第六章1二次型及其矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六章 二次型,1,二次型及其矩阵,2,化二次型为标准形,3,化二次型为规范形,4,正定矩阵,平面解析几何中，,确定一条二次曲线，为了研究二次曲线的性质，通过坐标变换消去交叉项，化为标准形,函数的研究中，需要用线性函数和二次型逼近：,函数的一些性质依赖 的性质,.,1,二次型及其矩阵,一、基本概念,二、线性变换,三、合同矩阵,一、基本概念,定义,n,个变量 的二次齐次函数,其中 为常数，称为,(,n,元,),二次型,.,展开写,把二次型写成矩阵形式,A,称为二次型的矩阵,.,二次型和其矩阵一一对应,.,例,给定二次型,求其矩阵,.,解,对角线上写平方项系数,对角线上方,ij,(,j,i,),位置写 系数的一半,对角线下方按照对称填写元素,.,例,给定对称矩阵,求相应的二次型,.,解,以对角线元素做系数写出相应平方项,以对角线上方元素的,2,倍做系数写出相应的含,的项,.,定义,形如,的二次型称为二次型的标准形,.,定义,形如,的二次型称为规范二次型,.,p,个,r-p,个,n-r,个,一般二次型能否化成标准形，乃至规范形，这需要线性替换。,二、线性替换,定义,设两组变量有关系,称为由 到 的线性替换。,如果 可逆，则替换称为可逆线性替换。此时,是相应的逆线性替换,.,如果 则,定义,如果线性替换的矩阵为正交矩阵,则称它为正交替换,.,三 合同矩阵,定义,设,A,B,是,n,阶矩阵,如果存在可逆线性替换,C,.,使得,则称矩阵,A,B,是合同的,记作,定理,经过可逆线性替换,原二次型矩阵与新二次型的矩阵合同,.,