2.1合情推理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.1合情推理,已知的判断,新的判断,确定,根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫,推理,.,归纳推理,3,7,10,3,17,20,13,17,30,10,3,7,20,3,17,30,13,17,6,3+3,，,8,3+5,10,5+5,1000,29+971,，,1002=139+863,猜想任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数的和,.,数学皇冠上璀璨的明珠,哥德巴赫猜想,一个规律：,偶数奇质数奇质数,哥德巴赫猜想的过程：,具体的材料,观察分析,猜想出一般性的结论,归纳推理的过程：,由某类事物的 具有某些特征,推出该类事物的 都具有这些特征,的推理,或者由 概括出,的推理,称为,归纳推理,(,简称归纳,).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,归纳推理的一般模式,:,S,1,具有,P,S,2,具有,P,S,n,具有,P,(S,1,S,2,S,n,是,A,类事物的对象）,所以,A,类事物具有,P,归纳推理的几个特点,;,1.,归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围,.,2.,归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性,.,3.,归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上,.,归纳是立足于观察、经验,、,实验和对有限资料分析的基础上,.,提出带有规律性的结论,.,需证明,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、,个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,类比推理,除了归纳，在人们的创造发明活动中，,还常常应用类比。例如：,2.,人们仿照鱼类的外型和它们在,水中沉浮的原理,发明了潜水艇,.,1.,古代工匠鲁班类比带齿的草叶,和蝗虫的牙齿,发明了锯,3,、火星上是否存在生命？,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命,火星,与,地球,类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,地球上有生命存在,猜测火星上也可能有生命存在,.,.,探究,试将平面上的圆与空间的球进行类比,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,圆的概念和性质,球的类似概念和性质,圆心,与,弦,(,非直径,),中点连线垂直于弦,.,与,圆心,距离相等的两,弦,相等,;,与,圆心,距离不等的两,弦,不等,距,圆心,较近的,弦,较长,.,以点,P(x,0,y,0,),为圆心,r,为半径的圆的方程为,(x-x,0,),2,(y-y,0,),2,=r,2,.,球心,与,截面圆,(,不经过球心的截面圆,),圆心连线垂直于截面圆,.,与,球心,距离相等的两,截面圆,面积相等,;,与,球心,距离不等的两,截面圆,面积不等,距,球心,较近的,截面圆,面积较大,.,以点,P(x,0,y,0,z,0,),为球心,r,为半径的球的方程为,(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,+(z-z,0,),2,=r,2,.,由 具有 ，在此基础上，根据,推出 ，我们把这种的推理称为,类比推理,.,类比推理,两类对象,某些类似特征,一类对象的某些已知特征,另一类对象也,具有这些特征,1,、进行类比推理的,步骤,：,(1),找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；,(2),用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；,(3),检验这个猜想,.,2,、类比推理的一般模式,:,所以,B,类事物可能具有性质,d,.,A,类事物具有性质,a,b,c,d,B,类事物具有性质,a,b,c,(a,b,c,与,a,b,c,相似或相同）,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理,类比推理,以,旧,的知识为基础,推测,新,的结果，具有,发现的功能，,启发思路、提供线索、,举一反三、触类旁通,的作用。,由,特殊到特殊,的推理,类比推理的结论,不一定成立,注意,1,下面几种推理是类比推理的是,(,),A,因为三角形的内角和是,180(3,2),，四边形的内角和是,180(4,2),，,，所以,n,边形的内角和是,180(,n,2),B,由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质,C,某校高二年级有,20,个班，,1,班有,51,位团员，,2,班有,53,位团员，,3,班有,52,位团员，由此可以推测各班都超过,50,位团员,D,4,能被,2,整除，,6,能被,2,整除，,8,能被,2,整除，所以偶数能被,2,整除,答案：,B,2,已知,b,n,为等比数列，,b,5,2,，则,b,1,b,2,b,3,b,8,b,9,2,9,，若,a,n,为等差数列，,a,5,2,，则,a,n,类似的结论为,(,),A,a,1,a,2,a,3,a,9,2,9,B,a,1,a,2,a,9,2,9,C,a,1,a,2,a,3,a,9,2,9,D,a,1,a,2,a,9,2,9,解析：,在等差数列中,“,积,”,变,“,和,”,得,a,1,a,2,a,9,2,9.,答案：,D,例题：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。,直角三角形,C,90,2,条直角边,a,，,b,和,1,条斜边,c,3,个面两两垂直的四面体,PDF,PDE,EDF,90,三个两两垂直的面,S,1,，,S,2,，,S,3,和,1,个,“,斜面,”,S,例题,:,类比平面内直角三角形的勾股定理，,试给出空间中四面体性质的猜想。,A,B,C,b,a,c,s,1,s,3,PEF,的面积为,S,P,E,s,2,D,F,？,c,2,=a,2,+b,2,分析,：,M,PEF,的面积为,S,下面证明猜想是否成立：,过,D,点作,DMEF,垂足为,M,，连接,PM,，则,PMEF,P,E,D,F,M,变式练习：在三角形,ABC,中有结论：,AB+BCAC,，类似地在四面体,P-ABC,中有,.,P,A,B,C,S,1,S,2,S,3,PAB,的面积为,S,平面图形（二维）,立体图形（三维）,点,点或线,线,线或面,平面直角坐标系,空间直角坐标系,几何中常见的类比对象,几何中常见的类比对象,三角形,四面体,（各面均为,三角形,）,四边形,六面体,（各面均为,四边形,）,圆,球,代数中常见的类比对象,复数,向量,方程,函数,不等式,交集，并集，补集,且，或，非运算,数,有限,相等,四面体,（各面均为,三角形,）,球,面,线,几何中常见的类比对象,三角形,圆,向量,无限,不等,代数中常见的类比对象,线,平面几何,立体几何,点,例,1,、试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：,(1) a=b,a+c=b+c;,(2) a=b, ac=bc;,(3),a=b,a,2,=b,2,;,猜想不等式的性质：,(1) a,b,a+c,b+c;,(2) a,b, ac,bc;,(3),a,b,a,2,b,2,;,例题解析：,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,例,2,类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质,.,类比角度,实数的加法,实数的乘法,运算结果,若,a,bR,则,a+bR,运算律,(,交换律和结合律,),a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),逆运算,加法的逆运算是减法,使得方程,a+x=0,有唯一解,x=-a,单位元,a+0=a,若,a,bR,则,abR,ab=ba,(ab)c=a(bc),乘法的逆运算是除法,使得,ax=1,有唯一解,x=1/a,a1=a,圆的概念和性质,球的概念和性质,与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长,以点,(x,0,y,0,),为圆心, r,为半径的圆的方程为,(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,= r,2,圆心与弦,(,非直径,),中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面,(,圆面,),的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大,以点,(x,0,y,0,z,0,),为球心, r,为半径的球的方程为,(x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,+(z-z,0,),2,= r,2,利用圆的性质类比得出球的性质,球的体积,球的表面积,圆的周长,圆的面积,练习,.,在平面上,设,h,a,h,b,h,c,是三角形,ABC,三条边上的高,.P,为三角形内任一点,P,到相应三边的距离分别为,p,a,p,b,p,c,我们可以得到结论,:,试通过类比,写出在空间中的类似结论,.,平面上,空间中,图,形,结论,A,B,C,P,p,a,p,b,p,c,A,B,C,D,P,小结,归纳推理和类比推理的过程,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,通俗地说，合情推理是指,“合乎情理”,的推理,.,合情推理,归纳推理,类比推理,2,、类比推理,由,特殊,到,特殊,的推理,;,以旧的知识为基础,推测,新,的结果；,结论不一定成立,.,1,、归纳推理,由,部分,到,整体,、,特殊,到,一般,的推理,;,以观察分析为基础,推测,新,的结论,;,具有,发现,的功能,;,结论不一定成立,.,具有,发现,的功能,;,比较两个推理：,合情推理,