分类讨论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中考数学专题探究,第十一讲 分 类 讨 论,主 讲 许晓红,单 位 常州正衡中学,问题,:,已知,a,、,b,、,c,均为非零实数，且满足,则,k,的值为（ ）,A 1 B -2 C 1,或,-2 D 1,或,2,根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论,引起分类讨论的几个主要原因,1.,问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的,.,如,|,a,|,的定义分,a0,、,a,0,、,a2,时分,a0,、,a,0,和,a,0,三种情况讨论,.,这称为含参型,.,例如：,（,06,南通）已知,A,a,2,，,B,a,2,a,5,，,C,a,2,5a,19,，其中,a,2,求证：,B,A,0,，并指出,A,与,B,的大小关系；,指出,A,与,C,哪个大？说明理由,解,:(1) B,A,（,a,1,）,2,+2,0,B,A,（,2,）,C,A,（,a,7,）,(a,3), a,2,， ,a,7,0,当,2,a,3,时，,A,C,当,a,3,时，,A,C,当,a,3,时，,A,C,4.,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性,.,例如：,1.,在,RtABC,中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（ ）,A 5 B 10 C 5,或,4 D 10,或,8,【,简解,】,本题对谁是斜边进行讨论，选,D,；,2.,已知关于,x,的方程,(k,2,1)x,2,2(k,1)x,1,0,有实数根，求,k,的取值范围,【,简解,】,本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案,:,k,1,；,3.,菱形有一内角为,120,有一条对角线为,6cm,则此菱形的边长为,cm.,【,简解,】,本题分,6cm,是较短的对角线和,6cm,是较长的对角线两种情况，答案,6cm,或,2cm,；,4.,五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是,4,，唯一众数是,5,，则这五个正整数的和为,.,【,简解,】,本题分五个数分别为,1,、,2,、,4,、,5,、,5,；,1,、,3,、,4,、,5,、,5,；,2,、,3,、,4,、,5,、,5,三种情况，,答案,17,、,18,、,19,；,5.,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,45,，则这个等腰三角形的顶角,【,简解,】,本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案,45,和,135,；,【,简解,】,本题分三角形的外心在三角形形内和形外两种情况，答案,30,和,150.,6.,若,O,为,ABC,的外心，且,则,7.,（,06,常州）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与 轴相交于点,A,、,B,，顶点为,C,，点,D,在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形,ABCD,是一个边长为,2,且有一个内角为,60,的菱形，求此二次函数的表达式,.,分析：本题是数量（,60,的角）不确定，所以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有,4,种情况产生,.,解：,设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点,E,，,（,1,）如图，当 时，,因为,ABCD,菱形，一边长为,2,，,所以，,所以点,B,的坐标为（ ，,0,），,点,C,的坐标为,（,1,，,-1,），,解得 ，所以,图,（,2,）如图，当 时，由菱形性质知点,A,的坐标为,（,0,，,0,），,点,C,的坐标为（,1,， ），,解得,所以,同理可得：,所以符合条件的二次函数的表达式有：,图,8.(07,无锡,),（,1,）已知,ABC,中，,A=90,B=67.5,请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）,分析：本题是对图形的分割，分割线的位置可以不同，形成的图形也不同，所以需要分类讨论,.,解：（,1,）如图，共有,2,种不同的分割法,备用图,C,A,B,（,2,）已知,ABC,中,C,是其最小的内角，过顶点,B,的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求,ABC,与,C,之间的关系,图,2,图,3,9.,（,07,苏州）,设抛物线与,x,轴交于两个不同的点,A(,一,1,，,0),、,B(m,，,0),，与,y,轴交于点,C,.,且,ACB=90,(1),求,m,的值和抛物线的解析式；,(2),已知点,D(1,，,n ),在抛物线上，过点,A,的直线交抛物线于另一点,E,若点,P,在,x,轴上，以点,P,、,B,、,D,为顶点的三角形与,AEB,相似，求点,P,的坐标,(3),在,(2),的条件下，,BDP,的外接圆半径等于,_,分析：本题中以点,P,、,B,、,D,为顶点的三角形与,AEB,相似，由于没有指明对应点，所以需要分类说明,.,解：,（,1,）,令,x,0,，得,y,2 C,（,0,，,2,）,ACB,90,，,COAB,AOC COB OAOB,OC,2,OB, ,m,4,将,A,（,1,，,0,），,B,（,4,，,0,）代入,得 抛物线的解析式为,（,2,）,D,（,1,n,）,代入,得,n,3,由 得,E,（,6,7,）,分别过,E,、,D,作,EH,、,DF,垂直于,x,轴于,H,、,F,，则,H,（,6,0,）、,F,（,1,，,0,）,AH,EH,7 EAH,45,BF,DF,3 DBF,45 EAH=DBF=45,DBH=135 90EBA135,则点,P,只能在点,B,的左侧，有以下两种情况,：,10,如图,1,，已知,正方形,ABCD,的边长为,2,，,O,为,BC,边的中点，若,P,为,DC,上一动点，连结,BP,，过点,O,作直线,lBP,交,AB,（或,AD,）于点,Q,（图,1,）,（,1,）,设,DP,t,（,0,t,2,），,直线,l,截正方形所得左侧部分图形的面积为,S,，试求,S,关于,t,的函数关系式（图,1,）,（,2,）,当点,Q,落在,AD,（不含端点）上时，问：以,O,、,P,、,Q,为顶点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点,P,的位置；若不能，请说明理由,分析：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛,图,2,E,Q,P,图,3,A,B,C,D,O,P,Q,图,4,分类思想是我们数学中一种非常重要,也是很常见的思想,在中考中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度,.,解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论,.,