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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,1,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第九章,2,解法:,类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶:,连续曲面,侧面：,以,D,的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,1)“大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个区域,以它们为底把曲顶柱体分为,n,个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,中,任取,一点,小曲顶柱体,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在,xoy,平面上占有区域,D,计算该薄片的质量,M,.,度为,设,D,的面积为,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用,任意,曲线网分,D,为,n,个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,2)“常代变”,中,任取,一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第,k,小块的质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,两个问题的,共性,：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域,D,任意,分成,n,个小区域,任取,一点,若存在一个常数,I, 使,可积,在,D,上的,二重积分,.,积分和,积分域,被积函数,积分表达式,面积元素,记作,是定义在有界区域,D,上的有界函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在,D,上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,二重积分存在定理:,若函数,定理2,.,(证明略),定理1,.,在,D,上,可积,.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域,D,上连续,则,若有界函数,在有界闭区域,D,上除去有,例如,在,D,:,上二重积分存在 ;,在,D,上,二重积分不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,三、二重积分的性质,(,k,为常数),为,D,的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,特别, 由于,则,5. 若在,D,上,6. 设,D,的面积为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,7.,(二重积分的中值定理),证:,由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域,D,上,为,D,的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,例1.,比较下列积分的大小:,其中,解:,积分域,D,的边界为圆周,它与,x,轴交于点 (1,0) ,而域,D,位,从而,于直线的上方, 故在,D,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例2.,判断积分,的正负号.,解:,分积分域为,则,原式 =,猜想结果为负,但不好估计 .,舍去此项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例3.,估计下列积分之值,解:,D,的面积为,由于,积分性质5,即,: 1.96, I 2,D,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,8.,设函数,D,位于,x,轴上方的部分为,D,1,当区域关于,y,轴对称, 函数关于变量,x,有奇偶性时, 仍,在,D,上,在闭区域上连续,域,D,关于,x,轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,例4.,求两个底圆半径为,R,的直角圆柱面所围的体积.,解:,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 曲顶柱体体积的计算,二次积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,被积函数,相同, 且,非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1.,比较下列积分值的大小关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,2.,设,D,是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 ,y,1, 则,的大小顺序为 ( ),提示,: 因 0 ,y,1, 故,故在,D,上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,3.,计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,4,.,证明:,其中,D,为,解:,利用题中,x , y,位置的对称性, 有,又,D,的面积为 1 ,故结论成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,备用题,1.,估计,的值, 其中,D,为,解:,被积函数,D,的面积,的最大值,的最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,2.,判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,
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