,(4)抛物线标准方程中参数,p,的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的 .,(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向,x,轴或,y,轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为,x,轴或,y,轴的负方向.,3.特殊弦问题探究方法.,(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.,(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.,16.,若,a,b,且,ab,0,则直线,ax,-,y,+,b,=0和二次曲线,bx,2,+,ay,2,=,ab,的位置关系可能是( ),C,由已知，直线方程可化为,y,=,ax,+,b,其中,a,为斜率,b,为纵截距，二次曲线方程可化为,=1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.,17.,直线,x,+,y,=2与椭圆,x,2,+,ky,2,=1有公共点，则,k,的取值范围是,.,(0, ,18.,过原点的直线,l,:,y,=,kx,与双曲线C: =1有两个交点，则直线,l,的斜率,k,的取值范围是,.,由于双曲线的渐近线的方程为,y,=,x,数形结合可知,l,与,C,有两个交点，则直线,l,夹在两渐近线之间，从而- ,k,0,解得-1,k,0或0,k,1,即-1tan,0或0tan,1,故 ,或00直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件.,(5)0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件.,2.数形结合思想的应用.,要注意数形结合思想的运用.在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.特别地：,(1)过双曲线 =1外一点,P,(,x,0,y,0,)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：,P,点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；,P,点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；,P,在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；,P,为原点时，不存在这样的直线.,(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.,21.,方程|,x,|-1= 表示的曲线是( ),D,A.一个圆 B.两个圆,C.半个圆 D.两个半圆,由于|,x,|-1=,(|,x,|-1),2,+(,y,-1),2,=1,|,x,|-10,x,1,x,-1,(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=1 (,x,+1),2,+(,y,-1),2,=1,曲线是两个半圆，故选D.,或,(直推法)依题设, |,PF,1,|+|,PF,2,|=25=10,|,PQ,|=|,PF,2,|,则|,F,1,Q,|=|,F,1,P,|+|,PQ,|=|,PF,1,|+|,PF,2,|=10,则动点,Q,的轨迹是以,F,1,为圆心,10为半径的圆,其方程为(,x,+4),2,+,y,2,=100.,23.,已知椭圆 =1的左、右焦点分别为,F,1,、,F,2,P,为椭圆上一动点,延长,F,1,P,到,Q,使得|,PQ,|=|,PF,2,|,则动点Q的轨迹方程是,.,(,x,+4),2,+,y,2,=100,24.,平面直角坐标系中,O,为坐标原点,已知两点,A,(3,1),B,(-1,3),若点,C,满足,=,+ ,其中,、,R,且,+,=1,则点,C,的轨迹方程是,.,x,+2,y,-5=0,（参数法）设,C,(,x,y,).,由 =,+ ,得(,x,y,)=,(3,1)+,(-1,3),x,=3,-,y,=,+3,. ,而,+,=1, ,x,=4,-1,y,=3-2,即,则,消去,得,x,+2,y,-5=0.,25.,设,A,1,、,A,2,是椭圆 =1长轴的两个端点，,P,1,、,P,2,是垂直于,A,1,A,2,的弦的端点，则直线,A,1,P,1,与,A,2,P,2,交点,M,的轨,迹方程是,.,(交轨法)由已知,A,1,(-3,0),A,2,(3,0).,设,P,1,(,x,1,y,1,),则,P,2,(,x,1,-,y,1,),交点,M,(,x,y,),则由,A,1,、,P,1,、,M,三点共线,得 = .,又,A,2,、,P,2,、,M,三点共线，得 = .,得 = .,又 =1,即 = ,从而 = ,即 .,1.曲线与方程关系的理解.,(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.,(2)如果曲线,C,的方程是,f,(,x,y,)=0,那么点,P,0,(,x,0,y,0,)在曲线,C,上的充要条件是,f,(,x,0,y,0,)=0.,(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(,x,y,)与方程的解集之间建立了一一对应关系.,2.求轨迹方程方法实质剖析.,(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系,f,(,x,y,)=0，就是曲线方程的普通形式;,当,x,y,的关系用一个变量(如t变量)表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究.,(2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质(往往是距离的等量关系).,由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答.,1.,已知,R,则不论,取何值，曲线,C,：,x,2,-,x,-,y,+1=0恒过定点( ),D,A.(0,1) B.(-1,1),C.(1,0) D.(1,1),由,x,2,-,x,-,y,+1=0,得,(,x,2,-,y,)-(,x,-1)=0.,x,2,-,y,=0,x,=1,x,-1=0,y,=1,可知不论取何值,曲线,C,过定点(1,1).,依题设,即,2.,已知,k,R,直线,y,=,kx,+1与椭圆 =1恒有公共点,则实数,m,的取值范围是,.,1,5)(5,+),由于直线,y,=,kx,+1过定点,P,(0,1)，则当,P,(0,1)在椭圆上或椭圆内时，直线与椭圆恒有公共点，因此,m,且,m,5,求得,m,1,5)(5,+).,3.,双曲线,x,2,-,y,2,=4上一点,P,(,x,0,y,0,)在双曲线的一条渐近线上的射影为,Q,，已知,O,为坐标原点，则,POQ,的面积为定值,.,1,如图,双曲线,x,2,-,y,2,=4的,两条渐近线为,y,=,x,即,x,y,=0.,又|,PQ,|= ,|,PR,|= ，,所以,S,POQ,= |,PQ,|,PR,|= =1.,4.,已知定点,A,(2,3),F,是椭圆 =1的右焦点,M,为椭圆上任意一点,则|,AM,|+2|,MF,|的最小值为,.,6,由于点,A,在椭圆内，过,M,点作椭圆右准线,x,=8的垂线，垂足为,B,.,由椭圆第二定义，得2|,M,F|=|,MB,|，,则|,AM,|+2|,MF,|,AM,+|,BM,|，,当,A,、,B,、,M,三点共线且垂直于准线时，|,AM,|+2|,MF,|的最小值为6.,1.,若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为,f,(,x,y,)+,g,(,x,y,)=0(其中,为参变数)，由,f,(,x,y,)=0,g,(,x,y,)=0确定定点坐标.,2.,在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.,3.,解析几何中的最值问题，或数形结合，利用几何性质求得最值，或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数，然后应用代数方法求得最值.,再见谢谢,