集合的含义及表示

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.1,集合的含义与表示,第一课时 集合的含义,问题提出,“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为,:,许多的人或物聚在一起,.,在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的,“集合”,？,集合的含义,知识探究（一）,考察下列问题：,（,1,）,1,20,以内的所有质数；,（,2,）绝对值小于,3,的整数；,（,3,）龙一中,248,（或,249,）班的所有男同学；,（,4,）平面上到定点,O,的距离等于定长的所有的点,.,思考,1,：,上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个,集合,，集合中的每个对象都称为,元素,.,上述,4,个集合中的元素分别是什么？,思考,3,：,组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？,思考,2,：,一般地，怎样理解,“,元素,”,与,“,集合,”,？,把研究的对象称为,元素,，通常用小写拉丁字母,a,，,b,，,c,，,表示；,把一些元素组成的总体叫做,集合,，简称集，通常用大写拉丁字母,A,，,B,，,C,，,表示,.,知识探究（二）,任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？,思考,1,：,某单位所有的,“,帅哥,”,能否构成一个集合？由此说明什么？,集合中的元素必须是确定的,思考,2,：,在一个给定的集合中能否有相同的元素？,由此说明什么？,集合中的元素是不重复出现的,思考,3,：,0706,班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？,由此说明什么？,集合中的元素是没有顺序的,知识探究（三）,思考,1,：,设集合,A,表示,“,1,20,以内的所有质数,”,，那么,3,，,4,，,5,，,6,这四个元素哪些在集合,A,中？哪些不在集合,A,中？,思考,2,：,对于一个给定的集合,A,，那么某元素,a,与集合,A,有哪几种可能关系？,思考,3,：,如果元素,a,是集合,A,中的元素，我们如何用数学化的语言表达？,a,属于集合,A,，记作,思考,4,：,如果元素,a,不是集合,A,中的元素，我们如何用数学化的语言表达？,a,不属于集合,A,，记作,自然数集（非负整数集）：记作,N,正整数集：记作 或,整数集：记作,Z,有理数集：记作,Q,实数集：记作,R,知识探究（四）,思考,1,：,所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？,思考,2,：,自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？,作业：,P,5,练习：,1.,（,1,）；,P,11,习题,1.1A,组：,1.,1.1.1,集合的含义与表示,第二课时 集合的表示,问题提出,1.,集合中的元素有哪些特征？,集合的表示,确定性、无序性、互异性,2.,元素与集合有哪几种关系？,属于、不属于,3.,用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如,“,在平面直角坐标系中以原点为圆心，,2,为半径的圆周上的点,”,组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？,知识探究（一）,思考,1,：,这两个集合分别有哪些元素？,考察下列集合：,（,1,）小于,5,的所有自然数组成的集合；,（,2,）方程 的所有实数根组成的集合,.,（,1,）,0,，,1,，,2,，,3,，,4,； （,2,）,-1,，,0,，,1,思考,2,：,由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？,（,1,）,0,，,1,，,2,，,3,，,4,； （,2,）,-1,，,0,，,1,思考,3,：,这种表示集合的方法叫什么名称？,列举法,思考,4,：,列举法表示集合的基本模式是什么？,把集合的元素一一列举出来，并用花括号,“, ,”,括起来，即,知识探究（二）,考察下列集合：,（,1,）不等式 的解组成的集合；,（,2,）绝对值小于,2,的实数组成的集合,.,思考,1,：,这两个集合能否用列举法表示？,思考,2,：,如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？,（,1,）,R,，且 ； （,2,）,R,，且,思考,3,：,上述两个集合可分别怎样表示？,（,1,）, R,|,； （,2,）, R,|,思考,4,：,这种表示集合的方法叫什么名称？,描述法,思考,5,：,描述法表示集合的基本模式是什么？,元素的一般符号及取值范围,|,元素所具有的性质,知识探究（三）,思考,1,：,与, ,的含义是否相同？,思考,2,：,集合,1,，,2,与集合,（,1,，,2,）,相同吗？,思考,3:,集合 的几何意义如何？,x,y,o,理论迁移,例,1,用适当的方法表示下列集合：,（,1,）绝对值小于,3,的所有整数组成的集合；,（,2,）在平面直角坐标系中以原点为圆心,1,为半径的圆周上的点组成的集合；,（,3,）所有奇数组成的集合,；,（,4,）由数字,1,，,2,，,3,组成的所有三位数构成的,集合,.,-2,，,-1,，,0,，,1,，,2,或,123,，,132,，,213,，,231,，,312,，,321.,例,2,用列举法表示下列集合：,（,1,）,;,（,2,）,.,（,1,）,-1,，,1,，,2,，,4,，,5,，,7,；,（,2,）,（,0,3,）,（,1,2,），（,2,1,）,（,3,0,）,例,3,设集合 ， 已知 ，求实数 的值,.,例,4,已知集合,A=1,2,3,B=1,2,设集合,C= ,试用列举法表示集合,C.,C=-1,，,0,，,1,，,2,1,或,-4,1.1.2,集合间的基本关系,第一课时,子集和等集,问题提出,1.,集合有哪两种表示方法？,列举法，描述法,2.,元素与集合有哪几种关系？,属于、不属于,3.,集合与集合之间又存在哪些关系？,子集和等集,知识探究（一）,考察下列各组集合：,（,1,）,A=1,，,2,，,3,与,B=1,，,2,，,3,，,4,，,5,；,（,2,）,A=,与,B= .,（,3,）,A=,x,|,x,是正三角形,与,B=,x,|,x,是等腰 三角形,.,思考,1:,上述各组集合中，集合,A,中的元素与集合,B,有什么关系？,A,中的元素都属于,B,思考,2:,上述各组集合中,A,与,B,有包含关系，我们把集合,A,叫做集合,B,的子集,.,一般地，如何定义集合,A,是集合,B,的子集？,对于两个集合,A,，,B,，如果集合,A,中任意一个元素都是集合,B,中的元素，则称集合,A,为集合,B,的子集,.,思考,3:,如果集合,A,是集合,B,的子集，我们怎样用符号表示？,（或 ），读作：,“,A,含于,B,”,（或,“,B,包含,A,”,）,思考,4:,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为,venn,图，那么，集合,A,是集合,B,的子集用图形如何表示？,A,B,思考,5:,如果 ，且 ，则集合,A,与集合,C,的关系如何？,思考,6:,怎样表述 ， ， 两两之间的关系？,知识探究（二）,考察下列各组集合：,（,1,） 与 ；,（,2,） 与 ；,（,3,） 与,.,思考,1:,上述各组集合中，集合,A,与集合,B,之间的关系如何？,相等,思考,2:,上述各组集合中，集合,A,是集合,B,的子集吗？集合,B,是集合,A,的子集吗？,思考,3,：,对于实数,如果 且 ， 则 与 的大小关系如何？,思考,4,：,从子集的关系分析，在什么条件下集合,A,与集合,B,相等？,理论迁移,例,1,写出满足 的所有集 合,A.,1,，,2,1,，,2,，,3,1,2,4,1,，,2,，,3,，,4,例,2,已知集合 ，,试确定集合,A,与,B,的关系,.,例,3,设集合 ，,若 ，求实数 的值,.,-1,或,0,例,4,设集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围,.,作业,:,P,7,练习：,3.,P,12,习题,1.1A,组：,5,（,1,）,.,思考题：,已知集合,A=1,，,2,，,若 ，求实数 的值,.,1.1.2,集合间的基本关系,第二课时,真子集和空集,问题提出,1.,的含义是什么？从子集的关系分析，,A=B,可怎样理解,？,2.,若 ，则集合,A,与,B,一定相等吗？,3.,若 ，则可能有,A=B,，也可能,.,当 ，且 时，我们如何进行数学解释？,真子集和空集,知识探究（一）,考察下列两组集合：,（,1,）集合,A=1,，,2,，,3,，,4,与,（,2,）集合,A=0,，,1,，,2,，,3,，,4,与,思考,1:,上述两组集合中，集合,A,与集合,B,之间的关系如何？,思考,2:,上述两组集合中，集合,A,都是集合,B,的子集，这两个子集关系有什么不同？,思考,3:,为了区分这两种不同的子集关系，我们把（,1,）中的集合,A,叫做集合,B,的真子集，那么如何定义集合,A,是集合,B,的真子集？,如果 ，但存在元素 且 ，则称集合,A,是集合,B,的真子集,.,思考,4:,如果集合,A,是集合,B,的真子集，我们怎样用符号表示？,思考,5:,若集合,A,是集合,B,的子集，则集合,A,一定是集合,B,的真子集吗？若集合,A,是集合,B,的真子集，则集合,A,一定是集合,B,的子集吗？,知识探究（二）,考察下列集合：,（,1,）,x|x,是边长相等的直角三角形,；,（,2,） ；,（,3,）,.,思考,1:,上述三个集合有何共同特点？,集合中没有元素,思考,2:,上述三个集合我们称之为空集，那么什么叫做空集？用什么符号表示？,不含任何元素的集合叫做空集，记为,思考,3:,对于集合,A=1,，,2,，空集是集合,A,的子集吗？,规定：空集是任何集合的子集,思考,4:,空集与集合,0,相等吗？二者之间是什么关系？,思考,5:,集合,a,a,b,a,b,c,分别有多少个子集？,思考,6:,一般地，集合 共有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？,理论迁移,例,1,已知集合,M,满足,M 1,，,2,，,3,，且集合,M,中至少含有一个奇数，试写出所有的集合,M.,1,，,3,，,1,，,2,，,1,，,3,，,2,，,3,例,2,设集合 ， ，若,A B,，求实数,m,的值,.,m=0,或 或,-1,例,3,已知集合 ，,若,A B,，求实数 的取值范围,.,作业,:,P,7,练习：,2.,P,12,习题,1.1A,组：,5,（,2,）,（,3,）,.,思考题,:,已知集合,A= , B=,x|x,0,若,A B,求实数 的取值范围,.,1.1.3,集合的基本运算,第一课时,并集和交集,问题提出,1.,对于两个集合,A,、,B,，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明,.,2.,两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运算呢？,交集和并集,知识探究（一）,考察下列两组集合：,（,1,）,A=1,，,3,，,5,，,B=1,，,2,，,3,，,4,，,C=1,，,2,，,3,，,4,，,5,；,（,2,） ， ，,.,思考,1:,上述两组集合中，集合,A,，,B,与集合,C,的关系如何？,思考,2:,我们把上述集合,C,称为集合,A,与,B,的并集，一般地，如何定义集合,A,与,B,的并集？,由所有属于集合,A,或属于集合,B,的元素组成的集合，称为集合,A,与,B,的并集,思考,3:,我们用符号,“,”,表示集合,A,与,B,的并集，并读作,“,A,并,B,”,，那么如何用描述法表示集合 ？,A,B,思考,4:,如何用,venn,图表示 ？,思考,5:,集合,A,、,B,与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？,思考,6:,集合 ， 分别等于什么？,思考,7:,若 ，则 等于什么？反之成立吗？,思考,8,:,若 ，则说明什么？,知识探究（二）,考察下列两组集合：,（,1,）,A=1,，,3,，,5,，,B=1,，,2,，,3,，,4,，,C=1,，,3,；,（,2,） ， ，,思考,1:,上述两组集合中，集合,A,，,B,与集合,C,的关系如何？,思考,2:,我们把上述集合,C,称为集合,A,与,B,的交集，一般地，如何定义集合,A,与,B,的交集？,由属于集合,A,且属于集合,B,的所有元素组成的集合，称为集合,A,与,B,的交集,思考,3:,我们用符号,“,”,表示集合,A,与,B,的交集，并读作,“,A,交,B,”,，那么如何用描述法表示集合 ？,思考,4:,如何用,venn,图表示 ？,A,B,思考,5:,集合,A,、,B,与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？,思考,6:,集合 ， 分别等于什么？,思考,7:,若 ，则 等于什么？反之成立吗？,思考,8,:,若 ，则说明什么？,集合,A,与,B,没有公共元素或,理论迁移,例,1,写出满足条件 的所有集合,M.,3,，,1,，,3,，,2,，,3,，,1,，,2,，,3,例,2,已知集合 ，,若 ，求,-1,，,0,，,1,1.1.3,集合的基本运算,第二课时,全集和补集,问题提出,2.,对于任意两个集合，是否都可以进行交与 并的运算？,全集和补集,1.,对于集合,A,，,B,， 和 的含义如何？,3.,两个集合之间的运算除了,“,并,”,与,“,交,”,以外，还有其他运算吗？,集合,x,|,x,是直线,与集合,x,|,x,是圆,的交集是什么？,知识探究（一）,思考,1:,方程 在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？,2,思考,2:,不等式 在实数范围内的解集是什么？在整数范围内的解集是什么？,2,，,3,，,4,思考,3:,在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果,.,我们通常把研究问题前给定的范围所对应的集合称为全集，如,Q,，,R,，,Z,等,.,那么全集的含义如何呢？,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作,U,知识探究（二）,考察下列各组集合：,（,1,）,U=1,，,2,，,3,，,4,，,，,10,，,A=1,，,3,，,5,，,7,，,9,，,B=2,，,4,，,6,，,8,10,；,（,2,）,U=,x,|,x,是师大附中,0705,班的同学,，,A=,x,|,x,是师大附中,0705,班的男同学,，,B=,x,|,x,是师大附中,0705,班的女同学,；,（,3,）,U=,，,A=,，,B= .,思考,1:,在上述各组集合中，集合,U,，,A,，,B,三者之间有哪些关系？,思考,2:,在上述各组集合中，把集合,U,看成全集，我们称集合,B,为集合,A,相对于全集,U,的补集,.,一般地，集合,A,相对于全集,U,的补集是由哪些元素组成的？,由全集,U,中不属于集合,A,的所有元素组成的,思考,3:,怎样定义,“,补集,”,？用什么符号表示集合,A,相对于全集,U,的补集？,对于一个集合,A,，由全集,U,中不属于集合,A,的所有元素组成的集合，称为集合,A,相对于全集,U,的补集,.,记作,.,思考,4:,如何用描述法表示集合,A,相对于全集,U,的补集？如何用,venn,图表示 ？,A,U,思考,5:,集合, , , , ,分别等于什么？,思考,6:,若 ，则 等于什么？若 ，则 与 的关系如何？,理论迁移,例,1,设全集,U=,，,A=1,2,3,4,，,B=3,4,5,6,7,，求 ，,.,=1,，,2,，,5,，,6,，,7,，,8,；,=3,，,4,，,5,，,6,，,7,，,8.,例,2,已知全集,U=R,，集合 ，,求,.,例,3,设全集 ，已知, , ,求集合,A,、,B.,1,，,6,A,B,2,，,3,0,，,5,U,4 , 7,