三角函数二轮复习课件

第三讲 解三角形的综合问题,【,考情快报,】,(1),以选择、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化，进而解三角形,(,如求角度、边长、面积及判断三角形的形状等,),，属基础题,.,(2),以解答题的形式考查,主要的题型有两类：一是以实际生活为背景,常与度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际相结合,通过巧妙设计和整合,命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题目；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查解三角形的有关知识，属基础题,.,【,核心自查,】,一、主干构建,二、概念理解,1.,解三角形,把三角形的,_,和它们的,_,叫做三角形的,元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形,.,三个角,A,，,B,，,C,对边,a,b,c,2.,实际问题中的常用角,(1),仰角和俯角,在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角,(,如图,1),(2),方位角,指从正北方向,_,转到目标方向线的水平角，如,B,点的方位,角为,(,如图,2),(3),方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东,30,，北偏,西,45,等,(4),坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数,顺时针,三、重要公式,1,正弦定理,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ，其中,R,是三角形外接圆的半径,提醒：,已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的不定性,.,2.,余弦定理及其推论,(1),定理,三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边,与它们夹角的余弦的积的两倍,.,a,2,_,，,b,2,_,，,c,2,_.,b,2,c,2,2bccos A,a,2,c,2,2accos B,a,2,b,2,2abcos C,(2),推论,cos,A,，,cos,B,_,，,cos,C,_.,3.,三角形面积公式,S,ABC,=_=_=_.,4,射影定理,在,ABC,中，边,a,，,b,，,c,分别是角,A,，,B,，,C,的对边,.,则,a,b,cos,C,c,cos,B,，,b,a,cos,C,c,cos,A,，,c,a,cos,B,b,cos,A,热点考向 一,三角形中的求值与证明,【,典例,】1.(2012,长沙模拟,),锐角三角形,ABC,中，,a,，,b,，,c,分别,是三内角,A,，,B,，,C,的对边，设,B,2A,，则,的取值范围是,( ),(A)(,2,2) (B)(0,2) (C)(,，,2) (D)( ),2.(2012,西城模拟,),在,ABC,中，,a=15,，,b=10,A=60,，则,cos,B=( ),(A) (B) (C) (D)-,3.(2012,新课标全国卷,),已知,a,b,c,分别为,ABC,三个内角,A,B,C,的对边，,acos,C+,asin,C-,b-c,=0.,(1),求,A,；,(2),若,a=2,，,ABC,的面积为,，求,b,c,.,【,解题指导,】,1.,求解本题注意两点：一是借助正弦定理实现边角互化；二是注意题设条件,“,锐角三角形,ABC,”,，可以限定角的范围,.,2.,先由正弦定理求出,sin B,，再结合三角形,“,大边对大角,”,的性质判断角,B,的范围，最后利用平方关系求出,cos,B.,3.,由正弦定理及三角恒等变换知识求,(1),，利用余弦定理及三角形面积公式求,(2),【,解析,】,1.,选,D.,2cos A,，,又,ABC,是锐角三角形，,30,A,45,，则,2cos A( ),2.,选,C.,由正弦定理,知,又,a,b,故,A,B,，从而,0,B,60,cos B= .,3.(1),由正弦定理得：,acos C+ asin C-b-c=0,sin Acos C+ sin Asin C=sin B+sin C,sin Acos C+ sin Asin C=sin(A+C)+sin C,sin A-cos A=1,sin(A-30,)=,A-30,=30,A=60,.,(2)S= bcsin A=,bc=4,，,a,2,=b,2,+c,2,-2bccos A,b+c=4.,解得,:b=c=2.,【,拓展提升,】,1,正弦定理的三种常见变形,(1)abc,sin,Asin,Bsin,C,；,(2)a,2Rsin A,，,b,2Rsin B,，,c,2Rsin C,，其中,R,为,ABC,外接圆的半径；,(3)sin A,，,sin B,，,sin C,.,2.,在解三角形时，正、余弦定理可解决的几类问题,(1),正弦定理可解决两类问题：,已知两角及任一边，求其他边或角；,已知两边及一边的对角，求其他边或角,提醒：,情况中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分,(2),余弦定理可解决两类问题：,已知两边及夹角求第三边和其他两角；,已知三边，求各角,热点考向 二,三角形形状的判断,【,典例,】1.(2012,泉州模拟,),已知,ABC,的三个内角满足：,sin A=sin,Ccos,B,则三角形的形状为,( ),(A),正三角形,(B),直角三角形,(C),等腰直角三角形,(D),等腰三角形或直角三角形,2.(2012,哈尔滨模拟,),已知,ABC,，,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,，且,acsin,A,则,( ),(A)ABC,是钝角三角形,(B)ABC,是锐角三角形,(C)ABC,可能为钝角三角形，也可能为锐角三角形,(D),无法判断,3.,在,ABC,中，若 ，试判断,ABC,的形状,【,解题指导,】,1.,利用角与角关系：,A+B+C=,，由,A,(B,C),可得,sin A,sin(B,C),，然后借助两角和的正弦公式求解,.,2.,结合数量积的定义求解,.,3.,把边化成角借助两角和与差的三角函数公式求解或将边化成角求解,.,【,解析,】,1.,选,B.,由,sin A=sin,Ccos,B,得,sin A=,sin(B+C,)=sin,Ccos,B,sin,Bcos,C=0,cos C=0,C= .,ABC,为直角三角形,.,2.,选,A.acsin,A,又,=,accos,B,，,acsin,A,accos,B,，,sin A,cos B,，,cos A,sin B,，,又,cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B,cos Bsin B-cos Acos B,=cos B(sin B-cos A),0.,角,C,为钝角,.,ABC,为钝角三角形,.,3.,方法一：由正弦定理及 ，得,.,所以 ，,所以,.,再利用正弦定理，得 ,.,所以,a,2,b,2,，即,a,b.,即,ABC,为等腰三角形,方法二,：由 ，得,asin B,csin Bcos B,bsin A,csin Acos A.,又,asin B,bsin A,，,所以,sin Bcos B,sin Acos A,，,即,sin 2B,sin 2A.,由于,b,ccos A0,，,由正弦定理得，,sin Bsin Ccos A,，,即,cos Csin A0,，即,cos C0,，,所以,C,，即,A,B .,故有,2A,2B,，所以,A,B,，,从而,ABC,为等腰三角形,【,互动探究,】,把题,1,的条件,“,sin A=sin Ccos B,”,换成,“,a,2bcos C,”,，试判断相应问题,.,【,解析,】,由正弦定理：,sin A,2sin Bcos C,，,sin(B,C),2sin Bcos C,，,sin Bcos C,cos Bsin C,2sin Bcos C,，,sin(B,C),0,，,B,C.,sin A=sin 2B,A=2B,或,A+2B=,，,故所求三角形为等腰直角三角形或等腰三角形,.,【,拓展提升,】,根据所给条件确定三角形形状的两种途径,(1),化边为角,.,即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式,.,(2),化角为边,.,将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系,提醒：,常用正弦,(,余弦,),定理实施边、角转换,热点考向 三,解三角形应用举例,【,典例,】(12,分,)(2012,石家庄模拟,),某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为,ABC,、,ABD,，经测量,AD=BD=14,，,BC=10,AC=16,C=D,(1),求,AB,的长度；,(2),若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由,【,解题指导,】,首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角,C,的大小，进而求,AB,的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断,.,【,规范解答,】,(,1),在,ABC,中，由余弦定理得,AB,2,=AC,2,+BC,2,-2AC,BCcos C.,=16,2,+10,2,-2,16,10cos C.,在,ABD,中，由余弦定理及,C=D,整理得,.,AB,2,=AD,2,+BD,2,-2AD,BDcos D,=14,2,+14,2,-2,14,2,cos C.,2,分,由得：,14,2,+14,2,-2,14,2,cos C=16,2,+10,2,-2,16,10cos C,，,整理可得,cos,C=,，,4,分,又,C,为三角形的内角，所以,C=60,又,C=D,AD=BD,所以,ABD,是等边三角形，,即,AB,的长度是,14.,6,分,(2),小李的设计符合要求,.,理由如下：,S,ABD,= AD,BDsin D,S,ABC,= AC,BCsin C,因为,AD,BD,AC,BC,C=D,10,分,所以,S,ABD,S,ABC,.,又已知建造费用与用地面积成正比，故选择,ABC,建造环境标志费用较低,.,即小李的设计使建造费用较低,.,12,分,【,拓展提升,】,解三角形应用题的一般步骤及流程,(1),步骤,读题,.,阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系,建模,.,根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型,解模,.,根据题意选择正弦定理或余弦定理求解,还原,.,将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等,(2),流程,【,思想诠释,】,1.,本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可,2.,常见的数学模型及相关问题归类如下：,1.(,背景新,),某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点,A,，,B,，且,AB,长为,80,米，当航模在,C,处时，测得,ABC=105,和,BAC=30,，经过,20,秒后，航模直线航行到,D,处，测得,BAD=90,和,ABD=45,.,请你根据以上条件求出航模的速度,.(,答案保留根号,),【,解析,】,在,ABD,中,BAD=90,ABD=45,ADB=45,.,AD=AB=80,BD=80 .,在,ABC,中，,BC= .,在,DBC,中，,DC,2,=DB,2,+BC,2,-2DB,BCcos 60,=(80 ),2,+(40 ),2,-2,80,40,=9 600,，,DC=40 ,航模的速度,v=,米,/,秒,.,答：航模的速度为 米,/,秒,.,【,解析,】,(1),由题设,c,3,=a,3,+b,3,，可得,c,a,c,b,，故,C,为最大角；,只需要判断,a,2,+b,2,-c,2,0,，,因为,(a,2,+b,2,)c-c,3,=(a,2,+b,2,)c-(a,3,+b,3,)=a,2,(c-a)+b,2,(c-b),0,即,(a,2,+b,2,)c-c,3,0,a,2,+b,2,c,2,，,根据余弦定理,，有,cos C=,0,，,故,ABC,是锐角三角形,.,2.(,交汇新,),在,ABC,中，,(1),设,c,3,=a,3,+b,3,，证明,ABC,是锐角三角形；,(2),设,c,n,=,a,n,+b,n,，当,n,3(nN),时，试判断,ABC,是何种三角形，请说明理由,.,(2),因为,c,n,=,a,n,+b,n,，,所以,c,n-2,a,n-2,c,n-2,b,n-2,，,因为,(a,2,+b,2,)c,n-2,-c,n,=(a,2,+b,2,)c,n-2,-(a,n,+b,n,),=a,2,(c,n-2,-a,n-2,)+b,2,(c,n-2,-b,n-2,),0,所以,(a,2,+b,2,)c,n-2,-c,n,0,即,(a,2,+b,2,)c,n-2,c,n,所以,a,2,+b,2,c,2,根据余弦定理,，有,cos C=,0,，,故当,n,3(nN),时，,ABC,是锐角三角形,.,3.(,角度新,),某兴趣小组测量电视塔,AE,的高度,H(,单位：,m),，如示意图，垂直放置的标杆,BC,的高度,h=4 m,，仰角,ABE=,，,ADE=.,(1),该小组已测得一组,，,的值，算,出了,tan =1.24,，,tan =1.20,，,请据此算出,H,的值；,(2),该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离,d(,单位：,m),，使,与,之差较大，可以提高测量精确度,.,若电视塔的实际高度为,125 m,，试问,d,为多少时，,-,最大？,【,解析,】,(1) =tan,AD,=,，,同理,AB=,，,BD= .,AD-AB=BD,，故得 ，,解得：,H= .,因此，算出的电视塔的高度,H,是,124 m.,(2),由题设知,d=AB,，得,tan = ,tan =,，,(,当且仅当,d= = =55,时，取等号,),故当,d=55,时，,tan(-),最大,.,因为,0, ，则,0,-, ，,由,y=tan x,的单调性可知：,当,d=55,时，,-,最大,.,故所求的,d,是,55 m.,