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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4 条件概率,1 条件概率,促销问题：,随着市场竞争的加剧，各公司采取的促销手段也越来越多，就企业针对不同目标顾客采取的定向促销方式，在研究了影响消费者购买行为因素的基础上，建立了基于,条件概率的定向促销模型,。分析了企业采取不同定向促销手段后市场份额和利润的变化，从而帮助企业,选择最优的促销策略,。,1,1.4 条件概率,例：掷一颗均匀的骰子，出现1，2，3，4，5，6点的可能性都一样，因此，每次出现4或6的可能性为1/3,也就是说,样本空间S=1,2,3,4,5,6,事件A=4，6,P(A)=1/3,2,1.4 条件概率,现在假如有人看了一眼骰子，并告诉你，骰子出现的点数是偶数，这信息对你的判断很重要，这时你能有多少把握断定它是4或者6。,如果记B=偶数，已知B发生，那么你选择的范围就限于2，4，6，既然出现2，4，6是等可能的，那么出现4，6的概率就为2/3,也就是说，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率是2/3，写P(A|B)=2/3,3,1.4 条件概率,例题：,假设已知该产品为甲厂生产的，那么这件产品为次品的概率是多大？,事件A:取出的产品是甲厂,事件B:取出的为次品,4,1.4 条件概率,假设已知该产品为乙厂生产的，那么这件产品为次品的概率是多大？,C:取出的产品是乙厂,5,1.4 条件概率,事实上，对于古典概型和几何概型这两类“等可能”概率模型中总有,与 的主要区别，前者是已知事件A发生了，样本空间变了，求B发生的P(B),后者是未知事件A是否发生，求事件A与事件B都发生的概率,6,1.4 条件概率,定义1 设A、B是两个事件且P(A) 0，则称 为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率，相应地，把P(B)称为无条件概率。一般地，,计算条件概率有两种方法：,a)在缩减的样本空间A中求事件B的概率,b)在样本空间S中，先求事件P(AB)和P(A).在按定义计算,7,1.4 条件概率,条件概率的性质：, 互不相容，则,8,1.4 条件概率,2 乘法公式,由条件概率的定义得,0,注意,0,乘法公式易推广到多个事件的情形,设A,B,C为事件,且P(AB)0,9,1.4 条件概率,设 为n个事件，且 0,则,例：,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。,10,1.4 条件概率,有两种说法，大家认为那种对？,先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。,大家不必争先恐后，一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大。,让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,11,1.4 条件概率,我们用A,i,表示“第i个人抽到入场券”,i1,2,3,4,5. 则 表示“第i个人未抽到入场券”,显然，P(A,1,)=1/5，P( )4/5,也就是说，第1个人抽到入场券的概率,是1/5,12,1.4 条件概率,由于 由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,计算得： P(A,2,)= (4/5)(1/4)= 1/5,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,13,1.4 条件概率,3 全概率公式:,设S为随机试验的样本空间,是一个完备事件组，且有P(A,i,)0， i=1,2,n, 则对任一事件B，有,“全”部概率,P,(,B,)被分解成了许多部分之和,14,1.4 条件概率,4 贝叶斯公式,例：孩子与狼的故事,这个孩子的可信度是如何下降？,首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”,不妨设村民过去对这个小孩的印象为P(B)=0.8, ,15,1.4 条件概率,第一次村民上山打狼，发生狼没有来，村民根据这个信息，对这个小孩的可信度改变,第二次说谎后：,这个例子是人们获得了A这个新信息,对B,i,事件发生的概率有了新估计， 叫做后验概率,16,1.4 条件概率,定理2 设 是一完备事件组，则对任一事件B，P(B) 0,有,i=1,2,称为贝叶斯公式。,贝叶斯公式与全概率公式的区别,全概率公式可通过综合分析一事件发生的不同原因，情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率。,贝叶斯公式则相反，即一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因，情况或途径的可能性。,17,1.4 条件概率,例如，有三个放有不同数量和颜色的球的箱子，现任从一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自一号箱的概率。,课堂练习：,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现年20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是多少？,18,1.5 事件的独立性,1 独立的定义,有个病人去看病，医生跟他说你这病很严重，10个有9个会死亡，那个病人吓了一跳，医生又跟他说，不过你很幸运，因为在你看病之前已经有9个人跟你一样的病症，并且已经死亡了，所以你是唯一一个能活下来的。病人能信这个医生的话吗？,19,1.5 事件的独立性,两事件独立的定义,若两事件A、B满足,P(AB)= P(A) P(B) (1),则称A、B独立，或称A、B相互独立.,20,1.5 事件的独立性,请问：如图的两个事件是独立的吗？,我们来计算： P(AB)=0而P(A) 0, P(B) 0 P(AB) P(A)P(B)故 A、B不独立,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，,且P(A)0,P(B)0,则A 、B不互斥.,21,1.5 事件的独立性,问：能否在样本空间中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是,和,与独立且互斥,不难发现， 与任何事件都独立.,22,1.5 事件的独立性,从以上这两个问题，我们可以得出：互不相容与相互独立是完全不同的两个概念。,互不相容是指随机试验中两事件不能同时发生，而相互独立是指随机试验中一事件的是否发生与另一事件是否发生么有影响。,23,1.5 事件的独立性,前面我们看到独立与互斥的区别和联 系，再请你做个小练习.,设A、B为互斥事件，P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A),3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),24,1.5 事件的独立性,设A、B为独立事件，P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A),3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),25,1.5 事件的独立性,定理1,设A,B是两事件，若A,B相互独立，且P(B) 0,则,反之亦然。,定理2,设A,B相互独立，则事件A与 , 与 也相互独立。,26,1.5 事件的独立性,例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,解：由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2,P(AB)=2/52=1/26,可见, P(AB)=P(A)P(B),说明事件A、B独立.,27,1.5 事件的独立性,练习题：n人同时向一目标射击，每人中的概率均为0.6,（1）求n=2时，目标被击中的概率,（2）n至少多大时，可得目标被击中的概率大于99%,28,1.5 事件的独立性,在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,比如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 A,i,=第i件是合格品 i=1,2,若抽取是有放回的, 则A,1,与A,2,独立.,若抽取是无放回的，则A,1,与A,2,不独立.,29,1.5 事件的独立性,2 有限个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,定义2 对于三个事件A、B、C， P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C),P(BC)= P(B)P(C),P(ABC)= P(A)P(B)P(C),若四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立。,n个事件的独立性可类似定义。,30,1.5 事件的独立性,n个事件相互独立性的性质,性质1 若事件 相互独立，则其中任意k（1,kn）个事件也相互独立。,性质2 若n个事件相互独立，则它们中任意m个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。,性质3 设 相互独立，则,两两独立，但反之不成立。,31,1.5 事件的独立性,例：加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。,解：本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便。 为四道工序发生次品事件,D为加工出来的零件为次品的事件,则为 产品合格的事件,故有,32,1.5 事件的独立性,33,1.5 事件的独立性,3 伯努利概型,如果随机试验只有两种可能的结果：事件A发生（记为A）,事件A不发生（记为 ）,则称这样的试验为伯努利(Bernoulli)试验。,设 （0p，q1,p+q=1）,将伯努利试验在相同的条件下独立地重复进行,n次,称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验,或简称为伯努利概型.,34,1.5 事件的独立性,注： n重伯努利试验的特点：事件A在每次试验中发生的概率均为p,且不受其它各次试验中A是否发生的影响。,伯努利定理：,设在一次试验中，事件A发生的概率为p(0p1),则在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为,35,1.5 事件的独立性,推论：设在一次试验中，事件A发生的概率为,p(0,p1),则在伯努利试验序列中，事件A在第k次试验中才首次发生的概率为,注意到“事件A第k次才首次发生”等价于“事件A前k-1次均不发生，而第k次才发生”，再由伯努利定理即推得.,36,1.5 事件的独立性,例：一个医生知道某种疾病患者自然痊愈率为0.25,为试验一种新药是否有效,把它给 10 个病人服用,且规定若10个病人中至少有四个治好则认为这种药有效,之则认为无效,求:,(1)虽然新药有效,且把痊愈率提高到 0.35,但通过试验却被否定的概率.,(2)新药完全无效,但通过试验却被认为有效的概率.,解(1)A=“通过试验新药被否定”,则由题意,37,1.5 事件的独立性,A发生当且仅当事件“10 人至多只有 3 人痊愈”发生.注意:依题意,新药有效,痊愈率为 0.35,从而,(2)设B=“通过试验判断新药有效”,则,B发生当且仅当事件“10 个人至少有 4 个痊愈”发生。,注意:依题意,新药无效,这时痊愈率等于自然痊,愈率 0.25,从而,38,1.5 事件的独立性,39,课堂小练,P28 第5、8、17、18、24、25题,5 设A,B,C是三事件P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8，求A,B,C至少有一个发生概率。,8 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回，拿3次；每次拿1件，取后不放回，拿3次），试求：,（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；,（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。,40,课堂小练,17 一批零件共100个，次品率10%，每次从中任取一个零件，取后不放回，如果取到一个合格品就不再取下去，球在三次内取到合格品的概率。,18 有两箱同种类的零件，第一箱装了50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，做不放回抽样。求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率,41,课堂小练,24 甲、乙、丙3人同向一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.7.如果只有1人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。,42,课堂小练,25 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次。求,：（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。,43,
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