第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

,*,第,6,章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,6.1,数字滤波器的基本概念,6.2,模拟滤波器的设计,6.3,用脉冲响应不变法设计,IIR,数字低通滤波器,6.4,用双线性变换法设计,IIR,数字低通滤波器,6.5,数字高通、带通和带阻滤波器的设计,学 习 目 标,1.,理解数字滤波器,(DF),的基本概念,2.,掌握模拟滤波器,(AF),设计方法,3.,理解利用模拟滤波器设计,IIR,数字滤波器的设计过程,掌握冲激响应不变法,掌握双线性变换法,4.,掌握利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法,6.1,数字滤波器,DF,的基本概念,一、,数字滤波器的定义：,指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序,数字滤波器的设计,是确定其,系统函数,并实现的过程。,数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。,数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。,如果要处理的是模拟信号，可通过,A/DC,和,D/AC,，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。 ,二、数字滤波器的分类,按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：经典滤波器现代滤波器,1.,经典滤波器,经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的,1,）从功能上分：,低通,LP,、高通,HP,、带通,BP,、带阻,BS,2,）从实现的网络结构或单位脉冲响应：,（,N-1,）阶,N,阶,IIR,FIR,图,6.1.1,用经典滤波器从噪声中提取信号,2.,现代滤波器,:,信号与干扰信号频带相互重叠,按随机信号内部的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号,.,现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。,维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等,本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，而现代滤波器属于随机信号处理范畴，已超出本书学习范围。,P.152,图,6.1.1,理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性,三、理想数字滤波器的特性,|,H,(,e,j,) |,以,2,为周期,(,数字滤波器与模拟滤波器最大的区别,),对于数字滤波器,:,只给出,-,区间上的设计指标,若,h(n,),为实数,则幅频响应是关于,=0,或,=,对称的,滤波器的低通频带处于,2,整数倍处，高频频带处于,的奇数倍附近,通带,阻带,一般在数字频率的主值区,-,描述数字滤波器的频率响应特性。,低通,高通,带通,带阻,滤波器类型,1,1,0,1,0,-,-,1,0,-,-,0,通常用的数字滤波器一般属于,选频滤波器,。,假设数字滤波器的传输函数,H(e,j,),用下式表示：,四、,数字滤波器的技术要求,低通滤波器幅频特性,幅频特性,:,|,H(e,j,),|,相频特性,:,(,),传输函数,H(e,j,),由二个参量来表征：,1.,幅度平方响应（幅频特性）,2.,群延时（相位响应、相频特性）,幅频特性,:,表示信号通过滤波器后频率成份衰减情况。,本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据,幅度平方响应,来设计。,相频特性,:,反映各频率成份通过滤波器后在时间上的延时情况。,即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。,如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，则需要设计线性相位数字滤波器。,群延时,是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率,的一阶导数的负值。即：,低通滤波器的性能指标：,通带边界频率,阻带截止频率,3dB,通带截止频率,0.707,过渡带,0,低通滤波器频率响应幅度特性的,容限图,1,为通带的容限,(,波纹,),2,为,阻带的容限,理想滤波器是非因果的，其单位脉冲响应从,-,延伸到,+,， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤波器是不能实现的。,可实现滤波器的性能要求：以频率响应的幅度特性的允许误差来表征,可实现滤波器的频率响应有,通带、 阻带及过渡带,三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）,通带,阻带,通带,频率范围为,0|,|,p,：,要求,(1,1,)|,H,(e,j,)|1,阻带,频率范围为,s,|,|,：,要求,|,H,(e,j,)|,2,过渡带,频率范围为：,p,|,|,s,过渡带上的频响一般是单调下降的,通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，,通带内允许的最大衰减用,p,表示，,阻带内允许的最小衰减用,s,表示。对低通滤波器，,p,和,s,分别定义为：,低通滤波器,p,越小,通带波纹越小，通带逼近误差就越小；,s,越大,阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；,p,与,s,间距越小,过渡带就越窄。,低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率,p,、通带最大衰减,p,、阻带边界频率,s,和阻带最小衰减,s,确定。,*通带,(0|,|,p,),：,幅频响应以最大误差,1,逼近于,1,通带内允许的最大衰减,(,波纹,),用,p,表示，定义为,：,(6.1.3),(6.1.4),*阻带,(,s,|,|,) :,幅频响应以误差小于,2,而逼近于,0,|,H,(e,j,)|,2,阻带内允许的最小衰减用,s,表示，,s,定义为：,*过渡带,(,p,s,):,一般为单调下降,或,H(e,j,0,),归一化为,1,通带,(0|,|,p,),：,1,1,|,H,(e,j,)| 1,通带内允许的最大衰减,p,为,：,阻带,(,s,|,|,) :,|,H,(e,j,)|,2,阻带内允许的最小衰减,s,为：,c,：,3dB,通带截止频率,c,s,p,统称边界频率,H(e,j,0,),归一化为,1,对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，,只要求其波纹幅度小于某个常数,，,通常将这种要求称为“,片段常数特性,”。,所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度,1,”,和“阻带波纹幅度,2,”,，而通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,是与,1,和,2,完全等价的两个常数。 片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解,IIR,数字滤波器的双线性变换设计思想。,片段常数特性：,五、数字滤波器设计方法概述,理想的带限滤波器，,h(n),是一非因果的，无法实现，,一般采用逼近技术来设计实际的滤波器。,IIR,滤波器和,FIR,滤波器的设计方法相差较大：,IIR,滤波器的设计,*经典设计方法：,借助模拟滤波器：,先设计模拟滤波器得到传输函数,H,a,(s),，,然后将,H,a,(s),按某种方法转换成数字滤波器的系统函数,H(z),。,即：,H,a,(s),H(z),*,计算机辅助设计,FIR,滤波器的设计,*窗函数法、频率采样法,*切比雪夫等波纹逼近法,6.2,模拟滤波器,(AF),的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，典型的滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表,供设计人员使用。,典型的模拟滤波器,:,巴特沃斯,(Butterworth),滤波器、切比雪夫,(,Chebyshev,),滤波器、椭圆,(,Ellipse,-,Cauer,),滤波器、贝塞尔,(Bessel),滤波器等,.,设计滤波器，就是要确定其系统函数，在系统函数,H(s),已知后，则可以确定系统的频率响应,(,幅频特性和相位特性,),(1),巴特沃斯,(Butterworth),滤波器： 其特点是从通带中心向两边幅频特性单调下降。,(2),切比雪夫,型,(,Chebyshev,),滤波器： 通带内有等波纹幅频特性函数，阻带内有单调下降的幅频特性函数。,(3),切比雪夫,型,(,Chebyshev,),滤波器： 通带内有单调下降的幅频特性函数，阻带内有等波纹幅频特性函数。,(4),椭圆滤波器,(,Ellipse,-,又称考尔,(,Cauer,),滤波器或双切比雪夫滤波器,),： 通带和阻带内均有等波纹幅频特性。,(5),贝塞尔,(Bessel),滤波器,(,又称最大平坦群时延滤波器,),：其特点是在,通带中心,0,附近逼近线性相位特性。,可以证明，一个系统函数不能同时逼近理想滤波器的幅频特性和相位特性。,以上,5,种典型滤波器中,前,4,种是逼近幅度特性,第,5,种逼近相位特性。,对相同的指标要求,对前,4,种幅度特性逼近滤波器,巴特沃斯滤波器阶数最高，切比雪夫次之,椭圆滤波器阶数最低。当阶数相同时,巴特沃斯滤波器截止特性最平坦,(,过渡带最宽,),椭圆滤波器截止特性最陡峭,(,即过渡带最窄,),。,典型滤波器的特点：,图,6.2.1,各种理想滤波器的幅频特性,模拟滤波器的一般设计过程：,(1),根据信号处理要求确定设计指标；,(2),选择滤波器类型；,(3),计算滤波器阶数；,(4),通过查表或计算确定滤波器系统函数,H,a,(,s,),；,(5),综合实现并装配调试。,本书中，分别用,h,a,(,t,),、,a,(,s,),、,H,a,(j,),表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：,可以用,h,a,(,t,),、,H,a,(,t,),、,H,a,(j,),中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。,设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数,|,H,a,(j,)|,给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数,H,a,(,s,),。,6.2.1,模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法,工程实际中通常用所谓的,损耗函数,（也称为,衰减函数,）,A,(,),来描述滤波器的幅频响应特性， 对归一化幅频响应函数（本书后面都是针对该情况，特别说明的除外），,A,(,),定义如下（其单位是分贝，用,dB,表示）：,应当注意，损耗函数,A,(,),和幅频特性函数,|,H,a,(j,)|,只是滤波器幅频响应特性的两种描述方法。损耗函数的优点是对幅频响应,|,H,a,(j,)|,的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。二者的特点如图,6.2.2,所示。图,6.2.2(a),所示的幅频响应函数完全看不清阻带内取值较小（,0.001,以下）的波纹，而图,6.2.2(b),所示的同一个滤波器的损耗函数则能很清楚地显示出阻带,60 dB,以下的波纹变化曲线。,另外，直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，,习惯将,A(),曲线称为损耗函数,(,本书中也如此称谓,),，如图,6.2.2,（,b,）所示。,（,6.2.1,）,图,6.2.2,幅频响应与损耗函数曲线的比较,通带,( = 0,p,),：,p,称为通带截止频率,; ,p,是通带中的最大衰减系数,阻带,（,s,）：,s,称为阻带截止频率,; ,s,是阻带的最小衰减系数,p,和,s,一般用,dB,数表示。,对于单调下降的幅度特性，可表示成,：,(6.2.1),(6.2.2),模拟低通滤波器的设计指标有,p,p,s,和,s,如果,=0,处幅度已归一化到,1,，即,|H,a,(j,0,)|=1,p,和,s,表示为,(6.2.3),(6.2.4),模拟低通滤波器的设计指标参数有,p,、,p,、,s,和,s,。其中,p,和,s,分别称为通带边界频率和阻带截止频率，,p,称为通带最大衰减（即通带,0,，,p,中允许,A,(,),的最大值），,s,称为阻带最小衰减（即阻带,s,上允许,A,(,),的最小值），,p,和,s,的单位为,dB,。以上技术指标如图,6.2.3,所示,图,(a),以幅频特性描述,图,(b),以损耗函数描述。,图,6.2.3,模拟低通滤波器的设计指标参数示意图,由图,6.2.3,可见，对于单调下降的幅度特性，,p,和,s,可表示成：,(6.2.2),(6.2.3),因为图,6.2.3,中，,=3 dB,，所以,c,称为,3 dB,截止频率。,1,和,2,分别称为通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式：,(6.2.4),(6.2.5),滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数,H,a,(s,),，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，因此,如果能由,p,、,p,、,s,和,s,求出,|,H,a,(j,)|,2,，那么就可以求出,H,a,(,s,),H,a,(,s,),，由此可求出所需要的,H,a,(,s,),。,H,a,(,s,),必须是因果稳定的，因此极点必须落在,s,平面的左半平面，相应的,H,a,(,s),的极点必然落在右半平面。这就是由,H,a,(,s,),H,a,(,s,),求所需要的,H,a,(,s,),的具体原则,，,即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。 ,(6.2.6),滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数,H,a,(s),，,希望其幅度平方函数满足给定的指标,p,和,s,.,一般滤波器的单位冲激响应为实数,:,(6.2.5),因此，,幅度平方函数,在模拟滤波器的设计中起很重要的作用。,典型模拟滤波器的幅度平方函数不同,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数,|H,a,(j)|,2,用下式表示：,(6.2.6),2.,巴特沃斯,低通滤波器,幅度特性,6.2.2,巴特沃斯低通滤波器的设计方法,1.,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数,N,为正整数，代表滤波器的阶数,当,=,c,时，不管,N,为多少，所有的特性曲线都通过,-3 d,B,点，或者说衰减为,3 dB,巴特沃斯低通滤波器在通带内有,最大平坦的幅度特性,，即,N,阶巴特沃思低通滤波器在,0,处幅度平方函数,|,H,a,(j,)|,2,的前,(2,N,-1),阶导数为零，因而巴特沃思滤波器又称为最平幅度特性滤波器。随着,由,0,增大，,|,H,a,(j)|,2,单调减小，,N,越大，通带内特性越平坦， 过渡带越窄。,将幅度平方函数,|H,a,(j)|,2,写成,s,的函数：,(6.2.7),(6.2.8),极点,s,k,表示为：,三阶巴特沃斯滤波器极点分布,k,=1, 2, , 2,N,巴,特沃思滤波器的零点全部在,s,=,处，在有限,S,平面内只有极点，因而属于所,谓,“全极点型”滤波器,幅度平方函数的,2,N,个极点,象限对称,等间隔分布在半径为,c,的圆（称巴特沃思圆）上；,极点间的角度间隔为,/,N,rad,极点不会落在虚轴上； ,保证了系统的稳定性,N,为奇数则实轴上有极点，,N,为偶数实轴上无极点。,3.,巴特沃斯低通滤波器的传输函数,1,）,|H,a,(s)|,2,的极点分布：,为形成稳定的滤波器，,2N,个极点中只取,s,平面左半平面的,N,个极点构成,H,a,(s),，,而右半平面的,N,个极点构成,H,a,(-s),。,H,a,(s),的表示式为,例如：,N=3,，,极点有,6,个，它们分别为,取,s,平面左半平面的极点,s,0,s,1,s,2,组成,H,a,(s),：,2,）稳定系统,H,a,(s),的表达式：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。,采用对,3,dB,截止频率,c,归一化,，归一化后的,H,a,(s),表示为,式中，,s/,c,=j/,c,。,令,=/,c,，,称为归一化频率,；,令,p=j,，,p,称为归一化复变量,，,p=s /,c,(6.2.10),(6.2.11),(6.2.12),归一化极点,p,k,：,归一化巴特沃斯的传输函数为,3,）归一化,N,阶低通滤波器的传递函数,H,a,(s),：,4.,巴特沃斯滤波器阶,数,N,和,3dB,截止频率,c,的确定,(6.2.16),(6.2.17),一般模拟低通滤波器的设计指标由参数,p,a,p,，,s,和,a,s,给出， 设计巴特沃思滤波器的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次,N,和截止频率,c,1,）,滤波器阶数,N,的确定,令,N,由下式表示,：,(6.2.18c),用上式求出的,N,可能有小数部分，应取大于等于,N,的最小整数。,整理,:,(6.2.18a),(6.2.18b),p,：,(6.2.17),(6.2.18),2,）,3dB,截止频率,c,的确定：,p,精,确地满足指标要求，,s,指标有富裕量,s,精确地满足指标要求，,p,指标有富裕量,s,：,5.,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤：,1),根据技术指标,p,p,s,和,s,，,求出滤波器的阶数,N,。,2),确定,归一化传输,函数,H,a,(p),方法,1,：,求归一化极点,p,k,，,方法,2,：,由,N,，,查表,6.2.1 p157,3) H,a,(p),去归一化。将,p=s/,c,代入,H,a,(p),，,得到实际的滤波器传输函数,H,a,(s),。,表,6.2.1,巴特沃斯归一化低通滤波器参数,例,6.2.1,已知通带截止频率,f,p,=5kHz,，,通带最大衰减,p,=2dB,，,阻带截止频率,f,s,=12kHz,，,阻带最小衰减,s,=30dB,，,按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,解,(1),确定阶数,N,。,(2),确定极点,归一化传输函数为,*直接查表,6.2.1,，由,N=5,查表得到：,极点：,-0.3090j0.9511, -0.8090j0.5878 ; -1.0000,或系数,: b,0,=1.0000, b,1,=3.2361, b,2,=5.2361, b,3,=5.2361, b,4,=3.2361,*直接计算极点法：,上式分母可以展开成为五阶多项式,或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。,(3),H,a,(p,),去归一化,为将,H,a,(p),去归一化，先求,3dB,截止频率,c,。,将,c,代入,(6.2.18),式，得到：,将,p=s/,c,代入,H,a,(p),中得到：,p,精,确地满足指标要求，,s,指标有富裕量,例,巴特沃斯低通滤波器的技术指标为：,通带边界频率,f,p,=400 Hz,，,通带最小衰减,a,p,=0.5dB,阻带截止频率,f,s,=1000 Hz,，,阻带最小衰减,a,s,=40 dB,，,3dB,截止频率,f,c,=500 Hz,设计巴特沃斯低通滤波器。,解,(1),求阶,数,N,和,3 dB,截止频率,c,计算,3 dB,截止频率,c,取,N,=7,(2),求系统函数。查表 得到,(,N,=7):,b,0,b,1,b,2,b,3,b,4,b,5,b,6,1.0000,4.4940,10.0978,14.5918,14.5918,10.0978,4.4940,其中，,b,=3.8662,10,24,;,分母多项式系数如下表：,MATLAB,信号处理工具箱函数,buttap,buttord,和,butter,是巴特沃斯滤波器设计函数。其,5,种调用格式如下。,1,） ,Z,，,P, K,=,buttap(N,),该格式用于计算,N,阶巴特沃斯,归一化（,3 dB,截止频率,c,=1,）,模拟低通原型滤波器系统函数的,零、极点和增益因子,。返回长度为,N,的列向量,Z,和,P,，分别给出,N,个零点和极点的位置，,K,表示滤波器增益。,得到的系统函数为如下形式,: ,用,MATLAB,工具箱函数设计巴特沃斯滤波器,（,6.2.21,）,式中，,Z(k,),和,P(k,),分别为向量,Z,和,P,的第,k,个元素。如果要从计算得到的零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量,B,和,A,可以调用结构转换函数,B, A=zp2tf(Z, P, K),。,2,） ,N,wc,=,buttord(wp,ws,Rp, As),该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数,N,和,3 dB,截止频率,wc,。,调用参数,wp,和,ws,分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值,，要求,0wp1,，,0ws1, 1,表示数字频率,（对应模拟频率,Fs/2,，,Fs,表示采样频率）。,Rp,和,As,分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（,dB,）。当,wswp,时，为高通滤波器； 当,wp,和,ws,为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时,wc,也是二元向量。,N,和,wc,作为,butter,函数的调用参数。,3,） ,N,wc,=,buttord(wp,ws,Rp, As, s),该格式用于计算,巴特沃斯模拟滤波器,的阶数,N,和,3 dB,截止频率,wc,。,wp,、,ws,和,wc,是实际模拟角频率（,rad/s,）。其他参数与格式,2,）相同。,4,） ,B, A,=,butter(N,wc, ,ftype,),计算,N,阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量,B,和,A,。,调用参数,N,和,wc,分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和,3 dB,截止频率的,归一化值,（关于,归一化），一般按格式,2,）调用函数,buttord,计算,N,和,wc,。由系数向量,B,和,A,可以写出数字滤波器系统函数： ,（,6.2.22,）,式中，,B(k,),和,A(k,),分别为向量,B,和,A,的第,k,个元素。,5,） ,B, A,=,butter(N,wc, ,ftype, s),计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量,B,和,A,。,调用参数,N,和,wc,分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和,3 dB,截止频率（实际角频率）。由系数向量,B,和,A,写出模拟滤波器的系统函数为,（,6.2.23,）,由于高通滤波器和低通滤波器都只有一个,3 dB,截止频率,wc,，因此仅由调用参数,wc,不能区别要设计的是高通还是低通滤波器。当然仅由二维向量,wc,也不能区分带通和带阻。所以用参数,ftype,来区分。,ftype,=high,时，设计,3 dB,截止频率为,wc,的高通滤波器。缺省,ftype,时默认设计低通滤波器。,ftype,=stop,时，设计通带,3 dB,截止频率为,wc,的带阻滤波器，此时,wc,为二元向量,wcl,wcu,，,wcl,和,wcu,分别为带阻滤波器的通带,3 dB,下截止频率和上截止频率。缺省,ftype,时设计带通滤波器，通带为频率区间,wcl,wcu,。,应当注意，,设计的带通和带阻滤波器系统函数是,2N,阶的,。这是因为带通滤波器相当于,N,阶低通滤波器与,N,阶高通滤波器级联。,【,例,6.2.2,】,调用,buttord,和,butter,设计巴特沃斯低通模拟滤波器。要求与例,6.2.1,相同。,设计程序,ep622.m,如下,: ,wp,=2*pi*5000;,ws,=2*pi*12000;,Rp,=2; As=30;,%,设置滤波器参数,N,wc,=,buttord(wp,ws,Rp, As, s);,%,计算滤波器阶数,N,和,3 dB,截止频率,B, A,=,butter(N,wc, s);,%,计算滤波器系统函数分子分母多项式系数,k=0:511;,fk,=0:14000/512:14000; wk=2*pi*,fk,; ,Hk,=,freqs(B, A, wk); ,subplot(2, 2, 1); ,plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid on,xlabel,(,频率,(kHz);,ylabel,(,幅度,(dB),axis(,0, 14, -40, 5,),运行结果,: ,N=5,，,wc,=3.7792e+004,，,B=7.7094e+022,A =,1,1.2230e+005,7.4785e+009,2.8263e+014,6.6014e+018,7.7094e+022,将,B,和,A,代入（,6.2.23,）式写出系统函数为,与例,6.2.1,计算结果形式相同。滤波器的损耗函数曲线如图,6.2.6,所示。由图可以看出，阻带刚好满足指标要求，通带指标有富余。这就说明,buttord,函数使用（,6.2.20,）式计算,3 dB,截止频率。,图,6.2.6,程序,ep622.m,运行输出的损耗函数,(,例,6.2.1,的设计结果,),6.2.3,切比雪夫滤波器的设计方法,巴特沃思滤波器存在的问题,:,巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济,.,改进,:,将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内。这样，在同样通带、 阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来,实现。,切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。,幅度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的,，称为,切比雪夫,型,。,幅度特性在通带内是单调下降的，在阻带内是等波纹的,，称为,切比雪夫,型,。,由应用的要求来确定采用哪种形式的切比雪夫滤波器。,切比雪夫,型低通滤波器的幅度特性,切比雪夫,型低通滤波器的幅度特性,1,）切比雪夫,型滤波器的,幅度平方函数,切比雪夫,型滤波器,幅度平方函数用,A,2,(),表示,：,(6.2.24),切比雪夫,型滤波器幅频特性,为小于,1,的正数，表示通带内幅度波动的程度,愈大,波动幅度也愈大。,p,称为通带截止频率,令,=/,p,，,称为对,p,的归一化频率。,C,N,( ),称为,N,阶切比雪夫多项式,1.,切比雪夫,型滤波器的设计方法,C,N,(x),称为,N,阶切比雪夫多项式，定义为,当,N=0,时，,C,0,(x)=1,；,当,N=1,时，,C,1,(x)=x,；,当,N=2,时，,C,2,(x)=2x,2,-,1,；,当,N=3,时，,C,3,(x)=4x,3,-,3x,。,由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为,C,N+1,(x)=2,x,C,N,(,x,),C,N-1,(,x,),(6.2.25),切比雪夫多项式特性：,(1),切比雪夫多项式的过零点在,|x|1,的范围内；,(2),当,|x|1,时，,|C,N,(x)|1,在,|x|1,时，,C,N,(x),是双曲线函数，随,x,单调上升。,（,2,）,=,p,时,即所有幅度函数曲线都通过 点，所以把,p,定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。,在这个截止频率下，幅度函数不一定下降,3 dB,，,可以是下降其他分贝值，这是,与巴特沃思滤波器不同之处。,2,）切比雪夫,I,滤波器的幅度函数的特点：,（,1,）当,0,，当,N,为偶数时， ；,当,N,为奇数时，,H,a,(j0)=1,。 ,（,3,）在通带内，即当,|,| ,p,时，则,|,| /,p,p,时，随着,的增大,迅速满足,2,C,N,2,(,/,P,)1,使,|,H,a,(j,)|,迅速单调地趋近于零。,3,）切比雪夫,型滤波器的设计过程,平方幅度函数与三个参数即,p,和,N,有关。,与通带内允许,的波动大小有关，定义,允许的通带波纹,用下式表示：,(6.2.26),因此,(6.2.27),设阻带的起始点频率,(,阻带截,止频率,),用,s,表示：,(6.2.28),令s=,s,/,p,，由,s,1，有,(6.2.29),(6.2.30),可以解出,3dB,截止频率用,c,表示，,通常取,c1,，,因此,上式中仅取正号，得到,3dB,截止频率计算公式：,(6.2.26),确定,p,和,N,后,可查阅有关模拟滤波器手册,求出滤波器的极点,并确定,H,a,(p),令,p=,s/,p,系统函数,H,a,(s,)=,H,a,(p,)|,p=,s/p,H,a,(s,),的极点为,s,i,=,i,+j,i,，则：,(6.2.27),式中,(6.2.28),极点求解的过程,(,不要求,),椭圆方程,:,长半轴为,p,ch,(,在虚轴上,),，短半轴为,p,sh,(,在实轴上,),。令,b,p,和,a,p,分别表示长半轴和短半轴，可推导出：,(6.2.29),(6.2.30),(6.2.31),图,6.2.8,三阶切比雪夫滤波器的极点分布,为稳定，用左半平面的极点构成,H,a,(p),，,即,(6.2.32),式中,c,是待定系数。,根据幅度平方函数式可导出：,c =2,N-1,，,(6.2.33a),去归一化后的传输函数为,(6.2.33b),设,N=3,，平方幅度函数的极点分布,令,p=,s/p,确定,H,a,(p,):,归一化的传输函数为,4,）切比雪夫,型滤波器设计步骤,（,1,） 确定技术要求,p,p,s,和,s,p,是,=,p,时的衰减系数，,s,是,=,s,时的衰减系数,(6.2.41),(6.2.42),p,是通带波纹,：,归一化频率,令,(6.2.43),(6.2.44),(2),求滤波器阶数,N,和参数,最后取大于等于,N,的最小整数,归一化,传输函数：,(4),将,H,a,(p),去归一化，得到实际的,H,a,(s),(6.2.46),(6.2.47),求,，,这里,p,=,2,= 10,0.1,-,1,(3),求归一化传输函数,H,a,(p,),(,归一化极点,可查表,),先求出归一化极点,p,k,=,k,+j,k,令,p=,s/p,(6.2.45),低通切比雪夫滤波器的设计小结,已知的技术指标一般有三个：,通带内波纹起伏,dB,；,3dB,截止频率,c,；,在,阻带,s,处的,衰减为,s,dB,。,步骤：,由技术指标确定,、,N,；,（,P165,）,根据,N,查表得归一化的,H,a,(p),；,将,p,用,s/,c,替换，得到,H,a,(s),。,例,6.2.2,设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率,f,p,=3kHz,，,通带最大衰减,p,=0.1dB,，,阻带截止频率,f,s,=12kHz,，,阻带最小衰减,s,=60dB,。,解：,(1),滤波器的技术要求：,(2),求阶数,N,和,：,(3),求,H,a,(p):,求出,N=5,时的极点,p,i,：,(4),将,H,a,(p),去归一化：,切比雪夫,型滤波器,MATLAB,信号处理工具箱函数,cheb1ap,，,cheb1ord,和,cheby1,是,切比雪夫,型滤波器,设计函数。其调用格式如下,: ,1,） ,z, p, k,= cheb1ap(N,Rp,),2,） ,N,wpo,= cheb1ord(wp,ws,Rp, As),3,） ,N,wpo,= cheb1ord(wp,ws,Rp, As, s),4,） ,B, A,= cheby1(N,Rp,wpo, ,ftype,),5,） ,B, A,= cheby1(N,Rp,wpo, ,ftype, s),2.,用,MATLAB,设计切比雪夫滤波器,切比雪夫,型滤波器设计函数与前面的巴特沃思滤波器设计函数比较，只有两点不同。一是这里设计的是切比雪夫,型滤波器； 二是格式,2,）和,3,）的返回参数与格式,4,）和,5,）的调用参数,wp,是切比雪夫,型滤波器的通带截止频率，而不是,3 dB,截止频率。其他参数含义与巴特沃思滤波器设计函数中的参数相同。系数向量,B,和,A,与数字和模拟滤波器系统函数的关系由（,6.2.22,）和（,6.2.23,）式给出。,（,6.2.22,）,（,6.2.23,）,切比雪夫,型,MATLAB,信号处理工具箱函数,cheb2ap, cheb2ord,和,cheby2,是,切比雪夫,型滤波器,设计函数。其调用格式如下,:,1,） ,z, p, G,= cheb2ap(N,Rs,),该格式用于计算,N,阶切比雪夫,型归一化（阻带截止频率,s,=1,）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为,N,的列向量,z,和,p,，分别给出,N,个零点和极点的位置。,G,表示滤波器增益。,Rs,是阻带最小衰减（,dB,）。,2,） ,N,wso,= cheb2ord(wp,ws,Rp, As),该格式用于计算切比雪夫,型数字滤波器的阶数,N,和阻带截止频率,wso,。调用参数,wp,和,ws,分别为数字滤波器的通带边界频率和阻带边界频率的归一化值，要求,0wp1,，,0ws1,，,1,表示数字频率,（对应模拟频率,F,s,/2,）。,Rp,和,As,分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（,dB,）。当,wswp,时,为高通滤波器； 当,wp,和,ws,为二元矢量时,为带通或带阻滤波器，这时,wso,也是二元向量。,N,和,wso,作为,cheby2,的调用参数。,3,） ,N,wso,=cheb2ord(wp,ws,Rp, As, s),该格式用于计算切比雪夫,型模拟滤波器的阶数,N,和阻带截止频率,wso,。,wp,、,ws,和,wso,是实际模拟角频率（,rad/s,）。其他参数与格式,2,）相同。,4,） ,B, A,=cheby2(N,Rs,wso, ,ftype,),该格式用于计算,N,阶切比雪夫,型数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量,B,和,A,。调用参数,N,和,wso,分别为切比雪夫,型数字滤波器的阶数和阻带截止频率的归一化值（关于,归一化），一般调用函数,cheb2ord,计算,N,和,wso,。,5,） ,B, A,=cheby2(N,Rp,wso, ,ftype, s),该格式用于计算,N,阶切比雪夫,型模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量,B,和,A,。调用参数,N,和,wso,分别为,N,阶切比雪夫,型模拟滤波器的阶数和阻带截止频率（实际角频率）。,ftype,的定义与巴特沃思滤波器设计函数中的,ftype,相同。,【,例,6.2.3,】,设计切比雪夫,型和切比雪夫,型模拟低通滤波器。要求与例,6.2.2,相同。 ,解,设计程序,ep623.m,如下,: ,例,6.2.3,设计程序,: ep623.m,设计切比雪夫,型模拟低通滤波器,wp,=2*pi*3000;,ws,=2*pi*12000;,Rp,=0.1; As=60;,设置指标参数,N1, wp1,=cheb1ord(wp,ws,Rp, As, s);,计算切比雪夫,型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率,B1, A1,=cheby1(N1,Rp, wp1, s);,计算切比雪夫,型模拟低通滤波器系统函数系数,subplot(2, 2, 1); ,fk,=0:12000/512:12000; wk=2*pi*,fk,; ,Hk,=freqs(B1, A1, wk); ,plot(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid on,xlabel,(,频率,(kHz);,ylabel,(,幅度,(dB),axis(,0, 12, -70, 5,),运行结果,: ,N=5,切比雪夫,型模拟低通滤波器通带边界频率,: wp1 =1.8850e+004,切比雪夫,型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数,: ,B=1.2187e+011,A =,1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020,滤波器损耗函数如图,6.2.9,所示。,图,6.2.9,五阶切比雪夫,型模拟低通滤波器损耗函数 （例,6.2.3,的设计结果,椭圆（,Elliptic,）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性,。,椭圆滤波器的极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器,。又因为在,1931,年考尔（,Cauer,）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为,考尔（,Cauer,）滤波器,。,6.2.4,椭圆滤波器的设计,由图,(a),可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高,过渡带越窄；由图,(b),可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小,过渡带就越宽。椭圆滤波器的阶数,N,由通带边界频率,p,、阻带边界频率,s,、通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,共同决定。后面对五种滤波器的比较将证实，,椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器,，所以应用非常广泛。,椭圆滤波器逼近理论是复杂的纯数学问题，该问题的详细推导已超出本书的范围。只要给定滤波器指标，通过调用,MATLAB,信号处理工具箱提供的椭圆滤波器设计函数，就很容易得到椭圆滤波器系统函数和零极点位置。,MATLAB,信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数,ellipap,、,ellipord,和,ellip,。,其调用格式如下,: ,1,） ,z, p, k,=,ellipap(N,Rp, As),用于计算,N,阶归一化（通带边界频率,wp,=1,）模拟低通椭圆滤波器的零点向量,z,、极点向量,p,和增益因子,k,。,Rp,和,As,分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（,dB,）。返回长度为,N,的列向量,z,和,p,分别给出,N,个零点和,N,个极点的位置。,MATLAB,2,） ,N,wpo,=,ellipord(wp,ws,Rp, As),用于计算满足指标的椭圆数字滤波器的最低阶数,N,和通带边界频率,wpo,，指标要求由参数,(,wp,ws,Rp, As),给定。参数,(,wp,ws,Rp, As),的定义与巴特沃思滤波器设计函数,buttord,中的相应参数相同。,3,） ,N,wpo,=,ellipord(wp,ws,Rp, As, s),用于计算满足指标的椭圆模拟滤波器的最低阶数,N,和通带边界频率,wpo,。,4,） ,B, A,=,ellip(N,Rp,wpo, ,ftype,),当,wpo,是表示滤波器通带边界频率的标量，而且缺省参数,ftype,时，该格式返回,N,阶低通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量,B,和,A,，滤波器通带波纹为,Rp,dB,； 当,ftype,=high,时，返回,N,阶高通椭圆数字滤波器系统函数系数向量,B,和,A,。当,wpo,是表示带通滤波器通带边界频率的二元向量，而且缺省参数,ftype,时，该格式返回,2N,阶带通椭圆数字滤波器系统函数的分子和分母多项式系数向量,B,和,A,，滤波器通带波纹为,Rp,dB,。当,ftype,=stop,时，返回,2N,阶带阻椭圆数字滤波器系统函数系数向量,B,和,A,。二元向量参数,wpo,表示阻带上下边界频率。,5,） ,B, A,=,ellip(N,Rp,wpo, ,ftype, s),计算椭圆模拟滤波器系统函数系数向量,B,和,A,。当然，其中的边界频率均为实际模拟角频率值（,rad/s,）。,【,例,6.2.4,】,设计椭圆模拟低通滤波器。要求与例,6.2.2,相同。设计程序,ep624.m,如下,: ,%,椭圆滤波器设计程序,wp,=2*pi*3000;,ws,=2*pi*12000;,Rp,=0.1; As=60; %,设置指标参数,N,wpo,=,ellipord(wp,ws,Rp, As, s);,%,计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带边界频率,B, A,=,ellip(N,Rp, As,wpo, s);,%,计算低通模拟滤波器系统函数系数,省去以下绘图部分,运行结果,: ,椭圆模拟低通滤波器阶数,: N=4,模拟低通滤波器通带边界频率,:,wpo,=1.8850e+004,椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数,:,B=,0.0010,8.3913e,015 2.9126e+007 8.0051e,004 1.0859e+017,A=,1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017,滤波器损耗函数如图,6.2.11,所示。虽然本例中椭圆滤波器阶数是,4,，但从图,6.1.11,可以看出，四阶椭圆模拟低通滤波器的过渡带宽度小于,7 kHz,，比指标要求（,9 kHz,）窄,2 kHz,。 而例,6.2.3,中需要五阶切比雪夫模拟低通滤波器，且其过渡带宽度大于,7 kHz,。对于本例的设计指标，如果用巴特沃斯模拟低通滤波器，计算所要求的阶数,N=7,。,图,6.2.11,四阶椭圆模拟低通滤波器损耗,前面讨论了四种类型的模拟低通滤波器（巴特沃思、切比雪夫,型、切比雪夫,型和椭圆滤波器）的设计方法，这四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。为了正确地选择滤波器类型以满足给定的幅频响应指标，必须比较四种幅度逼近滤波器的特性。为此，下面比较相同阶数的归一化巴特沃思、切比雪夫,型、切比雪夫,型和椭圆滤波器的频率响应特性。,6.2.5,五种类型模拟滤波器的比较,调用,MATLAB,滤波器设计函数，很容易验证,:,当阶数相同时，对相同的通带最大衰减,p,和阻带最小衰减,s,，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫,型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫,型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。,相位逼近情况,:,巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约,3/4,的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。,复杂性,:,在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。,由上述比较可见，五种滤波器各具特点。工程实际中选择哪种滤波器取决于对滤波器阶数（阶数影响处理速度和实现的复杂性）和相位特性的具体要求。例如，在满足幅频响应指标的条件下希望滤波器阶数最低时，就应当选择椭圆滤波器。,低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用,p,和,s,表示。,ph,表示高通滤波器的通带边界频率,;,pl,和,pu,分别表示带通和带阻滤波器的通带下边界频率和通带上边界频率,;,sl,和,su,分别表示带通和带阻滤波器的阻带下边界频率和阻带上边界频率。 ,6.2.6,频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,从原理上讲，,通过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数,Q,(,p,),变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数,H,d,(,s,),。,在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。,设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是,:,(1),通