山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题

高三数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第I卷12页，第卷34页，共150分，测试时间120分钟注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I卷选择题（共58分）一选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知一组数据且的回归直线方程为，若，则的值为（ ）A.-1 B.0 C.1 D.23.在各项均为正数的等比数列中，则（ ）A.2 B.3 C.4 D.54.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（ ）A.48 B.36 C.24 D.125.已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为（ ）A. B.1 C.2 D.37.已知，则的值为（ ）A. B. C. D.8.已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D.二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.复数在复平面内对应的点为，且（为虚数单位）的实部为2，则（ ）A.复数的虚部为B.复数对应的点在第一象限C.复数的模长为5D.若复数满足，则的最大值为10.已知函数（其中）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.则（ ）A.B.函数在区间上单调递增C.若，则的最小值为D.直线与的图象所有交点的横坐标之和为11.设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，则（ ）A.B.在上单调递增C.为奇函数D.方程仅有5个不同实数解第II卷非选择题（共92分）三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，若，则的值为_.13.已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为_.14.编号为的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记表示前两个球号码的平均数，记表示三个球号码的平均数，则与之差的绝对值不超过0.2的概率是_.四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三四五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在第四五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.16.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，.（1）证明：平面平面；（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.（1）若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；（2）若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.19.（本小题满分17分）若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列.（1）判断数列是否为数列，并说明理由；（2）设数列为数列.求证：一定为中的项；求证：；（3）若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.高三数学试题参考答案一选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D二多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.）9.BD 10.ABD 11.ACD三填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 13. 14.四解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）15.解：（1）因为第三四五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，解得估计平均数为（2）成绩在第四五两组志愿者分别有40人10人，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为8，第五组志愿者人数为2，记事件为“选出三人来自不同组”，记事件为“恰有2人来自第四组”，则，.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为.16.解：（1）的定义域为，当时，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增；当时，恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减当时，在上单调递增；（2）对，都有成立，即对恒成立，等价于对.令，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减.则，可得.综上，实数的取值范围是.17.解：（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点，由为等腰梯形，且，则又，所以，连接，由，可知且，所以在三角形中，从而，又，所以平面，平面，所以平面平面（2）解：由（1）知，平面平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理，平面的一个法向量为，所以，由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为.18.解：（1）设双曲线方程为，则.解得，所以，设因为两点都在双曲线上，所以，两式作差得，整理得则；（2）设，设直线的方程为联立，化简得，则，故，由，所以，从而，即.19.解：（1）数列不为数列，因为和6均不是数列中的项，所以数列不为数列.（2）记数列的各项组成的集合为，又，由数列为数列，所以，即，所以，设，因为，所以，得证因为，则，将上面的式子相加得：.所以.（3）（i）当时，由（2）知，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.（ii）当时，存在数列，符合题意，故可取4，（答案不唯一，满足即可）（iii）当时，由（2）知，当时，所以.又，所以，即.由，得：，所以，由两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设的可能取值只有4.