广东省部分学校2024-2025学年高三上学期新起点模拟考试 数学试题（含解析）

2024-2025学年度上学期广东省部分学校高三新起点模拟考试注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按上述要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数，则()A. B. C. D. 2.设数列的各项均为非零的整数，其前项和为若为正偶数，均有，且，则的最小值为()A. B. C. D. 3.南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，则该数列的第项为()A. B. C. D. 4.如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则等于()A. B. C. D. 5.已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则()A. B. C. D. 6.已知复数满足，则A. B. C. D. 7.已知函数，若，则的取值范围是()A. B. C. D. 8.已知实数，满足，则()A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数的定义域为，且，若，则()A. 是周期为的周期函数B. 的图像关于直线对称C. 是偶函数D. 10.已知函数，则下列结论中，正确的有()A. 是的最小正周期B. 在上单调递增C. 的图象的对称轴为直线D. 的值域为11.现将一条长为的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为：的三角形，则下列说法正确的是()A. 两个图形的面积之和的最小值为B. 两个图形的面积之积的最大值为C. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是D. 若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为13.已知的展开式中，的系数为，则_14.已知，则的最小值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题分已知函数求不等式的解集；设函数的最大值为，若，均为正数，且，求的最小值16.本小题分如图，在棱长为的正方体中，为的中点，过，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形在图中画出这个多边形不必说出画法和理由；平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积17.本小题分不粘锅是家庭常用的厨房用具，近期，某市消费者权益保护委员会从市场上购买了款不粘锅商品，并委托第三方检测机构进行检测，本次选取了食物接触材料安全项目中与消费者使用密切相关的项性能项目进行比较试验，性能检测项目包含不粘性、耐磨性、耐碱性、手柄温度、温度均匀性和使用体验等个指标其中消费者关注最多的两个指标“不沾性、耐磨性”检测结果的数据如表： 检测结果序号品牌名称不粘性耐磨性品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级检测结果序号品牌名称不粘性耐磨性品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级品牌级级级代表性能优秀，级代表性能较好 从这个品牌的样本数据中随机选取两个品牌的数据，求这两个品牌的“不粘性”性能都是级的概率；从前六个品牌、后六个品牌中各随机选取两个品牌的数据，求两个指标“不沾性、耐磨性”都是级的品牌个数恰为个的概率；顾客甲从品牌，中随机选取个品牌，用“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”都是级，“”表示选取的品牌两个指标“不沾性、耐磨性”不都是级写出方差，的大小关系结论不要求证明18.本小题分记等比数列的前项和为，已知，成等差数列求的通项公式；设，求数列的前项和19.本小题分已知数列为等差数列，数列为等比数列，且， 求；已知，求数列的前项和；求证：1.【答案】【解析】【分析】本题考查复数模的求法，属于基础题直接由复数商的模等于模的商求解【解答】解：故选：2.【答案】【解析】解：因为，所以，互为相反数，不妨设，为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，由题意知，满足，取的最小值为，满足，因为，故取的最小值，满足，因为，故取的最小值，同理，取的最小值，所以，满足，取的最小值，满足，因为，所以，取的最小值，满足，因为，所以，取的最小值，同理，取的最小值，所以，所以，因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值故选：因为，不妨设，由题意求出，的最小值，的最小值，进一步可得，由题令时，即可求的最小值本题考查了数列的递推式及数列的求和，属于中档题3.【答案】【解析】解：由题意可知：，的差的数列为：，这个数列的差组成的数列为：，是等差数列，所以前项分别为，则该数列的第项为：故选：利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题4.【答案】【解析】解：故选：利用空间向量的线性运算法则求解本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题5.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦型函数的性质，属于基础题首先求出，又，即可求出【解答】解：由题意可知，解得，当时，由，得，由题意，得，解得，所以不存在当时，由，得，由题意，得，解得，所以故选B6.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题利用复数的四则运算、模的计算公式即可得出【解答】解：，则7.【答案】【解析】解：由，两边同时加，得：设，则，所以在上单调递增设，则，由；由在上单调递减，在上单调递增，由，即故选：先把转化为，设函数，分析函数的单调性，问题转化为，再设，转化为求恒成立，利用导数求函数的最小值，利用最小值大于或等于，可求的取值范围本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解题的关键在于通过指对同构思想将问题为函数单调性问题，结合参变量分离法转化为函数最值问题来求解，考查了推理能力与计算能力，属于难题8.【答案】【解析】【分析】本题考查比较大小，属于中档题根据选项，利用不等式性质及指数函数及其性质，对数函数及其性质，幂函数性质判断即可【解答】解：对于，即，故A错误对于，由得，所以，即，故B错误对于，由指数函数与幂函数的单调性可知，故C错误对于，由对数函数的单调性可知，故D正确故选D9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数的单调性、周期性、对称性，考查求函数值，属于中档题利用赋值法等并结合函数的奇偶性、对称性以及周期性一一分析即可【解答】解：对，因为，所以，所以，即，所以是周期为的周期函数，则A正确对，因为，所以，所以的图象关于直线对称，则 B正确对，因为，所以令，得，则因为的图象关于直线对称，所以，则，从而不是偶函数，则 C错误对，由的对称性与周期性可得，则，故 D正确故选：10.【答案】【解析】【分析】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于较难题由，知函数为偶函数，又，知是的周期，当时，化简并画出其图象，再根据偶函数和周期性，画出函数的图象，根据图象判断每一个选项是否正确【解答】解：由，知函数为偶函数，又，知是的周期，当时，画出的图象如图所示：由图知，的最小正周期是，A错误；在上单调递增，B正确；的图象的对称轴为，C错误；的值域为，D正确故选：11.【答案】【解析】解：设将长为的细绳截成两段后的长分别为，将长度为的细绳围成正方形，其面积为，将长度为的细绳围成三边长的比例为：的直角三角形，即三边长分别为，其对应的面积为，两个图形的面积之和，又因为，所以，当时，取到最小值，最小值为，故选项A正确；两个图形的面积之积，由基本不等式得，则，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；令，解得，故选项C错误；正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误故选：设将长为的细绳截成两段后的长分别为，分别表示出正方形和三角形的面积，即可依次判断每个选项的正误本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题12.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的图象与性质以及三角函数的恒等变换，考查基本三角函数化简利用三角恒等变换把化为一个角的正弦函数，再由正弦函数的图象与性质求解【解答】解：由题意可得：，故，即，由于，是函数的两个零点，所以为函数的最小正周期，即，解得：，故有：，当时，可知，即，所以最小值与最大值之和为13.【答案】【解析】解：，所以它的展开式中，的系数为：，解得故答案为：由，求出它的展开式中的系数即可本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目14.【答案】【解析】解：因为，所以，故，当且仅当，即时取等号故答案为：由已知结合基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题15.【答案】解：函数，当时，化为，解得；当时，化为，解得；当时，化为，无解；综上所述，的解集为 由知，因为当且仅当时，等号成立，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为【解析】先对函数去绝对值，然后分段进行解不等式即可求解；结合的结论得到，然后利用均值不等式即可求解本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解，还考查了基本不等式求解最值，属于基础题16.【答案】设中点为，连接，则由正方体性质可得，且，故四边形为平行四边形，则又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形在正方形中，直线与直线相交，设，连接，设，连接，由为的中点，得为的中点，所以平面即为平面，因为为的中点，所以为的中点，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，因为正方体的棱长为，所以，另一部分几何体的体积，两部分的体积取的中点，的中点，连接、，显然，所以，平面，平面，所以平面，又为的中点，所以且，又且，所以且，所以为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又点是侧面内的动点，且，所以在线段上，又，即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，令，则为的中点，连接，则，所以平面，所以球心在上，设球心为，连接、，设外接球的半径为，则，又，所以，解得，则，所以外接球的表面积【解析】本题考查空间几何体的截面问题，棱台的体积和球的表面积，属于较难题设中点为，再证明即可知这个多边形为；设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；取的中点，的中点，连接、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连接，则球心在上，设球心为，连接、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得17.【答案】解：“不粘性”性能都是级的品牌有个，记事件为两个品牌的“不粘性”性能都是级，则；前个品牌中性能都是级的品牌有个，后六品牌中性能都是级的品牌有个，记事件为这两个品牌的“不粘性”性能都是级，则这两个品牌的“不粘性”性能都是级的概率为：品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，分布列为： ，分布列为： ，分布列为： ，分布列为： ，【解析】直接计算事件发生概率；个品牌中性能都是级的品牌有个，后六品牌中性能都是级的品牌有个，记事件为这两个品牌的“不粘性”性能都是级，利用古典概型能求出这两个品牌的“不粘性”性能都是级的概率品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，品牌，中“不沾性、耐磨性”都是级品牌有个，由此能求出结果本题主要考查离散型随机变量的期望和分布列，属于中档题18.【答案】解：设的公比为，由，成等差数列，得，由题意得，解得或，所以或；当时，所以；当时，所以，则，所以 ，所以；综上，或【解析】先根据题干已知条件及等差中项的性质计算出与的值，再设等比数列的公比为，然后列出关于公比的方程，解出公比的值，进一步计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的运用，考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题19.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，解得，则，由，得，解得，则，所以当是奇数时，当是偶数时，则，于是，两式相减，得 ，所以， ，所以证明：由知，当且仅当时取等号，则，所以【解析】根据题意求数列、的通项公式，然后由等比数列的前项和公式可得答案；分为奇数和偶数，求出数列的通项公式，再根据列项相消法和错位相减法求和；由，利用等比数列前项和公式求和，即可证得不等式本题考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题