江西省抚州市2025届高三第一次大联考 数学试卷（含解析）

2025届新高三第一次大联考高三数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：则该组数据的中位数和平均数分别为（ ）A60，58B60，60C55，58D55，603已知为实数，则（ ）AB2C1D4曲线低点处的切线方程为（ ）ABCD5已知锐角满足，则（ ）ABCD6过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（ ）ABCD7已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ）ABCD8如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知双曲线，则（ ）A的取值范围是B时，的渐近线方程为C的焦点坐标为D可以是等轴双曲线10下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（ ）ABCD11已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）A的图象关于点对称B是以8为周期的周期函数CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12二项式的展开式中的系数为_13已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为_14已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕四川田径队的吴绝妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：s）与位移（单位：m）之间的关系，得到如下表数据：2.82.933.13.22425293234画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系（1）求出关于的线性回归方程；（2）记，其中为观测值，为顶测值，为对应的残差，求前3项残差的和参考数据：，参考公式：16（15分）已知的内角的对边分别为，且（1）证明：；（2）若，求的周长17（15分）已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且（1）证明：；（2）求的取值范围18（17分）如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点（1）当时，求四棱锥的体积；（2）当直线与平面所成的角为时，求的值19（17分）定义：若对于任意，数列满足：；，其中的定义域为，则称关于满足性质（1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；（2）设，若关于满足性质，证明：；（3）设，若关于满足性质，求数列的前项和2025届新高三第一次大联考高三数学参考答案及评分细则1【答案】D【解析】，故故选D2【答案】B【解析】将样本数据从小到大排列为易得中位数为60，平均数为故选B3【答案】D【解析】由题意可得，由为实数得，即，则故故选D4【答案】C【解析】因为，所以在点处的切线紏率为所以切线方程为即故选C5【答案】A【解析】因为所以注意到，而在上单调递减，从而，即故选A6【答案】B【解析】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线曲线是以为圆心1为半径的半圆（如图所示）设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点则应位于直线和切线之间所以由，由得故直线斜率的取值范围为故选B7【答案】D【解析】设，由題意可知，线段的中点是直线与直线的交点，联立解得，另一方面联立得易知，由韦达定理得，解得，所以故离心率故选D8【答案】B【解析】由知为锐角又因为，所以设，即，由，得，又，故则因此，即在中由正弦定理，以及整理计算得故选B9【答案】ACD（每选对1个得2分）【解析】对于A，表示双曲线，解得，故A正确；对于B，时，双曲线方程为，其渐近线方程为，故B错误；对于C，由A得，设C的半焦距为则，故其焦点坐标为，故C正确；对于D，若C为等轴双曲线，则，故D正确，故选ACD10.【答案】AD（每选对1个得3分）【解析】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点的相关问题，过原点的直线与的对称交点均满足题意，故A正确；由于与一次函数不可能有三个交点，故B错误；为偶函数，且与二次函数图象形状一致，与一次函数不可能有三个交点，故C错误；过原点的直线可以与奇函数存在三个交点，故D正确，故选AD11.【答案】ABC（每选对1个得2分）【解析】由题意，且，即，用替换中的，得由+得，所以的图象关于点对称且，故A正确；由，可得，所以所以是以8为周期的周期函数，故B正确；由知，则，所以，故C正确；又因为，所以，令，则有，令则有，令，则有，所以所以，故D错误故选ABC12【答案】15【解析】由二项式的展开式的通项为，令得其展开式中的系数为13【答案】【解析】由题意可得，当时，由函数在内恰有两个极值点，可知，解得14【答案】【解析】设这三个正整数分别为，则题意可得，所以随机变量可能取值为1和2用隔板法可求得：事件总情况为种，当时，分两种情况：三个数中只有一个1，有种；三个数中有两个1，有种所以时，；当时也分两种情况：三个数中只有一个2，有种；三个数中有两个2，有种，所以时，所以15解：（1）依题意可得（1分）所以关于的线性回归方程为（6分）（2）根据（1）得到；（8分）所以【评分细则】第二问中计算出一个残差给2分少算或算错一个扣2分16（1）证明：由，得，由正弦定理得（5分）因为，所以（2）解：因为，所以，由余弦定理得即解得，所以的周长为【评分细则】第一问未说明的不扣分17（1）证明：由题意联立得，（2）解：设，由（1）得，即，即整理得将代入并整理得，且，解得或（15分）【评分细则】第二问若只解出一个参数范围扣1分18解：（1）由题意平面平面，所以，又因为，得，所以，因为，所以，故，又，故平面，所以（2）如图，易知两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，由题知，则，故，设平面的一个法向量为，由得取，得，故，又，即，化简可得，解得或（舍去）【评分细则】（1）求出给2分，求出给2分，体积正确给2分；（2）建系给2分写出点坐标给1分，得出法向量再给3分19（1）解：示例：（注：所有的定义城为R的偶函数均符合题意）（2）证明：因为，所以，移项得因为，所以故由基本不等式，当且仅当时取到等号，而故，即（3）解：由题意，故设，则故在上单调递增而故时，时，因此在上单调递减在上单调递增不妨设。因为。所以当时，当或时，且时，时，故对于任意，方程有且只有两个不同的根，又，故的图象关于对称故，因此数列的前项和为【评分细则】其他方法酌情给