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-,*,-,2,.,2,.,2,直线方程的几种形式,一,二,一、直线方程的几种形式,【问题思考】,1.直线在坐标轴上的截距是距离吗?,提示:“截距并非指“距离,它是直线与坐标轴交点的横、纵坐标,可以取一切实数,而距离必须大于或等于零.,2.填写下表:,一,二,一,二,4,.,两点式表示直线方程的条件是什么,?,两点式怎样变形就能适用于所有过两点的直线了,?,一,二,(3),当直线在两坐标轴上的截距相等时,直线,l,的斜率,k=-,1,故常设直线方程为,x+y=a.,一,二,5,.,做一做,:,在,x,轴上的截距为,2,且倾斜角为,135,的直线方程为,(,),A.,y=-x+,2B.,y=-x-,2,C.,y=x+,2D.,y=x-,2,答案,:,A,6,.,做一做,:,过点,P,(3,2),和点,Q,(4,7),的直线方程为,.,答案,:,5,x-y-,13,=,0,一,二,二、几种特殊直线的方程,【问题思考】,1,.,在方程,Ax+By+C=,0(,A,2,+B,2,0),中,当,A=,0,或,B=,0,时方程分别表示怎样的直线,?,一,二,2,.,填空,:,选用点斜式、斜截式、两点式求直线方程时,要考虑特殊情况下的直线方程,(,坐标轴所在直线或垂直于坐标轴的直线或经过原点的直线,),.,过点,(,a,b,),且平行于,x,轴的直线方程为,y=b,.,过点,(,a,b,),且平行于,y,轴的直线方程为,x=a,(,平行于,y,轴的直线的斜率,不存在,),.,过原点的直线方程为,y=kx,或,x=,0,.,x,轴的方程是,y=,0,.,y,轴的方程是,x=,0,(,y,轴的斜率,不存在,),.,一,二,思考辨析,判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“,错误的画“.,(1)过点P的直线都可用点斜式写出. (),(2)过点P(x0,y0)且与x轴垂直的直线方程是y=y0. (),(4),直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于,x,轴的任何直线,.,(,),(5),直线的一般式方程可表示任意一条直线,.,(,),(6),直线的截距式可表示除过原点外的所有直线,.,(,),(7),直线的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程,.,(,),(8),任何一条直线的一般式方程均能与其他四种形式,(,点斜式、两点式、斜截式、截距式,),相互互化,.,(,),一,二,答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线方程的点斜式,【例1】 求满足以下条件的直线的方程:,(1)过点P(-4,3),斜率k=-2;,(2)过点P(2,-5),且与x轴平行;,(3)过点P(3,-1),且与y轴平行.,思路分析:利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答.,解:(1)直线过点P(-4,3),斜率k=-2,由点斜式得y-3=-2(x+4),整理得所求方程为2x+y+5=0.,(2)直线过点P(2,-5),且与x轴平行,那么斜率k=0,故所求直线方程为y+5=0(x-2),即y=-5.,(3)直线与y轴平行,说明斜率不存在,又因为直线过点P(3,-1),所以直线的方程为x=3.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟,利用点斜式求直线方程的步骤如下,:,(1),确定直线要经过的定点,(,x,0,y,0,),.,(2),明确直线的斜率,k.,(3),由点斜式直接写出直线方程,.,注意,:,点斜式使用的前提条件是斜率存在,;,当斜率不存在时,直线没有点斜式方程,其方程为,x=x,0,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练1求斜率是直线x-y+1=0的斜率的3倍,且分别满足以下条件的直线方程:,(1)经过点P(3,4);,(2)在x轴上的截距是-5.,解:由x-y+1=0,得y=x+1,直线x-y+1=0的斜率为1.,由题意可得,所求直线的斜率k=3.,(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.,(2)由题意知直线经过点(-5,0),所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线方程的斜截式,【例2】 直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.,(1)求直线l的方程;,(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?,思路分析:(1)直接套用直线的斜截式方程;(2)将点(1,1)代入所设方程求m.,解:(1)利用直线的斜截式方程,可得方程为y=2x+m.,(2)只需将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=21+m,所以m=-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟对斜截式直线方程的理解要注意以下几点:,(1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出,在点斜式中假设点P(x0,y0)为直线l与y轴的交点,得到的直线方程即为斜截式,因此斜截式为点斜式的特殊情况.,(2)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用直线方程的斜截式表示.因此,斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线.,(3)斜截式方程y=kx+b的特点:左端y的系数恒为1,右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标,直线与y轴的交点与原点的距离为|b|.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(1)将本例的条件“在y轴上的截距为m改为“在x轴上的截距为m,如何求直线的方程?,(2)将本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?,(1)解:直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又直线的斜率为2,那么由直线的点斜式方程,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线方程的两点式,【例,3,】,(1),求过两点,(2,-,5),和,(,-,2,3),的直线的两点式方程,;,(2),求过两点,A,(0,0),B,(1,1),的直线方程,.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟在使用直线方程的两点式时要注意以下两点:,(1)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式求出它的方程,假设x1=x2,y1y2,那么直线方程为x-x1=0;假设y1=y2,x1x2,那么直线方程为y-y1=0.,(2)直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线.假设变形为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此时可表示过任意两点的直线的方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练2直线2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,那么过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l的方程是(),x-3y=x-3y=0,x-2y=x-2y=0,答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线方程的截距式,【例4】 点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,求xy的最大值.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟对直线的截距式方程应注意以下几点:,(1)在方程 中,要求a0,b0,即两个截距都不为0,因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线.,(2)当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时,假设选用截距式来求解,注意截距都为0,即直线过原点这种情况.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练3在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是(),x+3y-12=x-3y+12=0,x+3y-1=x-3y+1=0,解析:根据直线方程的截距式写出直线方程 =1,化简得4x-3y+12=0,应选B.,答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线方程的一般式,【例5】 (1)假设直线Ax+By+C=0经过第一、第二和第四象限,那么(),A.AB0,且BC0B.AB0,且BC0,C.AB0D.AB0,且BC0,d0,a0,dc,C.b0,ac,D.b0,ac,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,4.直线l的斜率为6,且在两坐标轴上的截距之和为10,那么直线l的方程为.,答案:6x-y+12=0,1,2,3,4,5,6,5.ABC三个顶点为A(2,8),B(-4,0),C(6,0),求过点B且将ABC面积平分的直线方程.,解:因为AC中点D的坐标为(4,4),所以直线BD即为所求.由直线的,1,2,3,4,5,6,6.直线的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的方程.,解:设l的方程为y= x+b,那么分别令x=0,y=0,可得直线l与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为(-6b,0),
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