《圆和直线的极坐标方程》课件

2010年上学期,湖南长郡卫星远程学校,制作 09,1. 圆的极坐标方程,1.极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做,极点,。,引一条射线OX，叫做,极轴,。,再选定一个,长度单位,和,角度单位,及,它的正方向,（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个,极坐标系,。,X,O,复习回顾,2.极坐标系内一点的极坐标的规定,X,O,M,对于平面上任意一点M，用,表示线段OM的长度，用,表示从OX到OM 的角度，,叫做点M的,极径,，,叫做点M的,极角,，有序数对,（,，）,就叫做M的极坐标。,一般地,不作特殊说明时,我们认为0,要取任意实数.,3.极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y),极坐标是 (,),x=cos, y=sin,曲线的极坐标方程,一、定义：,如果曲线,C,上的点与方程,f,(,)=0有如下关系,(1) 曲线,C,上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程,f,(,)=0；,(2) 方程,f,(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线,C,上。,则曲线,C,的方程是,f,(,)=0。,新课讲授,探究1,如图，半径为,a,的圆的圆心坐标为(,a,0)(,a,0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,)满足的条件？,x,C,(,a,0),O,探究1,如图，半径为,a,的圆的圆心坐标为(,a,0)(,a,0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,)满足的条件？,M,x,C,(,a,0),O,A,探究2,如图，半径为,a,的圆的圆心坐标为(,a,0,)(,a,0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,)满足的条件？,x,C,(,a,0,),O,探究2,如图，半径为,a,的圆的圆心坐标为(,a,0,)(,a,0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,)满足的条件？,M,x,C,(,a,0,),O,A,例1,已知圆,O,的半径为,r,，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,题组练习1,求下列圆的极坐标方程,(1)中心在极点，半径为2；,(2)中心在,C,(,a,0)，半径为,a,；,(3)中心在(,a,/,2)，半径为,a,；,题组练习1,求下列圆的极坐标方程,(1)中心在极点，半径为2；,=2,(2)中心在,C,(,a,0)，半径为,a,；,(3)中心在(,a,/,2)，半径为,a,；,题组练习1,求下列圆的极坐标方程,(1)中心在极点，半径为2；,=2,(2)中心在,C,(,a,0)，半径为,a,；,=2,a,cos,(3)中心在(,a,/,2)，半径为,a,；,题组练习1,求下列圆的极坐标方程,(1)中心在极点，半径为2；,=2,(2)中心在,C,(,a,0)，半径为,a,；,=2,a,cos,(3)中心在(,a,/,2)，半径为,a,；,=2,a,sin,练习2,极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是多少?,练习3,以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是,C,2.直线的极坐标方程,1. 负极径的定义,1. 负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。(?),1. 负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。(?)对于点,M,(,，),负极径时的规定：1 作射线,OP,，使,XOP,= ,2在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,|,OM,|= |,2. 负极径的实例,在极坐标系中画出点,M,(3，,/4),的位置,2. 负极径的实例,在极坐标系中画出点,M,(3，,/4),的位置 1 作射线,OP,，使,XOP,=/4,2 在,OP,的反向延长线上取一点,M,，使,|,OM,|= 3,负极径小结：,极径变为负，极角增加, 。,练习：写出点 的负极径的极坐标,（6，,）,答：（6，,+）,或（6， +）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为,0 。因为负极径只在极少数情况用。,例1,*新课讲授*,2. 求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,*思考*,1. 求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,2. 求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,*思考*,1. 求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,2. 求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,*思考*,1. 求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,0,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,0,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,例2,求过点,A,(,a,0)(,a,0)，且垂直于极轴的直线,L,的极坐标方程。,例2,求过点,A,(,a,0)(,a,0)，且垂直于极轴的直线,L,的极坐标方程。,解：,如图，设点,M,(,)为直线,L,上除点,A,外的任意一点，连接,OM,在Rt,MOA,中有|,OM,|cos,MOA,=|,OA,|即cos=,a,可以验证，点A的坐标也满足上式.,求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图； 2. 设点,M,(,)是直线上任意一点; 3. 连接MO； 4. 根据几何条件建立关于,的方程,并化简； 5. 检验并确认所得的方程即为所求.,例3,设点,P,的极坐标为(,1,1,)，直线,l,过点,P,且与极轴所成的角为,，求直线,l,的极坐标方程。,小结：直线的几种极坐标方程,1. 过极点2. 过某个定点，且垂直于极轴3. 过某个定点，且与极轴成一定的角度,