第一节不定积分的概念及其计算法概述

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节,不定积分的概念及其计算法概述,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质及简单计算,四、小结,1,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念, 原函数,2,关于原函数有以下三个问题：,1) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？,原函数存在定理：,若 在区间,I,内连续, 则在区间,I,内一定存在 的原函数.,简言之：,连续函数一定有原函数,.,2) 若,f(x),有原函数 ,原函数是否唯一？,例,即:,若,f(x),有原函数 ,则,f(x),的原函数有无穷多个.,3,3),f(x),的全体原函数如何表示?,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,关于原函数的两个说明：,若,F(x),是,f(x),的一个原函数 ,则,f(x),的全体,原函数可表示为,F(x),+,C,. (,C,为任意常数）,4,任意常数,积分号,被积函数, 不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,若,F(x),是,f(x),在区间,I,内的一个原函数 ,则,f(x),在区间,I,内的,全体,原函数称为,f(x),在区间,I,内的,不定积分,5,例1,求,解,解,例2,求,6, 不定积分的几何意义,不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的每条曲线上的切线斜率相等.,为平面上的 一条曲线.,为平面上的 一族曲线.,设,F(x),是,f(x),的一个原函数,7,8,结论：,求不定积分的运算与微分运算是,互逆,的., 不定积分与微分(导数)的关系,由此根据微分公式可得积分公式.,9,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,10,基本积分表,是常数);,说明：,简写为,11,12,13,例3,求积分,解,根据积分公式（2）,14,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,及简单计算,15,例4,求积分,解,根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式,可计算简单函数的不定积分.,16,例5,求积分,解,17,例6,求积分,解,18,例,7 求积分,解,19,例8,求积分,解,20,例9,求积分,解,21,例10,求积分,解,22,例11,求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,23,注意:,1) 导数是唯一的 , 但不定积分不唯一.,2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 .,这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .,24,基本积分表(1),不定积分的性质,大家别忘了公式表里总结的积分公式,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,25,