第五章 Radon-Wigner变换

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,Radon-,Wigner,变换,5.1 Radon,变换,提出的原因：理想,LFM,信号的,Wigner-Wille,分布为直线型冲激函数，有限长的,LFM,信号的,Wigner-Wille,分布为背鳍状，所以对其时频平面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一种理想选择。,Radon-,Wigner,变换是对,Wigner,-,Wille,分布的时频平面作直线积分投影的,Radon,变换，统称对信号作,Radon -,Wigner,变换。,5.1 Radon,变换,Radon,变换历史：,Radon,变换是,J. Radon,于,1917,年提出的。在,Fourier,变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，,Radon,变换的计算几乎没有引起人们的兴趣。现在,Radon,变换已经成为医学成像和许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。,1962,年，,P. Hough,又从图形特征检测的角度提出了,Hough,变换。由于以直线图形为特征的,Hough,变换与,Radon,变换相当，所以在有些文献里，也称,Radon -,Wigner,变换为,Hough-,Wigner,变换。,5.1 Radon,变换,Wigner-Wille,分布的边缘积分 ：,5.1 Radon,变换,Radon,变换原理：,将原直角坐标选择角,得到新的直角坐标,(,u,v,),，这时以不同的,u,值平行于,v,轴积分，所得到的结果即为,Radon,变换。,图,5.1.1,Radon,变换的几何关系,5.1 Radon,变换,一般,Radon,变换：设二维平面,(,t,),有一任意的二维函数,f,(,t,),，则其,Radon,变换可写成,(5.1.3),利用两平面坐标之间的关系可得到,(5.1.5 ),用,表示,Radon,变换算子，则式,(5.1.3),可改写为,（,5.1.6,）,5.1 Radon,变换,医学图像重构,图,5.1.2,倾角为,的谱函数,5.1 Radon,变换,医学图像重构原理：设二维平面,(,t,),有一任意的二维函数,f,(,t,),，则其二维,Fourier,变换可写成,(5.1.7),利用两平面坐标之间的关系可得到,上式也可以简写成,5.1 Radon,变换,图,5.1.3 Hough,变换的映射关系,Hough,变换,:,它是一种特征检测方法，它可以将平面里符合某种特征的图形（这里只讨论直线图形）映射为另一个二维平面上的一个点。,(,t,),平面的直线方程可用参数,u,（原点垂直距离）和,（倾角）表示,:,图,(b),中的一点,(,如,A,点,),u,和,为某常数,因此在图,(a),的坐标里对应为虚直线。将上式整理，可得,:,5.1 Radon,变换,对于图,(a),中虚直线上的一点，,t,和,是某常数，从上式知图,(b),的对应结果为一正弦波。图,(b),中的三条正弦曲线对应于图,(a),中直线上的,1,，,2,，,3,三个点。,可以想象到，当图,2(a),中除所示的虚直线外，还存在随机散步的点状噪声时，图,(a),中的每一点均在图,(b),中对应一条正弦曲线，而虚直线上各点所对应的正弦曲线均穿过,A,点。若图,(a),至图,(b),的映射保持原有强度，且在交会点线性相加,(,相当于积分,),，则在该点积累而形成尖峰，同时也存在低噪声。,5.2 Radon-,Wigner,变换,RWT,：变换对象由一般的二维函数,f,(,t,),代之以信号,z,(,t,),的,Wigner-Wille,分布,W,z(,t,),，所得,Radon,变换即是信号,z,(,t,),的,Radon-,Wigner,变换,(RWT),，即：,5.2 Radon-,Wigner,变换,当,z,(t,),为一般信号时，由式,(5.1.6),求信号,z,(t,),的,Radon-,Wigner,变换，并以参数,(,m,0,),表示积分路径，则有,上式表明，若,z,(t,),是参数为,0,和,m,的,LFM,信号,则积分值最大；,而当参数偏离,0,与,/,或,m,时,积分值迅速减小,即对一定的,LFM,信号，,其,Radon-,Wigner,变换会在对应的参数,(,m,0,),处呈现尖峰。,5.2 Radon-,Wigner,变换,若将积分路径的直线参数改用,t,轴的截距,t,0,和相对于,轴的斜率,p,表述，写成,t=t,0,+p,0,的形式,则,类似的，,z,(,t,),的,Radon-,Wigner,变换可写为,:,5.2 Radon-,Wigner,变换,z,(,t,),的,Radon-,Wigner,变换也可用,z,(,t,),的模糊函数,W,z,(,t,),表示,:,5.2 Radon-,Wigner,变换小结,Radon-,Wigner,变换通过,Wigner,-Ville,分布和,Radon,变换二者的结合，提供了信号处理技术与图象处理技术之间的联系桥梁。,例如，它可以将信号检测与参数估计转化为图像（,Wigner,-Ville,分布）中直线的检测问题。,5.3 Radon-,Wigner,变换的计算,线性调频,(LFM),信号应用十分广泛，,LFM,信号检测是,LFM,信号处理的一个主要问题，由检测理论知，白噪声中信号的最佳检测方法是匹配滤波，但,LFM,信号有两个主要参数,起始频率,0,和调制斜率,m,在它们均未知的情况下，无法固定匹配滤波器,.,LFM,信号检测问题是关于起始频率,0,和调制斜率,m,的二维优化搜索问题，“解线调（,dechirping,）”,是,LFM,信号检测中的一种重要方法，它可完成对,LFM,信号的估计。,5.3.1,连续,LFM,信号的解线调,所谓解线调就是解除,LFM,信号,z(t,),的线性调制，若,z(t,),是单分量连续线性调频信号，则解线调之后的信号就是一个单频信号。从参数估计的角度来看，解线调就是估计,LFM,信号的起始频率,0,和调制斜率,m,两个参数。,解线调可以在时域进行，也可以在频域中进行，它们分别称为时域解线调和频域解线调。,5.3.1.1,连续,LFM,信号的时域解线调,若,LFM,信号,z(t,),的,m,值已知，则用一个解调信号与之相乘即可,.,此时，,f,m,(t,),变成了单频信号,其频率为,0.,5.3.1.1,连续,LFM,信号的时域解线调,实际,LFM,信号,z(t,),的,m,值未知,可以用,m,为变量，搜索计算,f,m,(t,),的相关函数和功率谱,.,功率谱图中，峰值点的坐标,0,和,m,分别是,LFM,信号,z(t,),的起始,频率和调制斜率。将,0,和,m,视为需要搜索的变量，对,0,和,m,的可,能取值计算,f,m,(t,),的功率谱，其峰值坐标给出了单分量,LFM,信号的,起始频率和调制斜率。,5.3.1.1,连续,LFM,信号的时域解线调,如果,z(t,),是多分量,LFM,信号,则,fm(t,),的功率谱在二维,(,us,s,),平面上有,p,个峰值，,对应的坐标给出,p,个调频分量的起始频率和调制斜率。,5.3.1.1,连续,LFM,信号的时域解线调,如果,z(t,),是多分量,LFM,信号,则,fm(t,),的功率谱在二维,(,u,s,s,),平面上有,p,个峰值，,对应的坐标给出,p,个调频分量的起始频率和调制斜率。,5.3.1.1,时域解线调,5.3.1.1,时域解线调,时域解线调与,Radon-,Wigner,变换的联系,5.3.1.1,时域解线调小结,已知,m,的值,可以直接将信号在时域中解线调,未知起始频率,0,和调制斜率,m,以,m,为变量求取解线调信号,fm(t,),的功率谱。将,0,和,m,视为需要搜索的变量,.,当,0,时，,m - ,，,时域解线调不能使用。,LFM,信号为无限长时，才会在相应参数处表现为冲激函,数，信号为有限长时，冲激函数被展开，还会产生旁瓣。,时域解线调的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，适用,范围为,3,/4 ,=,/4,。,Radon-,Wigner,变换可以用时域解线调直接计算。,5.3.1.2,频域解线调,设,z(t,),的频谱为,Z(,),将其与频率平方成正比的相位旋转因子相乘可得：,Fourier,反变换为：,频谱里增添与频率平方成正比的相位，相当于信号增添了与,频率成正比的群时延,(,通常把具有频率特性的器件称为色散,延迟线，即延迟与各分量的频率成线性关系,),。,5.3.1.2,频域解线调,当色散延迟线的输入为具有宽频带的高频脉冲时，由于不同频率分量有与之成正比的不同时延，所以输出是被展宽了的,LFM,信号。,相反，若输入为,LFM,信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。相反，若输入为,LFM,信号，且调频斜率与色散延迟系数具有相同数值和相反符号时，则输出是被压缩了的窄脉冲。,5.3.1.2,频域解线调,频谱,G,P,(,),的自相关函数,及它的,Fourier,反变换，即瞬时功率,5.3.1.2,频域解线调,频域解线调与,Radon-,Wigner,变换的联系,5.3.1.2,频域解线调小结,已知,p,的值,可以将信号在频域中解线调,.,未知起始时间,t,0,和调制斜率,p,以,p,为变量求取解线,调信号的瞬时功率。将,t,0,和,p,视为需要搜索的变量,.,当,/2,时，,p +,，,频域解线调不能使用。,z(t,),的,Radon-,Wigner,变换可用其频域解线调模的平,方与尺度因子,1/|cos,|,的乘积计算。,5.3.1.2,频域解线调示例,图,(a),为未作解线调时,wigner-wille,平面情况,.,图,(b),为,=,/8,时,频域解线调的情况,原信号矩形支撑区变为菱形,正斜率信号的时间边缘特性随之伸展,.,图,(b),为,=,/4,的情况,菱形信号支撑区更加下倾,相邻的时间边缘特性已经相连接,.,5.3.1.3,时域解线调与频域解线调关系,解线调处理相当于将时频平面的矩形支撑区拉斜为菱形，时域法的时域支撑区不变，只是沿频率轴拉斜，频域法的频域支撑区不变，只是沿时间轴拉斜。,虽然时域和频域解线调的信号支撑区具有不同的变形，但由于,RWT,变换是平面的二维积分变换，只要时域解线调所用参数和频域解线调所用参数都与相同的,RWT,中的参数相对应，则时域和频域两种方法所得结果等价。可以由,Parseval,公式证明,.,5.3.1.3,时域解线调与频域解线调关系,Parseval,公式,:,进行参数改写得,:,结合,5.3.11,和,5.3.12,有,:,假设,H(,),值如下,:,5.3.2,离散,LFM,信号的解线调,方法,:,求和代替积分,表示为瞬时自相关函数的时间求和,:,定义离散信号,f(n,),的时变自相关函数为,:,5.3.2.1,离散,LFM,信号时域解线调,将,5.3.1,离散化,:,上式即为离散,LFM,信号时域解线调,.,上式左右进行适当整理得,:,将,5,3,17,式中,用,f,m,(n,),代替,f,进行,Fourier,变换得,:,5.3.2.2,离散,LFM,信号频域解线调,将考虑离散形式,:,上式即为离散,LFM,信号频域解线调,.,注,:,注意避免混叠,!,上式左右进行适当整理得,:,频率自相关函数,:,5.4,离散,Randon-Wigner,变换的实现,时域解线调需要半带宽信号，频域解线调需要半时宽信号。,由于,Radon,变换具有反对称性，所以只需要计算,0,弧度范围的投影，其他部分可以利用反对称关系计算。,计算流程图见,P164.,图中,离散,Radon-,Wigner,变换实现的两个实际细节是,:1),校正时域解线调和频域解线调暗示的投影半径倾斜,;2),选择旋转轴。如果只是对计算,Radon-,Wigner,平面的统计量,(,如作为角度函数的峰值坐标或极大值，均值或方差,),感兴趣，那么径向插值就没有必要。,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,(1),线性性质,:Radon,变换是线性的，而,WignerVille,分布变换是双线性的.两个变换都有交叉项，即：信号之和的,RadonWigner,变换包含了信号项和交叉项。,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,(2),时移和频移特性,:,WignerVille,变换具有移不变性。由于,Radon,变换以,u,和为变量，所以，对任何上的平移，可以通过改变,u,值使积分值不变。时移和频移只是在,Wigner,时频平面里作,RadonWigner,变换时使积分路线,u,发生平移，不改变的值。,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,(3),投影特性,投影切片定理：以某一角度从,RadonWigner,变换切得的切片和用与频率滞后轴所夹的角度通过模糊平面原点切得的切片之间存在着,Fourier,变换关系。,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,Wigner,Ville,分布 、模糊函数和,Radon,Wigner,变换之间存在着密切的关系,如右图所示,图中还给出了利用,Radon,反变换重构,W,f,(t,),的方法,.,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,(4),卷积特性,函数,f(t,),和,g(t,),在,RadonWigner,域对,u,的一维卷积产生在时频平面的二维卷积。,5.4,Randon-Wigner,变换的性质,(5),遮隔特性,用于对交叉项的掩模。一个,RadonWigner,变换与一个掩模函数的积在模糊平面产生一个径向卷积。,5.5,Randon-Wigner,变换的应用,5.5.1,信号综合,所谓信号综合，就是利用某已知时频表示求原信号。通常，修正后的,Radon,Wigner,表示并不具备一个合适的,Radon,Wigner,变换应有的特性，也就说反变换有可能不存在。于是,我们就希望找到一个,g(t,),使其,Radon,Wigner,变换在最小,L,2,范数意义下最优逼近给定的,D(u,),即,:,5.5.1,信号综合,先做,T,对于,t,0,的,Fourier,变换,然后除以使用过的复,LFM,信号以产生投影,最后做,Fourier,反变换,.,示意见右图,.,5.5.1,信号综合,利用带通滤波器进行信号分析与综合的过程,.,滤波的作用使频率缓慢升高的,LFM,信号变成了正弦波,在频域为一冲击函数,.,下方四幅图说明了带通滤波器抑制噪声的作用,.,当两个,LFM,信号彼此靠近时,虽然可以抑制噪声,但是两个信号却不能分离,.,5.5.2,多分量,LFM,信号的自适应时频滤波,自适应时频滤波利用信号项、交叉项和噪声性质的先验知识,以提高时频平面的信噪比并抑制交叉项,.,右图,(a),是两个信号各自的,RW,变换,.(b),是交叉项的,RW,变换,.(c),是用角度做变量,画出该切片极大值的分布,还画出了交叉项加大十倍幅值,.,5.5.2,多分量,LFM,信号的自适应时频滤波,右图是移变平滑滤波的结果,.,左图是未做平滑滤波的情况,中间画出了三种卷积窗函数参数取不同值得情况,最右边是平滑滤波得到的结果,.,可以看出信号峰基本保留了原来的尖锐度,低幅震荡则明显被平滑,.,5.5.3,LFM,信号检测,上式揭示了阈值的作用,.,也说明,RW,变换既有可能改善信噪比,也有可能使信噪比恶化,取决于输入信噪比的大小,.,信噪比门限,:,信噪比改善和恶化的转折点,.,解线调具有线性相干积累作用,其增益为,N,但是,RW,变换还要对它做取模平方的非线性变换,.,若积累后的信噪比仍小于,1,则取模平方的非线性变换中的大压小的作用会使信噪比变坏,.,5.5.3,LFM,信号检测,右图是两个观测序列的处理结果,.,序列,1,由四个,LFM,信号与较信号低,3dB,的高斯白噪声组成,.,序列,2,由两个交叉的,LFM,信号与较信号低,1.6dB,的高斯白噪声组成,.,可以看出,WV,分布存在严重的交叉项,CW,分布的交叉项明显减小,.,二者时频局域性都不好,.RW,变换具有较好的时频局域性,.,5.5.4,逆合成孔径雷达成像,逆合成孔径雷达,(ISAR),能从固定或运动平台对飞机、导弹、舰船等运动目标进行全天候、全天时的远距离成像，是近年来得到广泛重视的一种雷达新技术,.,它与合成孔径雷达,(SAR),的主要区别在于,:ISAR.,一般固定在地面上，目标运动，而,(SAR),则装载在飞机、卫星等运动平台上。所谓,(ISAR),成像，就是根据目标的散射点模型，由雷达回波重构目标散射强度的像,.,为了保证,(ISAR),成像的质量，雷达需要具有高的分辨率。提高雷达分辨率的基本原理是,:1),利用宽带信号得到纵向距离的高分辨率,;2),利用较长时间内目标运动引起的相对于雷达视线的转动得到横向距离,(,多普勒,),的高分辨率。,5.5.4,逆合成孔径雷达成像,ISAR,信号处理的两个关键问题是运动补偿和成像处理。,传统的距离一多普勒算法隐含着两个假设,:,即设目标尺寸和转角较小，观测期间目标散射点越过距离单元走动的影响可以不考虑,;,并假设目标相对于雷达射线在水平面内均匀转动。,5.5.4,逆合成孔径雷达成像,ISA,R,目标成像是对三维物体进行二维成像，即利用目标上各散射点子回波的不同时延，以及目标转动时子回波的不同多普勒，在距离一多普勒平面里呈现出目标散射点分布图。对于水平面内旋转的转台目标其成像投影平面即转台平面，而对距离较远的平稳飞行的飞机，其成像平面基本为飞机平面(要考虑雷达小仰角的变化),.,然而，对于机动飞行的飞机，投影平面会有变化。这时的距离轴仍然为雷达射线方向，但多普勒将随目标的旋转不同而发生变化二对机动飞行目标，通过运动补偿，仍可等效为围绕自聚焦点转动的转台目标，但由于转动是三维的，所以一般可用合成向量表示(如图,5.,5.7),.,5.5.4,逆合成孔径雷达成像,对安一26飞机机动飞行段的实测数据作包络对齐和初相校正的运动补偿后，将其中一个距离单元的数据作时频分析，其,W,igner-,W,ile,分布如,上,图,(,a),所示，图中信号项的多种斜率的直线依稀可辨.但交叉项也混杂其间，不可能获得正确的瞬时多普勒谱,.上,图,(,b),是通过逐次消去法得到的,t,=,0时刻的瞬时谱，并扩大到全时频平面时的情况，此图中交叉项已得到有效抑制,.,5.5.4,逆合成孔径雷达成像,上,图是对上述安,-,26实测数据用距离一瞬时多普勒法的成像结果。为了作比较，图,(,a),给出了用传统F,F,T作谱分析所得结果，这时已无法辨识,图 (b,),和图,(,c),是两个不同时刻(图,5,.,5,.,9(b)中的箭头所指)的成像结果.图像质量较好，且可以看出两个不同时刻除横向尺度有明显差异外,(,转速不同引起)，在,姿态,上也有些差别(由转轴变化引起)。,