第二部分连续体平面应力有限元分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,连续体平面应力有限元分析,1,第一部分 虚功原理,2,第一部分 虚功原理,问题的提出：,基于弹簧系统的一些假设条件，并基于那些条件解决了诸如弹簧系统这样的弹性体的应力分析问题，同时应用以上条件对于形状简单的一维连续弹性体在简单载荷作用下的应力及应变成功的进行了分析。,但是实际研究过程中会存在很多承受复杂受力状态的复杂的结构，此时基于以上的条件则不能给出相应的解答。这样就需要一些其他的条件来完成分析，如基于弹性力学以及势能理论的部分方法来建立连续弹性体内部的应力与应变关系。,3,第一部分 虚功原理,变形体的虚功原理可以叙述如下：变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件变形状态上做得虚功等于零，即体系的外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚功原理是虚位移原理和虚力原理的总称。一般的有限元分析中经常采用的是虚位移原理，因而下面提到的虚功原理，在没有特定说明的情况下指的就是虚位移原理的虚功原理。,4,第一部分 虚功原理,P,受到了4个力的作用，处于平衡状态，由于处于平衡状态，那么在任意方向上的这4个力的分量和都应该为零。,5,第一部分 虚功原理,力系处于平衡状态，所以这4个力在水平方向的分量和为零，即：,6,第一部分 虚功原理,假定让点P在水平方向移动一个非常小的位移,u,，由于这个位移很小，所以与之相关的四个力不发生变化。这个非常小的位移,u,称之为虚位移。由于发生这个虚位移的过程中力没有发生变化，也就是水平方向的应力分量也没发生变化，所以这个过程中做得功为,：,7,第一部分 虚功原理,由于发生这个虚位移的过程中力没有发生变化，也就是水平方向的应力分量也没发生变化，依旧满足公式分量的合力为0，因而,V,u,0。也就是说在平衡力系中，在虚位移条件下，系统做的功为零，实际上这个位移的方向可以是任意的，只不过相应的应力分量也要与之一致而已，那是同样满足以上的结果。这个关系也可以表述为：一个点处于力学平衡状态的充要条件为该点在任何虚位移下做的功都为零。,如果这几个力中即有内力又有外力，则体系的外力的虚功与内力的虚功之和等于零。,8,第二部分 连续体的平面应力有限单元分析,9,2.1 位移与节点坐标的关系,对于弹簧系统和铰接的杆系统，有限元分析过程中的主要结果都可以直接获得，即可以直接从有限元分析中获得诸如节点力、节点位移等信息，这对于分析过程来说已经足够了，但是对于二维或者三维连续体问题，一般的力学分析是希望获得连续体内部的应力应变场，此时就需要建立外载荷与结构的应力应变的关系。,10,2.1 位移与节点坐标的关系,分析过程也是首先实现连续体的单元离散，各个单元通过节点连接在一起，之后我们就需要建立每个单元相关的节点力与节点位移之间的单元刚度矩阵，最后再将所有的单元的刚度矩阵组装到一起形成一个整体刚度矩阵(此过程与弹簧系统的组装过程类似)。从而建立了整个结构的节点力与节点位移之间的关系，再通过载荷边界条件、位移边界条件求解这个矩阵方程，获得每个节点的位移。在获得了节点位移之后，可以通过力学理论方法获得单元的弹性应变，进而获得单元的应力结果。如果实现了上面的整个计算过程，则能够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。,11,2.1 位移与节点坐标的关系,网格划分原则,a) 在存在应力应变集中的区域应该选择尽量细的单元，这样能够使得该区域的计算结果更接近实际；,b) 尽量保证良好的单元的形状的，一般来说应该控制单元的长宽比，通常建议长宽比在3以内，最多不要超过10。因为单元的形状过于奇异，将导致计算无法收敛。从而无法获得相关的结果。,12,2.1 位移与节点坐标的关系,13,2.1 位移与节点坐标的关系,节点的位移也分解成基于该坐标系的位移分量。如,i,点的位移分量为,u,i,和,v,i,。这样这个单元是一个有6个位移自由度的三节点单元。其节点位移向量为,：,在三个节点发生位移的条件下，单元内的点也会发生相应的位移，比如单元内的点,P,，关于这个点的位移在此用(,u,，,v,)表示。,节点力也用基于该坐标系的节点力分量来表示，如,j,点的节点力分量分别为,F,uj,和,F,vj,。六个节点力分量共同构成了节点力向量：,14,2.1 位移与节点坐标的关系,假设单元内部的位移随着具体坐标位置发生变化，如果采用多项式表示这种关系，则多项式的级数越高，获得位移与坐标之间的关系越精确。在这里我们的目的只是希望大家能够明确三角形单元的分析过程，因而在此选择了最简单的多项式，即单元内部的点的位移与其坐标之间呈线性关系。,基于位移与坐标之间呈线性关系的假设，这里将这种关系明确如下：,这里的,1,到,6,在这个单元内保持为常数，不同的单元一般这些常数是不同的。,15,2.1 位移与节点坐标的关系,这个单元的三个节点处也满足此关系，如对于节点1满足这种关系，则获得了如下的方程：,其他两点也满足，则,16,2.1 位移与节点坐标的关系,逆矩阵表达如下：,17,18,式中,Ni,、,Nj,和,Nm,是坐标的函数，它们反映单元位移的形态，故称为单元形函数。,19,2.2单元内的弹性应变,已知了单元内部的位移与坐标之间的关系，则我们可以确定单元内部的弹性应变，,再根据本构关系可确定单元内的应力，继而根据虚功原理建立节点力与单元应力之间的关系。这样就获得了节点力与位移之间的关系，依靠边界条件即可求解。,20,2.2单元内的弹性应变,根据弹性力学的知识，可以获得如下的关系,：,21,2.2单元内的弹性应变,由于在某一特定的单元内部的,1,到,6,保持为常数，所以可以看出在单元内部的应变是独立于具体坐标位置的常数。所以我们将这类单元称之为常应变单元。,22,2.2单元内的弹性应变,此时，应变向量可写为如下形式：,简写为,23,2.2单元内的弹性应变,通过这个公式中的矩阵,B,建立了单元的应变与单元节点位移之间的关系,通过前面提到的,C,和,A,1,的矩阵，可以计算出矩阵,B,24,2.3单元内的应力,根据弹性力学的本构方程的相关知识，能够获得应力与应变之间的关系。,这个矩阵方程给出了平面应力条件下的应力与应变的关系，这个方程可以简写为：,=,D,D, 矩阵称之为弹性常数矩阵,25,2.3单元内的应力,=,D,=,D,(,B,u,)=,D,B,u,这个关系在等应变单元的有限元分析的过程中非常重要，因为它建立了单元应力与节点位移之间的关系。再通过单元应力与节点应力之间的关系，能够导出节点位移与节点载荷之间的关系，从而实现求解。,26,2.4 单元应力与节点力之间的关系,设单元厚度为t,27,2.4 单元应力与节点力之间的关系,通过虚功原理可得：,K,=,V,B,T,D,B,刚度矩阵,28,2.4 单元应力与节点力之间的关系,对于等应变三角形单元，,K,中的所有的数据都能够获得，所以在已知节点力的条件下，可以获得节点位移。如果能够建立所有的单元的相应的刚度矩阵方程，则可以通过组装的方式，获得整体矩阵，而组装的方法可以参照弹簧系统的整体矩阵的组装方式。获得了整体矩阵之后，我们可以通过矩阵求逆的方法或者高斯消元法解决相关问题。,29,2.5 总结 ,应用等应变三角形单元求解的具体过程,通过前面的推导可知这里提出的等应变三角形单元适用于二维平面应力问题，因而应用这种单元之前首先判断该问题是否是平面应力问题，如果符合，则对该结构进行有限元网格的划分，划分过程中依然要遵循相应的原则，即在应力变化比较剧烈的区域使用比较细的网格，另外要保证单元的长宽比。单元划分之后，要对单元进行编号。同时对单元节点进行编号，单元和节点编号的基本准则是保证相邻的单元及节点编号的差距尽量小，这样在进行整体刚度矩阵组装的时候更加容易获得半带宽比较小的矩阵。,30,2.5 总结 ,应用等应变三角形单元求解的具体过程,31,2.5 总结 ,应用等应变三角形单元求解的具体过程,以上是应用等应变三角形单元进行结构有限元分析的基本流程，应该说等应变三角形单元是假定单元内部的位移在单元内呈线性关系，从而导致了单元内部的应力与应变为常数，而对于应力应变变化非常剧烈的结构来说，如果仍然使用这种单元，就必须采用非常小的单元才能获得比较接近的结果。另外一种解决这个问题的方法是使用高级的单元，也就是说单元内部的位移与坐标之间的关系不再呈线性，而呈现出二次或者三次关系，这样在结构内部的应变与应力将随着具体的坐标位置的不同而呈现出一定的变化，能够更加反映实际的应力分布情况。,32,