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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 十 四 讲,算符的共同本征函数,(1) Schwartz,不等式,如果， , 是任意两个平方可积的波函数，则,1,(2),算符“涨落”之间的关系测不准关系：,如令,2,例,1 ，,所以，,这即为海森堡（,Heisenberg,）的测不准关系的严格证明。,3,例,2,但在特殊态 时,但这仅是某一特殊态。,例3,在态 下,4,这时,(3) 算符的共同本征函数组,定理1.,如果两个力学量相应的算符有一组,正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符,， 必对易 ， 。,定理2,：,如果两力学量所相应算符对易，则,它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组,。,5,(4) 角动量的共同本征函数组球谐函数,因 ，它们有共同本征函数组。,A. 本征值,：,设： 是它们的共同本征函数，则,6,的本征值为,的本征值为,这表明，角动量的本征值是量子化的。它与,能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。,自由粒子的角动量是量子化的,。,B.,本征函数,7,已求得,的共同本征函数组,-,球谐函数,称为缔合勒让德函数（,Associated Legendre function,）。,8,当 给定，也就是 的本征值给,定，那就唯一地确定了本征函数 。,其性质：,1. 正交归一,2封闭性,9,3,所以，,10,因此，,4. 宇称,即,5.,递推关系,11,(4),力学量的完全集,量子力学描述与经典描述大不一样，,在量,子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系,测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定,状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将,状态描述完全确定呢？,设：,是力学量所对应的算符，并且对易,如 是 的本征函数。,12,的本征函数不简并，则,当 的本征值是两重简并。那问题就不,一样了。,测量,取值 时，并不知处于那一态，,可能为,尽管 也是 的本征态。,但一般而言,13,可求得 的本征值。,若 ，则 一起就唯一地决定,函数,14,的共同本征态没有一个是简并的。,力学量完全集,：设,力学量 彼此对,易；它们的共同本征函数 是不简并的,，,也就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本,征函数，,则称这一组力学量为力学量完全集,。,所以，以后要描述一个体系所处的态时，我,们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以,给出特解，然后得通解。,有了力学量完全集，则可得,15,完全集相应的本征函数为,4.5,力学量平均值随时间的变化，运动常数（守,恒量）恩费斯脱定理（,Ehrenfest Theorem,）,（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数,16,它随时间演化为,17,若 不显含,t,，则,当 ，则 （对体系任何态）不随,t,变。,而取 的几率 也不随,t,变。,我们称,与体系 对易的不显含时间的力学量算,符为体系的运动常数。,18,运动常数并不都能同时取确定值。,因尽,管它们都与 对易，但它们之间可能不对易。,如,都是运动常数，但,彼此不对易，不能同时取确定值。,（2） Vivial Theorem 维里定理,不显含t的力学量，在定态上的平均与 t 无关。,19,若 是,x,y,z,的n次齐次函数，则,例,：谐振子势是,x,y,z,的2次齐次函数,例,：库仑势是,x,y,z,的 1 次齐次函数,20,(3) 能量-时间测不准关系,由算符的“涨落”关系，有,如 ，则有,若 是不显含时间的算符，则有,21,取,则有,这即为能量和时间的测不准关系。,22,（4）恩费斯脱定理,（Ehrenfest Theorem）,以,表示 的平均值。,体系的坐标平均值的时间导数等于其速度,算符的平均值,。,23,体系,动量算符平均值的时间导数等于作用力,的平均值。,于是有,24,称为的恩费斯脱定理。,我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。,25,但决不能无条件地认为,如果这样，即得,但事实上，一般而言,26,但在,V(x),随,x,的变化很缓慢，以及,比较小的条件下，上式近似相等,.,以一维运动来讨论,27,当场随空间变化非常缓慢，且 很小,时，我们有不等式,28,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。,当然，根据测不准关系，,29,因此，当 较小时， 比较大。,所以要有,30,要有两个条件：,势随空间作缓慢变化：,动能很大：,31,第五章 变量可分离型的三维定态问题,不显含,t,时，,有特解,32,处理的是变量可分离型的位势问题。,5.1 有心势,能量本征方程可写为,33,我们可看到,因此， 是两两对易。当共同本征,函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集,（球对称势的体系都有这一特点）。,34,以 的本征值（即量子数）对能,量本征方程的特解进行标识。,于是归结到解具有不同位势 的径向方程,35,首先要研究边条件的共性。,对于束缚态，,对于 ，波函数行为？,（1）不显含时间的薛定谔方程解在,的渐近行为,A,若,时，仅当,0m2,时,才有束缚态。,36,根据维里定理：如 是x,y,z的n次齐,次函数，则有,（在定态上）。,对于上述势,即,37,在这类位势下，束缚态,E0。,所以存在束缚,态的条件为,0m2,38,即仅当 时，才有束缚态。,B,在,时，径向波函数应满足,由径向方程,39,当 时，方程的渐近解为,，,所以有,（,2,）三维自由粒子运动,因 ，所以可选力学量完全集,40,于是有,令,41,这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在,处为有限的解是,而在 处为无穷的解是,42,由于 的条件，所以自,由粒子的本征函数为,对于自由粒子，亦可选,作为,力学量完全集，,其共同本征函数,为,43,而前述，,作为力学量完全集，有,共同本征函数组,44,可按它展开,如取 方向在,z,方向（即为,z,轴），则,45,a. 对,kr,求导，得,46,于是有,47,b.当 时,于是,当 在任意方向，则,48,为 和 之间的夹角,49,现可求,的归一化因子：,而根据展开有,50,51,从而有,即,于是有,52,（,3,）球方势阱：考虑位势为,令,53,
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