三角形的四心(祥细)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面几何三角形中的“内心，重心，外心，垂心”,内心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称,内心,。,证明内心定理,证明 : 设A、C的平分线相交于I,过I作IDBC，IEAC，,IFAB，则有IE=IF=ID,因此I也在C的平分线上，,即三角形三内角平分线,交于一点,I,I,E,F,D,二、内心,定理：,三角形的内角的角平分线必交于一点，这个点是三角,形的内切圆的圆心，简称,内心,如图，I为ABC的内心,性质：,(1) 内心到三条边的距离相等,(2) 内心一定在三角形的内部,ID=IE=IF,内心,外心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称,外心,。,证明外心定理,证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，,则有OA=OB=OC，,故O也在AC的中垂线上，,因为O到三顶点的距离相等，,故点O是ABC外接圆的圆心,因而称为外心,O,O,定理：,三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点是三角,形的外接圆的圆心，简称,外心,如图，O为ABC的外心,性质：,(,1,) 外心到三个顶点的距离相等,(,2,) 锐角的外心在三角形的内部,直角的外心在斜边的中点处,钝角的外心在三角形的外部,OA=OB=OC,二、内心,外心,D,三、重心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的,重心,。,证明重心定理,E,F,D,G,定理：,三角形的三边中线必交于一点，这个点叫做三角形,的,重心,如图，G为ABC的重心,性质：,(1) 重心到顶点的距离与到对边,中点的距离之比为2:1,二、内心,四、重心,垂心,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的,垂心,。,D,E,F,证明: AD、BE、CF为ABC三条高，,过点A、B、C分别作对边的平行线,相交成ABC，AD为BC,的中垂线；同理BE、CF也分别为,AC、AB的中垂线，,由外心定理，它们交于一点，,命题得证,证明垂心定理,A,B,C,定理：,三角形的三条高线必交于一点，这个点叫做三角形,的,垂心,如图，H为ABC的垂心,性质：,(1) 垂心与顶点的连线垂直于对边,AHBC，BH AC,CH AB,二、内心,垂心,注 意,1、三角形的中心：,只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。,注 意,