第一章--费马原理与变折射率光学

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,OPTICS,OPTICS,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,1.11.5,费马原理,1.1,折射率及其意义,1.2,光程概念及其意义,1.3,费马原理及其数学形式,1.4,由费马原理导出几何光学三定律,1.5,物象等光程性,1.7,某些特例,(,某些特殊的共轭点,),1.6,费马原理应用于球面折反系统,1.1,折射率,它是透明介质的光学物性参数。,最初源于折射定律：,有,-Snell,定律。,写成不变量形式，,1.1,折射率,典型数据：,色散本领：,色散率： 倒数,for c.g.,for f.g.,1.1,折射率,惠更斯原理,次波源、微观次波面，宏观包络面，中心,切点连线。应用于“界面的反射、折射”时，将赋与折射率以新的物理意义：,于是,（ ）,介质相对折射率,n (,相对真空, ),真空光速,/,介质光速,1.1,折射率,进而，导出,如何导出,?,据 波速,=,频率,波长,有,显然，得,1.1,折射率,物理考虑,在线性介质的光场中，,扰动的时间频率,f,仅由光源决定，与介质无关,f ,光源的本征频率。,最终得,例如，某,(,橙色,),在水中,，变为,(,兰色,?),1.1,折射率,可见光波长区间与频率量级,( peta ) ( M.G.T.P. ),联系视觉色效应,所谓“色散关系”、“色散理论”，,给出,函数，或者, .,1.2,光程,(optical path),均匀介质,光程,介质分区均匀,光程,变折射率介质：,光程,1.2,光程,(optical path),其初步意义,a.,相位差与光程的关系,图,1.5,由光程导出相位差,沿波的传播方向，相位逐点落后，所以有：,即,（普遍）,1.2,光程,(optical path),b.,时差与光程的关系,即,，或,给出光程的又一定义：光线经历,QP,两点的光程等于传播时间乘以真空光速，虽然光实际上传播于介质中。,1.3,费马原理,实际光线的传播路径，与邻近各种可能的虚拟路径相比较，具有什么特别的“品性”,?,1.3,费马原理,表述：,光线沿光程为平稳值的路径而传播。,解说：,示意图：,1.3,费马原理,数学表达式,注意到,被称为泛函,or,程函，,eikonal.,通俗道，“函数的函数”。,“平稳值”满足,变分为零，,或简写,其中， 为变分运算符号,上述方程为变分方程，旨在求出泛函的极值。,变分原理,可见，,费马原理开创了以变分原理反映自然规律的研究路线或表述方式。,1.4,由费马原理导出几何光学三定律,由费马原理导出,均匀介质，光的直线传播定律；,介质界面，光的反射定律；,介质界面，光的折射定律。,如是，则说明,费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。,1.4.1,反射光束的等光程性,M,为动点，入射,-,反射光程为,L,（,QMP,）；,M,为待定的反射点，以满足,L,（,QMP,）为极值：,引入镜象对称点,Q,，则,且,于是 ，它成为极小值的条件是 为直线，当,时。即,反射角等于入射角，,反射线与入射线同在一个入射面内。,这正是光在界面的反射定律。,1.4.2,折射光束的等光程性,M,为待定点，设 ，有,入射,折射光程,于是，普遍的变分方程,在此被简化为一元微分方程,即,得,此即,Snell,定律,。,1.5,物像等光程性,费马原理的一个推论：,物象之间各条光线的光程是相等的。,物象等光程性。,物点,Q,象点,Q,同心光束 同心光束,(,同心光束的共轭变换,),等光程性是指,即,与,i,无关。可取反证法证之。,1.5,物像等光程性,意义：,严格等光程严格成象,近似等光程近似成象,非等光程不成象,表明：,有了这个推论，便将,“,成象,”,的理论，推进到现实的可操作的理论分析的境界。,1.6,费马原理应用于球面折反系统,1.6.1,由费马原理导出球面镜傍轴成象及其物象公式,图,1.11,待求“象点” ，,镜面半径 ，,镜心于左， ；镜心于右，,思路,：提出等光程要求：,在同一介质中，上述要求即为,其中,（,1),1.6,费马原理应用于球面折反系统,(,同等近似处理,),代入等光程方程,(1),，有,（消去,d,）,（与,d,无关，成象，近似成象）,物象距关系式,:,焦距,(,当,s = ),正负号约定：,物象点在左,物象点在右,1.6,费马原理应用于球面折反系统,由费马原理导出球面折射傍轴成象及其物象关系,任意倾角入射线 ，相应的折射光线为 ，显然光程 是与,x,的函数。,令,求解,x (,是否有解,),。,利用反射时曾经出现的近似结果，即傍轴条件,有,1.6,费马原理应用于球面折反系统,求导,整理,(,此方程决定的,x,与无关,),显然， 得以满足,.namely,上述方程表明，球面傍轴确实能够成象，,令,得像方焦距,令,得物方焦距,1.6,费马原理应用于球面折反系统,1.6.3,讨论“极大值”情况,实际光线光程为“极大植”的一个情形,经象点,Q,，到达,Q(,向右位移,),，则实际光线 与邻近的比较，其光程,系非等光程，是极大,?,极小,?,1.6,费马原理应用于球面折反系统,几何分析,：,光程差：,即 经象点中轴光线，其光程,这是球面折射面半径,r0,情况；,若,r0,或,r0,，分别对应球心,C,在球面顶点的右侧或左侧；物距,或,，分别对应物点 在球心,C,的左方或右方；像距的正负符号的约定与物距的相反，,或,，分别对应像点,在球心,C,的右方或左方。,有了这一套正负号定则，就使得各种不同情形下的齐明点位置公式，都可以归结为上面通用的公式。,1.7,若干重要的特例,比如对于图中显示的那种情况，,r,0,，物方介质折射率设为,n=1.5,像方空气折射率,，代入上式，得到,，这表明,， 点均在球心左侧，显然，这是一个实物形成虚像的情形。,另外，这一对特殊位置的共轭点，联系着若干几何学上的特殊性质，参见图,1.16(b),。从齐明点,Q,0,发出一入射线，倾角为,u,，对应的折射角为,i,，两者恰好相等，,;,同时，对应角的出射光线的倾角为,u,与入射角,i,也相等， ；当入射线倾角 时，某入射角恰好等于全反射临界角，此时折射角为,，即折射光线恰好沿球面在该点的切线方向。,1.7,若干重要的特例,图,1.17,为显微镜物镜列举，复合镜头是为了消色差。,1.7,若干重要的特例,1.7.3,阿贝正弦定理,显微镜的观察对象是一个小物，如右图所示。 小物上各点是否均处于齐明点位置，均能以宽光束出射而严格成像,?,利用球体的中心对称性，让轴光线,QCO,绕球心转一角度，显然与齐明点,(Q,，,Q),同在一圆弧上的各点，比如,(P,，,P),，均是一对齐明点。即弧形线 确能严格成像于 。,1.7,若干重要的特例,当圆弧很短时被很好地近似为一条直线，即 ， 这表明置于齐明点位置的傍轴小物可以宽光束严格成像。,用像差语言表达：工作于齐明点位置的傍轴小物，既消除了一般轴上物点产生的球差,(spherial aberration),，也消除了一般轴外小物产生的彗差,(comatic aberration),。,有意思的是，入射光线倾角,u,、小物线度,y,和物方折射率,n,三者,(n,y,u),，与像方对应量,之间有一个关系式：,这是德国物理学家阿贝，在蔡司公司工作期间为研究改善显微镜成像质量而发现的一个重要定理，现今依然是光学设计的基本依据之一，被称为,阿贝正弦定理,(Abbe sine theorem),。兹证明如下,(,参见图,1.18),。,（式,1.23),1.7,若干重要的特例,证明,： 在,QCM,和,MCQ,中，分别利用三角正弦定理，得,故有,再利用折射定律，改写为,；利用相似三角形定理，将轴向的物像距之比,转化为横向物像线度之比,即,。于是，上式成为,，再写成不变量形式如（,1.23),式。,1.7,若干重要的特例,阿贝正弦定理是普遍成立的，适用于复合透镜，它是傍轴小物很好成像，以消球差和消彗差所必须满足的条件，故也称其为阿贝正弦条件。在本书论述显微镜的分辨本领问题和傅里叶光学中的阿贝相干成像原理时将要用到阿贝正弦条件。,阿贝正弦定理的价值还在于，它将横向线放大率,与光锥孔径角正弦值之比值,联系起来，两者成反比关系：,它表明，如果像被放大了，则光束聚散角要变小。在露天电影场合，人们可以发觉一束束细锐光束，从放映机中发出而扫射于屏幕上，就是这个道理。,1.7,若干重要的特例,1.7.4,双曲面透镜聚焦平行光束,例题：如图,1.19,所示，一宽平行光束入射于一透镜，要求被严格聚焦于,点。试问透镜第二曲 应当是何形状,?,根据系统的轴对称性，我们只需要确定曲线 的形状，再绕 轴旋转而形成的曲面便是待求曲面。,设动点为,M,，取极坐标,描述动点的轨迹，它应当满足等光程性，即,其中,H,点是,M,点对轴光线的垂足。,1.7,若干重要的特例,由图可知，光程 ，故上式化为,即,解出：,其中 为 长度，是设计参数，事先由焦距要求给出。,（,1.25,）,由二次曲线的极坐标标准形式：,看出,(1.25),式符合此标准形式，且离心率,，这表明,(1.25),式确定的动点轨迹应当是一条曲线，即待求的曲面是旋转双曲面。,1.7,若干重要的特例,例 设计要求是：透镜材料,n=1.5,，第一表面即圆形平面的半径为,R=5.0cm,焦点,F,离,O,点的距离为,D=10.00cm,参见图,1.20,。,根据,(1.25),式，将,n=1.5,代入，得到极坐标方程的具体形式为：,1.7,若干重要的特例,据此，首先算得若干特征量如下，,最大会聚角,，最大矢径长度,最短矢径长度,透镜中心厚度 。接着算出一系列,值，列表如下：,按上列数据，精确绘制如图,1.20,。,1.6-1.8,变折射率光学,2.1,自然变折射率,2.2,人工变折射率,2.3,强光变折射率,2.4,光线方程,2.5,实例,2.6,费马原理几度大放异彩,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,2.1.1,寒冷海面上空,海市蜃楼,高度,y,，有,T,，有,n,，,典型数据：,折射率,介电常数,光密到光疏,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,海市蜃楼,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,2.1.2,炽热地面上空,沙洲神泉,高度,y,，有,T,，有,n,，,相当于镜像，故倒像。,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,2.1.3,大气电离层,(D,层,),D,区折射率变化函数：,当 时，,抛物型，被用于研究电磁波被电离层反射。,理论上的根据：,介电常数与温度、浓度的关系,又温度分布 。玻耳兹曼分布,得 ， 函数。,对,T,，,n,的理解。,对“沿水平方向”的光线将继续弯曲的理解,。孤立一根光线是不存在的，与光线相联系的是一光锥或光束，其小面积波前上，子波有不同速度。另一角度审视，沿水平方向直线行进的光线， 不是“极值路径”，违背费马原理。,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,2.1.4,大气中声线的变曲,类似于沙洲神泉,类似于海市蜃楼,姑苏城外寒山寺，夜半钟声到管船。,(,张继,),新秋松影下，半夜钟声后。,(,白居易,),秋水临水月，夜半隔山钟。,(,皇甫冉,),半夜、夜半、午夜,钟声、笛声、琴声,2.1,自然变折射率-,-,大气光学现象,地面附近空气中声速公式：,它可以解释放地面声音晚上比白天传得远的原因，已如前面所说。,我们还看到，这条曲线拐了几 个弯。声速局部极小处,C,点，在此高 程上发声，任何方向的声音都会折射弯向水平。因为从,C,点往下，其梯度和夜间地面上声速梯度一样；从,C,往上，是远离,C,的高度声速变大，所以声音总会弯向过,C,的水平线。即这个高程，声音传得特别远，称为声道，而具有声速极大值的,D,点则相反，当声音传播接近它时，有一部分会折射返回声波来的那一侧，犹如波的反射。,2.2,人工变折射率,微透镜,量级，,制成微透镜列阵，用于集成光学中的光互连。,薄片厚度：,有焦距公式：,，或,其相对孔径：,2.2,人工变折射率,抛物型,聚光纤维，单根传象,2.3,强光变折射率,非线性效应,n(I),在强光条件下,(108 W/cm2),，显现,!,又当光束被限制于介质棒中传播时，发生衍射，其光强分布,I(r),。于是有,n(r),强光光学中的一个重要课题,强光与晶体介质的相互作用,在信息光学中，用于光存储；“读出”、“写入”。,左图,类似于凸透镜； “自聚焦”；,右图 类似于凹透镜； “自散焦”,2.4,光线方程,特殊,n(y) :,分层均匀介质中的光线偏析，如图：,任意小弧元，微分线段,ds,有,即：,2.4,光线方程,注意到,和,Snell,定律，,有：,由初条件,求解微分方程，得,y(x),曲线函数。,光线方程的另一种形式,(,对上式再求导一次而获得,),(,二阶微分方程,),2.4,光线方程,普遍，变折射率介质,n,（,r,），,n(x, y, z),取变量,s,，自然坐标，即广义坐标，于是：,求解,r(s),轨迹方程，即光线方程。,如同分析力学中的,Hamilton,方程，故称谓：,变折射率光学,费马光学,哈密顿光学,2.4,光线方程,沙洲神泉的解是：,其中：,Note,：双曲余弦知识,又,2.5,实例,2.5.1,机场跑道可见距离,夏日，机场跑道地勤人员能见到的最远的跑道,(,与观察者的距离,)?,分析与计算：,跑道上方附近，温度梯度大，导致空气折射率变化显著，,2.5,实例,寻求光线径迹方程,-,考虑初始方向沿水平，即,（,1),将一组平行平板的折射定律形式推广到,n,连续变化的“分层介质”情形，,即,（,2),2.5,实例,由,(1),、,(2),，得：,这里取近似：,解出：,即,光线径迹为一抛物线。,令,y=h(,人高,),，得最远距离,气象知识：最好能见度可达,10km,。,上海浦东，新机场，跑道长,2000m,。,2.5,实例,2.5.2,求聚光纤维中光线径迹,先表达,于是,有：,-,类似于谐振子方程,2.5,实例,其解,其中，,由边条,件,，,即光线的出发点与倾角来决定。,人们关心其空间周期,傍轴,常数与 无关。,2.6,费马原理几度大放异彩,-,在物理学发展的历史长河中,1657,年，费马给友人德,拉,尚布尔的信中，表达了一个观念：,Nature always acts by the shortest course.,拉格朗日,J.L.Lagrange(1736-1813),于,1788,年，建立了分析力学，其中包括一个重要原理, Hamiltons,原理，,或,或另一种表述,是系统的拉格朗日函数。,2.6,费马原理几度大放异彩,在物理学发展史上，费马原理开创了以“路径积分”、“变分原理”为语言符号，表达自然规律和物理规律的研究路线和思维方式。,生活经验中的“费马原理”，登山，攀岩，雨后走路，,Thank You !,