由分布列求期望、方差

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,回归课本,1.,一般地，若离散型随机变量,的概率分布列为,则称,E,x,1,p,1,x,2,p,2,x,n,p,n,为,的数学期望或,平均值、均值,，数学期望又简称为,期望,它反映了离散型随机变量取值的,平均水平,x,1,x,2,x,n,P,p,1,p,2,p,n,3,如果离散型随机变量,所有可能的取值是,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,且取这些值的概率分别是,p,1,，,p,2,，,，,p,n,，,，设,E,是随机变量,的期望，那么把,D,(,x,1,E,),2,p,1,(,x,2,E,),2,p,2,(,x,n,E,),2,p,n,叫做随机变量,的均方差，简称,方差,D,的算术平方根叫做随机变量,的,标准差,，记作,.,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的,稳定与波动、集中与离散的程度,其中标准差与随机变量本身有,相同的单位,点评：,当,的所有可能取值为,x,1,，,x,2,，,，,x,n,这,n,个值时，若,p,1,p,2,p,n,1/n,，则,x,1,，,x,2,，,，,x,n,的方差就是我们初中学过的方差因此，现在学的方差是对初中学过的方差作了进一步拓展,类型一求离散型随机变量的期望,解题准备：,求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：,列出离散型随机变量的分布列；,利用公式,E,x,1,p,1,x,2,p,2,x,i,p,i,，求出期望值,【,典例,1】,(2011,福州市高中毕业班综合测试卷,),口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字,1,，三张标有数字,2,，两张标有数字,3,，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为,.(1),为何值时，其发生的概率最大？说明理由,(2),求随机变量,的期望,E,.,点评,本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法问题,(1),，对,的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题,(2),比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可,类型二离散型随机变量的方差,解题准备：,求离散型随机变量,的期望与方差的方法,(1),理解,的意义，写出,可能取的全部值；,(2),求,取每个值的概率；,(3),写出,的分布列；,(4),由期望的定义求,E,；,(5),由方差的定义求,D,.,【,典例,2】,编号,1,2,3,的三位学生随意入座编号为,1,2,3,的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是,.,(1),求随机变量,的概率分布；,(2),求随机变量,的数学期望和方差,分析,(1),随机变量,的意义表示对号入座的学生个数；它的取值只有,0,、,1,或,3,，若,2,人对号入座第,3,人必对号入座，所以,2,不存在由排列知识与等可能事件概率公式易求分布列,(2),直接用随机变量的数学期望和方差计算公式即可,点评,本题是研究对号入座学生个数为离散型随机变量的概率分布列、期望、方差问题，关键是分析对号入座学生个数的情况，以及每种取值下事件所包含的结果数，基本事件的总数若问题推广为错位入座的学生个数其变量,的概率分布列、期望、方差也可用类似方法解决,