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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,四、二次曲面,五、小结与教学基本要求,第三节 曲面及其方程,水桶的表面、地球的表面等等,在空间解析几何中,曲面被看成,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,空间点的几何轨迹,曲面方程的定义：,研究空间曲面的,两个基本问题,：,1.,已知曲面的形成条件，,求曲面的方程,;,2.,已知曲面方程，,研究曲面的形状,解,特殊地,球心在原点时方程化为,:,例,1,关于球面方程的说明,:,解,例,2,球面方程的特点,:,三元二次方程，平方项前系数相等，且不含混合二次项,.,又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,解,例,3,所以,上述方程即为所求的中垂面方程,.,解,又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,例,4,所以,上述方程即为所要求的曲面方程,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,旋转曲面的方程的求法：,如图,:,旋转曲面的方程的一般结果：,解,例,1,绕,z,轴：,解,例,3,绕,y,轴：,圆锥面,绕,z,轴：,解,例,3,圆锥面,点,O,称为圆锥的顶点,解,例,3,练习,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，,求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,x,y,z,O,的坐标也满足方程,解,:,在,xoy,面上,，,表示圆,C,平行于,z,轴的直线沿曲线,C,平移所形成的曲面称为,圆,故在空间,过此点作,柱面,.,对任意,z,平行,z,轴的直线,l ,表示,圆柱面,在圆,C,上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面,引例,.,分析方程,表示怎样的曲面,.,在空间中,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,柱面举例：,抛物柱面,平面,圆柱面,从柱面方程看柱面的,特征,：,所以,/,轴,其他情形类似,:,实 例,椭圆柱面,/,轴,双曲柱面,/,轴,抛物柱面,/,轴,双曲柱面,/,轴,1,、指出下列方程在平面直角坐标系中和空间直角,坐标系中分别表示什么图形？,练习题,平面中,空间中,方 程,直线,平面,圆,圆柱面,直线,平面,椭圆,椭圆柱面,二次曲面的定义：,认识二次曲面的常用方法,：,四、二次曲面,截痕法；,伸缩变形法,.,二次曲面的种类：,要求知道几种常见的二次曲面,方法,1,：,方法,2*,：,三元二次方程 所表示的图形,相应地平面被称为,一次曲面,认识二次曲面的常用方法,：,截痕法；,伸缩变形法,.,方法,1,：,方法,2*,：,截痕法,：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即,截痕,）的形状，通过综合截痕的变化来想象这个曲面的形状。,(1),范围：,(2),与坐标面的交线：椭圆,椭球面,椭球面,椭球面,旋转椭球面,球面,x,o,z,y,x,y,o,z,x,y,o,z,单叶双曲面,y,x,o,z,双叶双曲面,单叶双曲面,y,o,z,双叶双曲面,y,x,o,z,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,x,y,z,o,椭圆抛物面,双曲抛物面,马鞍面*,y,x,z,o,椭圆抛物面,x,y,z,o,双曲抛物面,马鞍面*,旋转抛物面,椭圆锥面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,一、柱面,二次曲面类型总结,二、椭球面,三、双曲面,五、椭圆锥面,四、抛物面,一、柱面,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面,二、椭球面,旋转椭球面,球面,三、双曲面,单叶双曲面,y,o,z,双叶双曲面,y,x,o,z,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,四、抛物面,椭圆抛物面,x,y,z,o,双曲抛物面,马鞍面*,旋转抛物面,五、椭圆锥面,练习,平面,球面,椭球面,椭圆柱面,圆柱面,抛物柱面,双曲柱面,上半椭圆锥面,圆锥面,旋转单叶双曲面,椭圆抛物面,双曲抛物面,椭圆锥面,下面介绍,伸缩变形法*,：,1,、平面图形的,伸缩变形法,：,O,a,a,b,M,C,x,y,问题：,例：,求解：,2,、空间图形的,伸缩变形法,：,问题：,求解：,问题：,例：,求解：,以下用,伸缩变形法,讨论几种特殊的二次曲面：,伸缩变形法：,伸缩变形法,1,：,伸缩变形法,2,：,伸缩变形法：,伸缩变形法：,伸缩变形法：,练习题,问,:,方程组,表示怎样空间图形？,解,双曲线,.,曲面方程的概念,旋转曲面的概念及其方程的求法，,常见旋转曲面及其方程,;,柱面的概念，常见柱面及其方程,.,五、小结与教学基本要求,:,掌握,:,常见二次曲面的方程的图形,.,会用,截痕法,认识方程的图形,.,作业,习题,8-3 ( P31 ):,1,5,8(1,4),10(2),11(3).,P31,题,10,答案,在,xoy,面上,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,二、旋转曲面,定义,以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周,该定直线叫旋转曲面的,轴,该曲线叫旋转曲面的,母线,.,所成的曲面称为,旋转曲面,.,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,定义,平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为,柱面,.,三、柱面,
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