线性代数 第六章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章、二次型,二次型就是二次齐次多项式,它的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面方程为标准形式的问题。不仅在几何中,而且在数学的其它分支及物理、力学和网络计算中也常会碰到二次型问题。在本章中,我们将利用矩阵工具讨论,二次型的化简,、,惯性定理,及,正定二次型,等基本理论。,第一节 二次型,定义,1,n,个变量,x,1,，,x,2,，,，,x,n,的二次齐次多项式,称为一个,n,元二次型,，简称,二次型,。,(6.1),当所有系数,a,ij,为复数时,称,f,为,复二次型,；,当所有系数,a,ij,为实数时,称,f,为,实二次型,。,取,，则有,从而,(6.1),式可写成,令,则用矩阵将二次型,(6.1),可写成,其中矩阵,A,为,实对称矩阵,。,由于矩阵,A,的主对角线元素,a,ii,是二次型,f,中平方项,x,i,2,的系数，其余元素,a,ij,=,a,ji,(,i,j,),正是中交叉项,x,i,x,j,系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在,一一对应的关系,。,我们称对称阵,A,为二次型,f,的矩阵,称矩阵,A,的秩为,二次型,f,的,秩,。,例,1,将二次型,表示为矩阵形式,并写出,f,的矩阵和,f,的秩。,解:,因此，,f,的矩阵为,由于矩阵,A,的秩为,2,，从而二次型,f,的秩为,2,。,定义,2,设变量,x,1,x,2,.,x,n,能用变量,y,1,y,2,.,y,n,线性地表示,即存在常数,c,ij,(,i,j,=1,2,n),使,(6.3),成立。则称此关系式为由变量,x,1,x,2,.,x,n,到变量,y,1,y,2,.,y,n,的一个线性变换，或简称,线性变换,。,设,则,(6.3),可以写成以下矩阵形式,当,|,C,|,0,时,称,X=CY,为,可逆,(,或,非退化,),线性变换,.,显然,可逆线性变换是一一对应的,在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型,(6.1),进行可逆线性变换,X=CY,则,记,上式为,因为,A,是对称矩阵,所以,即,B,也是对称矩阵,从而,是一个关于变量,的,n,元二次型,于是得到下面的定理,后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为,定理,1,二次型,经可逆线性变换,之,定义,3,对于两个,n,阶矩阵,A,、,B,，,若存在,n,阶可逆矩阵,C,，使,，则称矩阵,A,与,B,合同,。,矩阵的合同关系与相似关系类似,也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。,由,定理,1,可知,经过可逆线性变换后,新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。,第二节 化二次型为标准形,定义,1,只含平方项而不含交叉项的二次型,:,称为标准形式的二次型,简称为,标准形,。,显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：,正交变换法和配方法,。,一、正交变换法,定理,1,任意一个,n,元二次型,(A,实对称,),总可以经过正交变换,X,=,QY,(Q,为正交矩阵,),化为标准形,(6.6),其中,1,2,.,n,是矩阵,A,的全部特征值。,式,(6.6),称为,二次型在正交变换下的标准形,。,证：,因为矩阵,A,是实对称阵，一定存在正交矩阵,Q,，,使得,其中,1,2,.,n,是矩阵,A,的全部特征值。作正交变换,X,=,QY,，,则,在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到,定理,1,，通常称为,主轴定理,。,可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何,形状,不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。,例,1,用正交变换化下面的二次型为标准形：,并判断二次曲面,的类型。,解,:,二次型的矩阵为,在第五章,3,例,1,中,我们已求得,A,的特征值为,并求出使,A,相似于对角矩阵的正交矩阵,根据定理,1,作正交变换,X,=,QY,，,就可以使二次型化为标准形,二次曲面,经正交变换,化为标准形,因此二次曲面,f,=1,表示,旋转双曲面,。,二、配方法,用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准形可用一种简便的方法,配方法,。下面我们用具体例子来说明这种方法。,例,2,用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。,解,（,1,）因为,中的,系数不为零，故把含,的项集中起来，配方可得,上式右端除第一项外已不再含,x,1,，,继续配方可得,令,即,用矩阵形式表示为,令,则,|C|=1,0,，故,X=CY,为可逆线性变换，且将二次型,f,化为标准形,(2),因为二次型,f,中没有平方项，无法像,(1),那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有,x,1,x,2,交叉项，故令,即,代入可得,再用,(1),中的配方法，先对含,y,1,的项配完全方，然后对含,y,2,的项配完全平方，得到,令,即,综合以上,两个,可逆线性变换，得,所以，在可逆线性变换,X=CZ,下，,f,化为标准形,一般地，任何一个二次型，要么某个平方项,x,2,的系数不为,0,，要么某个交叉项,x,i,x,j,(,i,j,),的系数不为,0,，所以一次或多次使用例,2,中,(1),、,(2),的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理,:,定理,2,任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。,第三节 惯性定理,任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二次型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是,不唯一,的。,经可逆线性变换：,化为标准形,另一方面,作可逆线性变换,即,则原二次型,f,又可化为标准形,比较,f,的二个标准形，可以发现,f,的标准形虽然不唯一，但是,f,的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的,惯性定理,。,定理,1 (,惯性定理,),对于秩为,r,的,n,元二次型,不论用什么可逆线性变换，把,f,化为标准形，其中正平方项的个数,p,和负平方项的个数,q,都是唯一确定的，且,p+q,=r .,定义,1,在二次型,f,(,x,1,x,2,.,x,n,),=X,AX,的标准形中，正平方项的个数,p,称为二次型,f,的,正惯性指数,，负平方项的个数,q,=,r,-,p,称为二次型,f,的,负惯性指数,，它们的差,p,-,q,称为二次型,f,的,符号差,。,推论,1,对于任何二次型,都存在可逆线性变换,X=CY,，,使,其中,p,、,q,分别为,f,的正、负惯性指数。,（,6.15,）式右端称为二次型,f,的,规范形,，显然，它是唯一的。,由惯性定理可得下面的推论,:,第四节 正定二次型与正定矩阵,定义,1,实二次型,f,(,x,1,x,2,. ,x,n,)=X,AX,，,如果对任意的非零向量,X =,(,x,1,x,2, . ,x,n,), ,都有,f,(,x,1,x,2, . ,x,n,)0,(,或,f,(,x,1,x,2, . ,x,n,)0,（或,A0,）,例如实二次型,显然为正定二次型，而,和,就不是正定二次型，因为,根据,定义,1,，可得以下两个结论：,(,结论,1,),标准形实二次型,正定的充要条件是,(,结论,2,),实二次型,经可逆线性交换后其正定性不变。,证 （结论,1,）,充分性,f,为正定二次型。,必要性,f,为正定二次型。,证,:,（结论,2,）,设为,f,正定二次型,在经过可逆线性变换,X=CY,后，变为：,即,f,变为,g,，,下面证明,g,为正定二次型。,对于任意非零向量,由于,C,可逆，从而对应的,X,=,CY,是非零向量。,反证,若,X=0,则,CY,=0 ,从而,C,-1,CY,=,Y,=0 ,矛盾,!,又由于：,且,f,是正定二次型，所以：,根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个,等价条件,。,定理,1,对于,n,元实二次型,以下命题等价。,(1),f,是正定二次型（或,A,是正定矩阵）；,(2),f,的正惯性指数,p=n,（或,A,合同单位矩阵,E),(3),A,的,n,个,1,2, ,n,特征值全大于零。,最后，介绍一个直接从二次型的矩阵,A,本身判别它是否正定的方法。,定理,2,n,元实二次型,f,=,XAX,正定的充分必要条件是,A,的,各阶顺序主子式,都大于,0,，即,，,，,，,例,1,判断下列二次型是否正定,解,:,二次型,f,的矩阵为,A,的各阶主子式为,根据,定理,2,，,f,是正定的。,例,2,证明：,n,阶矩阵,A,正定的充分必要条件是存在,n,阶正定矩阵,B,，使,A=B,2,证,充分性,假设存在,n,阶正定矩阵,B,，使,A=B,2,。由,B,对称得,A,对称。再根据,B,正定，则,B,的,n,个特征值,都大于,0,，从而,A,的,n,个特征值,都大于,0,根据定理,1,A,是正定矩阵,必要性,设,A,是,n,阶正定矩阵，则,A,必是实对称矩阵，从而存在正交矩阵,Q,，,使得,即,其中,是,A,的,n,个特征值，且都大于,0,，,取,又,B,的,n,个特征值,都大于,0,，所以,B,是,正定矩阵，从而命题得证。,