第9章-数值积分与数值微分.

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计,算,方,法,课,件,计,算,方,法,课,件,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计,算,方,法,课,件,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数,f(x),的下列一些情况：,的原函数,对定积分,的被积函数,已知，在高等数学中可用牛顿,莱布尼兹公式,实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系,.,9.1,数值求积的基本思想,第,9,章 数值积分与数值微分,（,4,）,f(x),本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据,.,（,2,）,f(x),的原函数不能用初等函数形式表示，例如,（,3,）,f(x),的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂，例如,（,1,）,f(x),复杂，求原函数困难，列如,以上的,4,种情况都不能用牛顿,莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。,由积分中值定理,对连续函数,f(x),在区间,a, b,内至少存在一点,，使,只要对平均高度,f(,),提供一种,近似算法,便可相应地获得一种,数值求积方法,.,即所谓,矩形公式,.,例如,用区间,a, b,两端点的函数值,f(a),与,f(b),的算术平均值作为,f(,),的近似值,可导出,求积公式,这便是人们所熟知的,梯形公式,.,如果改用区间,a, b,的中点,c=(a,+,b)/2,处的函数值,f(c),近似代替,f(,),则又可导出所谓,(,中,),矩形公式,一般地,在区间,a, b,上适当选取点,x,k,(k=0,1,n),然后用,f(x,k,),的,加权平均值,作为,f(,),的近似值,可得到更为,一般的求积公式,其中：点,x,k,叫,求积节点,系数,A,k,叫,求积系数,.,A,k,仅与节点,x,k,的选取有关,而与被积函数,f(x),无关,.,求积公式的,截断误差,为,R(f),又称为,求积余项,.,这类数值积分方法通常称为,机械求积,，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛,-,莱公式寻求原函数的困难,.,9.2.1,代数精度的概念,定义,1,如果求积公式,(1),对所有次数不超过,m,的多项式都精确成立；,(2),至少对一个,m+1,次多项式不精确成立，,则称,该公式具有,m,次代数精度,(,或,代数精确度,).,数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“,尽可能多,”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念,.,一般来说，代数精度越高，求积公式越好。,结论,一个求积公式具有,m,次代数精度的,充要条件,是该求积公式,:,(1),对,x,k,(k=0,1,m),精确成立；,(2),对,x,m+1,不精确成立,.,故一般地，要验证一个求积公式具有,m,次代数精度，只要令对于,f(x)=1, x, x,m,求积公式精确成立等式就行,.,即对于求积公式,给定,n+1,个互异的求积节点,x,0, x,1, x,n-1, x,n,令求积公式对,f(x)=1, x, x,n,精确成立,即得,求解该方程组即可确定求积系数,A,k,所得到的求积公式,至少具有,n,次代数精度,.,解,当,f (x)=1,时,此时公式精确成立,。,例,1,验证梯形公式,具有一次代数精度。,当,f(x)=x,时，,公式也精确成立,.,当,f(x)= x,2,时，,公式对,x,2,不精确成立,.,故由定理,1,知,梯形公式的代数精度为,1,次,.,例,2,确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度,.,解,令,f (x)=1, x, x,2,代入公式两端并令其相等，得,解得,得,求积公式,为,令,f (x)=x,3,，得,令,f (x)=x,4,，得,故,求积公式,具有,3,次代数精度,.,如果我们事先选定求积节点,x,k,，譬如，以区间,a, b,的等距分点作为节点，这时取,m=n,求解方程组即可确定求积系数,A,k,，而使求积公式至少具有,n,次代数精度,.,本章第,2,节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例,.,如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定参数,x,k,和,A,k,的代数问题,.,方程组,(1.4),实际上是一,2n+2,个参数,的非线性方程组，此方程组当,n1,时求解非常困难，但当,n=0,及,n=1,的情形还是可以通过求解方程组得到相应的求积公式,.,下面对,n=0,讨论求积公式的建立及代数精确度,.,此时求积公式为,其中，,x,0,及,A,0,为待定参数,.,根据代数精确度定义可令,f(x)=1, x,，由方程组知,.,得,得到的求积公式就是,(1.2),式的中矩形公式,.,再令,f(x)=x,2,，代入,(1.4),式的第三式,说明,(1.2),式对,f(x)=x,2,不精确成立，故它的代数精确度为,1.,方程组,(1.4),是根据,(1.3),式的求积公式得到的，按照代数精确度的定义，如果求积公式中除了,f(x,i,),还有,(x),在某些节点上的值，也同样可得到相应的求积公式,.,例,3,给定形如下面的求积公式，试确定系数,A,0, A,1, B,0,，使公式具有尽可能高的代数精确度,.,解,根据题意可令,f(x)=1, x, x,2,分别代入求积公式使它精确成立：,解得,当,f(x)=x,3,时，上式右端为,1/3,，而左端是,于是有求积公式,故积分公式对,f(x)=x,3,不精确成立，其代数精确度为,2.,9.2.2,插值型的求积公式,设给定一组节点,且已知,f(x),在这些节点上的函数值,f(x,k,),则可求得,f(x),的拉格朗日插值多项式,(,因为,L,n,(x),的原函数易求,),其中,l,k,(x),为插值基函数,取,由上式确定系数的公式称为,插值型求积公式,.,即,则,f (x),L,n,(x),插值型求积公式积分法几何表示,由插值余项定理,其求积余项为,其中,=,(x),如果求积公式,(1.5),是插值型的，按照插值余项式子，对于次数不超过,n,的多项式,f(x),，其余项,R(f ),等于零，因而,这时求积公式至少具有,n,次代数精度,.,反之，如果求积公式至少具有,n,次代数精度，则它必定是插值型的,.,事实上，这时求积公式对于插值基函数,l,k,(x),应准确成立，即有,注意到,l,k,(x,j,)=,kj,，上式右端实际上即等于,A,k,，因而下面式子成立,.,定理,1,具有,n+1,个节点的数值求积公式,(1.5),是,插值型求积公式,的,充要条件,为,:,该公式,至少具有,n,次代数精度,.,综上所述，我们有结论为,这时令,f(x)=1,代入又有结论为,结论,对插值型求积公式的系数必有,9.2.3,求积公式的余项,若求积公式,(1.3),的代数精确度为,m,，则由求积公式余项的表达式,(1.7),可以证明余项形如,其中,K,为不依赖于,f(x),的待定参数,.,这个结果表明当,f(x),是次数小于等于,m,的多项式时，由于,f,(m+1),(x)=0,，故此时,R f =0,，即求积公式,(1.3),精确成立,.,而当,f(x)=x,m+1,时，,f,(m+1),(x)=(m+1)!,，,(1.8),式左端,Rf,0,，故可求得,代入余项公式,(1.8),式可以得到更细致的余项表达式,.,例如梯形公式,(1.1),的代数精确度为,1,，可以证明它的余项表达式为,其中,于是得到梯形公式,(1.1),的余项为,对中矩形公式,(1.2),，其代数精确度为,1,，可以证明它的余项表达式为,其中,于是得到中矩形公式,(1.2),的余项为,例,4,求例,1,中求积公式,的余项,.,解,由于此求积公式的代数精确度为,2,，故余项表达式为,R,=K,(,),，令,f(x)=x,3,，得,(,)=3!,，于是有,故得,牛顿,柯特斯公式,为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间,a,b,划分,n,等分，即令步长,h=(b-a)/n,，且记,x,0,=a, x,n,=b,，则节点记为,x,k,=x,0,+kh,(k=0,1,n),，然后作变换,:,t=(x-x,0,)/h,代入求积系数公式，将会简化计算,.,1,柯特斯系数,设将积分区间,a, b,划分成,n,等分,步长,h=,求积节点取为,x,k,=a+kh (k = 0,1,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为,引入变换,x = a + th,则有,(k=0,1, n),(k=0,1, n),其中,记,于是得求积公式,称为,n,阶牛顿,-,柯特斯,(Newton-Cotes),公式,.,显然,柯特斯系数与被积函数,f (x),和积分区间,a,b,无关,且为容易计算的多项式积分,.,称为,柯特斯系数,.,牛顿,-,柯特斯公式的推导：,柯特斯系数为：,柯特斯系数表为：,当,n=1,时，,柯特斯系数,为,这时的,牛顿,-,柯特斯公式,为一阶求积公式，就是我们所熟悉的,梯形公式,，即,当,n=2,时，,柯特斯系数,为,相应的,牛顿,-,柯特斯公式,为二阶求积公式，就是,辛普森,(simpson),公式,(,又称为,抛物形求积公式,),，即,式中,(k=0,1,2,3,4),h=(b,-,a)/4.,n = 4,时的,牛顿,-,柯特斯公式,就特别称为,柯特斯公式,.,其形式是,在,柯特斯系数表,看到,n 7,时，,柯特斯系数,出现负值，于是有,特别地，假定,则有,这表明在,b,-,a1,时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故,n 7,的,牛顿,-,柯特斯公式,是不用的,.,2,偶阶求积公式的代数精度,作为插值型求积公式，,n,阶,牛顿,-,柯特斯公式,至少具有,n,次代数精度,(,推论,1).,实际的代数精度能否进一步提高呢？,先看,辛普森公式,，它是二阶,牛顿,-,柯特斯公式,，因此至少具有二次代数精度,.,进一步用,f(x)=x,3,进行检验，按,辛普森公式,计算得,另一方面，直接求积得,这时有,S=I,，即,辛普森公式,对不超过三次的多项式均能精确成立，又容易验证它对,f(x)=x,4,通常是不精确的,(,如取,a=0,b=1,进行验证有，,S=5/24,I=1/5,),，因此，,辛普森公式,实际上,具有三次代数精度,.,一般地，我们可以证明下述论断：,定理,3,n,阶牛顿,-,柯特斯公式的代数精度至少为,证明,由定理,1,已知，无论,n,为奇数或偶数，插值型求积公式都至少具有,n,次代数精度,.,因此我们证明,n,为偶数的情形，即对,n+1,次多项式余项为零,.,令,n=2k,，,设,为任一,n+1,次多项式，其最高次系数为,a,n+1,，则它的,n+1,阶导数为,由余项公式,有,这里变换为,x=a+th,，注意,x,j,=a+jh.,下面我们证明,作变换,u=t,-,k,，则,容易验证,(u),为奇函数，即,(,-,u)=,-,(u),，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以,定理,3,说明，当,n,为偶数时，牛顿,-,柯特斯公式对不超过,n+1,次的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到,n+1,.,正是基于这种考虑，当,n=2k,与,n=2k+1,时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用,n,为偶数的牛顿,-,柯特斯公式，如抛物形公式,(n=2),等,.,3,、几种低阶求积公式的余项,上述余项结果的证明：,n=2,时即为辛普森公式,(2.3),其代数精度为,3,，可以证明余项可表示为,其中,K,由,(1.9),式及,(2.3),式可得,辛普森公式的余项的另外一种证明方法,从而可得,辛普森公式,(2.3),的余项,为,也可直接积分计算得到,对,n=4,的柯特斯公式,(2.4),，其代数精度为,5,。故类似于求,(2.3),式的余项可得到,柯特斯公式的余项,为,解 ：,由梯形公式得,由辛普森公式得,例题,分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分,由柯特斯公式得,积分的精确值,9.3,复合求积公式,从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高,.,另一方面，插值节点的增多,(,n,的增大,),，在使用牛顿,-,柯特斯公式时将导致求积系数出现负数,(,当,n8,时）,牛顿,-,柯特斯求积系数会出现负数,),，即牛顿,-,柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高,求积精度,.,为了提高精度，通常在实际应用中往往采用,将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式,(,梯形公式或抛物形公式,),，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是,复合求积公式,的基本思想,.,为叙述方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复合求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论,.,将积分区间,a, b,n,等分,步长,x,k,=a+kh (k=0,1,n),则由定积分性质知,分点为,每个子区间,上的积分,用,低阶求积公式,然后把所有区间的,计算结果求和,就得到整个区间上积分,I,的近似值。,所用方法,:,1,、复化梯形公式,T,n,叫做,复化梯形求积公式,，下标,n,表示将积分区间等分的份数,.,从公式的特点可以看出，内节点,x,k,(,k,=1,2,n,-1),作为小区间的端点参与前、后两个小区间的计算，因而系数为,2,，端点,a,与,b,只参与一次计算，系数为,1.,复化梯形公式的推导及余项证明：,这一复化梯形求积公式的余项在形式上与,(1.1),式相同，不同的是，这里的,h,=(,b-a,)/,n,，而,(1.1),式中的,h=b,-,a,.,利用复化求积公式的余项，我们可以估计出在满足精度的要求下，应将积分区间等分多少份，即,n,取多少,.,这种误差估计方法称为事前误差估计,.,如下例,例,利用复化梯形公式计算,使其误差限为,10,-4,，应将区间,0,1,几等分,?,解,:,因为被积函数,取,n,=17,可满足要求,.,将积分区间,a,b,2,m,等分，,n,=2,m,，节点为,x,k,=,a+kh,(,k,=0,1,2,2,m,),，,h=,(,b-a,)/,2m,.,在每两个小区间,x,2,k,x,2,k,+2,(,k,=0,1,2,m,-1),上用抛物形公式，则有,:,S,2,m,叫做,复化抛物形求积公式,，下标,2,m,表示积分区间等分的份数，,2,m,强调为偶数份,.,复合辛普森求积公式,设函数,f,(,x,)C,4,a,b,，则,公式的特点为节点,x,2,k,(,k,=1,2,m,-1),作为小区间,x,2,k,x,2,k,+2,的端点，参与前后两次的辛普生公式的计算，因而系数为,2,，而奇数节点,x,2,k,+1,(,k,=0,1,m,-1),因辛普生公式中间点的求积系数为,4,而保留,4,，前面的,h,/3,为辛普生公式的公共求积系数,.,例,利用复化抛物形公式计算,使其误差限为,10,-4,，应将区间,0,1,几等分,?,解,:,利用例,3,的结果,因此只需将区间,0,1,二等分，即取,m,=1(,n,=2).,前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间 ,0,1,17,等分，可见复化抛物形公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用,S,4m,-,S,2m,来控制计算的精度,.,这就是下面要介绍的,龙贝格求积公式,.,9.4,龙贝格求积公式,9.4.1,梯形法的递推化,上节介绍的复合求积方法可提高求积精度，实际计算时若精度不够可将步长逐次分半,.,设将区间,a, b,分为,n,等分，共有,n+1,个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至,2n+1,个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,.,并注意到每个子区间,x,k, x,k+1,经过二分只增加了一个分点,设,h=(b,-,a)/n, x,k,=a+kh,(k=0,1,n),在,x,k, x,k+1,上用梯形公式得,在,x,k, x,k+1,上用复合梯形公式得,所以,从,0,到,n,-,1,对,k,累加求和得,这就是,递推的复合梯形公式,.,从这一公式可以看出，将区间对分后，原复合梯形公式的值,T,n,作为一个整体保留,.,只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量,.,即,例,计算积分值,它在,x=0,的值定义为,f(0)=1,，而,f(1)=0.8414709,，根据梯形公式计算得,解,我们先对整个区间,0, 1,使用梯形公式,.,对于函数,将区间二等分,再求出中点的函数值,f(1/2)=0.9588510,从而利用递推公式,(3.1),，有,进一步二分求积区间，并计算新分点上的函数值,f(1/4)=0.9896158, f(3/4)=0.9088516,再,(4.1),式，有,这样不断二分下去，计算结果见表,. k,为二分次数，,n=2,k,k,T,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0.9397933,0.9445135,0.9456909,0.9459850,0.9460596,0.9460769,0.9460815,0.9460827,0.9460830,0.9460831,由表可见，用复合梯形公式计算积分,I,要达到,7,位有效数字的精度需要二分区间,10,次，即要有分点,1025,个，计算量很大,.,9.4.2,外推技巧,上面讨论说明由,梯形公式,出发，将区间,a, b,逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继续下去，其理论依据是,梯形公式的余项展开,，设,若记,T,n,=T(h),，当区间,a, b,划分为,2n,等分时，则有,并且有,可以证明梯形公式余项可展开成,级数形式,，即,定理,4,设,f(x),C,a, b,，则有,其中,I,为积分值，系数,l,(l=1,2,),与,h,无关,.,此定理可利用,f(x),的泰勒展开推导得到，,证略,.,定理,4,表明,T(h)I,是,O(h,2,),阶,若用,h/2,代替,h,有,用,4,乘,(4.3),式减去,(4.2),式再除,3,记为,S(h),，则得,这里系数,l,与,h,无关，这样构造的,S(h),与积分值,I,近似的误差阶为,O(h,4,),.,这比,复合梯形公式,的误差阶,O(h,2,),提高了，容易看到,S(h)=S,n,，即将,a, b,分为,n,等分得到的,复合辛普森公式,.,这种将计算,I,的近似值的误差阶由,O(h,2,),提高到,O(h,4,),的方法称为,外推算法,，也称为,理查森,(Richardson),外推算法,.,这是“数值分析”中一个重要的技巧，只要真值与近似值的误差能表示成,h,的幂级数，如,(4.2),式所示，都可使用外推算法，提高精度,.,与上述做法类似，从,(4.4),式出发，当,n,再增加一倍，即,h,减少一半时，有,从,(4.6),式出发，利用外推技巧还可得到逼近阶为,O(h,8,),的算法公式,用,16,乘,(3.5),式减去,(3.4),式再除,15,记为,C(h),，则得,它就是把区间,a, b,分为,n,个子区间的复合,柯特斯公式,.,C(h)=C,n,，它的精度为,C(h),-,I=O(h,6,),.,它由辛普森法二分前后的两个积分近似值,S,n,与,S,2n,=S(h/2),由,(4.6),式组合得到，即,如此继续下去就可得到龙贝格,(Romberg),算法,.,9.4.3,龙贝格算法,将上述外推技巧得到的公式,(4.4),(4.6),(4.8),重新引入记号,T,0,(h)=T(h),T,1,(h)=S(h),T,2,(h)=C(h),T,3,(h)=R(h),等,从而可将上述公式写出统一形式,用,m,(h),作为,I,的近似值,误差量级为,O(h,2(m+1),),.,经过,m,(,m,=1,2,),次加速后，余项便取下列形式,这种处理方法通常称为,理查森,(Richardson),外推加速方法,.,公式,(4.11),也称为,龙贝格求积算法,.,以,0,(k),表示二分,k,次后求得的梯形值，以,m,(k),表示序列,0,(k),的,m,次加速值,，则依递推公式,(4.9),可到,龙贝格求积算法,的,计算过程,如下：,(1),取,k=0,h=b,-,a,，求,令,1,k(k,记区间,a, b,的二分次数,).,(2),求值 ，按梯形递推公式计算,0,(k),.,(3),求计算值，按加速公式逐个求出,数表,的第,k,行其余各元素,j,(k-j),(,j,=1,2,k,).,(4),若,|,k,(0),-,k-1,(0),|0,，计算积分,的近似值,.,先取步长,h=b,-,a,，应用辛普森公式有,其中,若把区间,a,b,对分，步长,h,2,=h/2=(b,-,a)/2,，在每个小区间上用辛普森公式，则得,其中,实际上,(5.2),式即为,与,(5.1),式比较，若,f,(4),(x),在区间,(a,b),上变化不大，可假定,f,(4),(,),f,(4),(,),，从而可得,与,(4.2),式比较，则得,这里,S,1,=S(a,b),，,S,2,=S,2,(a,b).,如果有,则可期望得到,此时可取,S,2,(a,b),作为,I(f),的近似，则可达到给定的误差精度,，若不等式,(5.3),不成立，则应分别对子区间,a,(a+b)/2,及,(a+b)/2, b,再用辛普森公式，此时步长,h,3,=(1/2)h,2,，得到,S,3,(a, (a+b)/2),及,S,3,(a+b)/2, b).,只要分别考察下面两个不等式,是否成立,.,对满足要求的区间不再细分，对不满足要求的还要继续上述过程，直到满足要求为止，最后还要应用龙贝格法则求出相应区间的积分近似值,9.6,高斯求积公式,由前面的讨论已经知道，以,a=x,0,x,1,0,，而,f(x,0,)=f(x,1,)=0,，故右端,=0.,它表明两个节点的求积公式的最高代数精度为,3.,而一般,n+1,个节点的求积公式的代数精度最高为,2n+1,次,.,下面研究带权积分,这里,(x),为权函数，类似,(1.3),式，它的求积公式为,在这个求积公式里,A,k,(,k,=0,1,n,),为不依赖于,f(x),的求积系数，,x,k,(,k,=0,1,n,),为求积节点，可适当选取,x,k,及,A,k,(,k,=0,1,n,),使,(6.4),式具有,2n+1,次代数精度,.,定义,4,如果求积公式,(6.4),具有,2n+1,次代数精度,则称其节点,x,k,(,k,=0,1,n,),称为,高斯点,，相应公式,(6.4),称为,高斯,(Gauss),求积公式,.,根据定义要使,(6.4),具有,2n+1,次代数精度，只要取,f(x)=x,m,，对,m,=0,1,2n,+1,(6.4),式精确成立，则得,当给定权函数,(x),，求出右端积分，则可由,(6.5),式解得,x,k,及,A,k,(,k,=0,1,n,).,由于,(6.5),式是关于,x,k,及,A,k,(,k,=0,1,n,),的非线性方程组,当,n,1,时求解是困难的,.,只有在节点,x,k,(,k,=0,1,n,),确定以后，方可利用,(6.5),式求解,A,k,(,k,=0,1,n,),，此时,(6.5),式为关于,A,k,的线性方程组,.,下面先讨论如何选取节点,x,k,(,k,=0,1,n,),才能使求积公式,(6.4),具有,2n+1,次代数精度,.,设,a, b,的,n+1,个节点,a,x,0,x,1,x,n,b,. f(x),的拉格,朗日插值多项式为,其中,则,用乘上式,(x),并从,a,到,b,积分，则得,其中,余项为,显然当,f(x),取为,1, x,x,n,时有,Rf=0,，此时有,即求积公式,(6.4),至少具有,n,次代数精度,.,现在考察如何选取节点,x,k,(,k,=0,1,n,),才能使求积公式精度提高到,2n+1,次,.,此时求,f(x),对,2n+1,次多项式时,Rf=0,，而当,f(x),H,2n+1,时，,f,(n+1),(,(x),为,n,次多项式,.,若要求对任意,p(x),H,n,，积分,即相当于要求,n+1,(x),与每个,p(x),H,n,带权,(x),在,a, b,上正交,.,也就是以节点,x,k,(k=0,1,n,),为零点的,n+1,次多项式,n+1,(x),是,a, b,上带权,(x),的正交多项式，于是便有以下定理,.,定理,5,插值型求积公式,(6.4),的节点,x,k,(k=0,1,2,n),是,高斯点的充要条件,是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过,n,的多项式,p(x),带权,(x),正交,，即,证明,(,必要性,),设,p(x)H,n,则,p(x),n+1,(x)H,2n+1,因此，如果,x,k,(k=0,1,2,n),是高斯点，则求积公式,(5.1),对于,p(x),n+1,(x),精确成立，即有,因,n+1,(x,k,)=0,(k=0,1,2,n),，故,(6.7),式成立,.,(,充分性,),对任意,f(x)H,2n+1,用,n+1,(x),去除,f(x),则可表示成,其中，,p(x),为商式，,q(x),为余式，,p(x),q(x),均为不超过,n,次的多项式，于是有,由,(6.7),式有,于是有,由于,(6.4),是插值型求积公式，故对,q(x)H,n,精确成立,再注意到在节点处,n+1,(x,k,)=0,(k=0,1,2,n),，知道有等式,q(,x,k,)= f(,x,k,),(k=0,1,2,n),，从而由,(6.8),式有,可见积分公式,(6.4),对一切次数不超过,2n+1,的多项式均精确成立,.,因此,x,k,(k=0,1,2,n),为,高斯点,.,证毕,.,定理表明在,a, b,上带权,(x),的,n+1,次正交多项式的零点就是求积公式,(6.4),的高斯点，有了求积节点,x,k,(,k,=0,1,n,),，再利用,(6.5),对,m,=0,1,n,成立，则得到一组关于求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,),的线性方程组,.,解此方程组则得,A,k,(,k,=0,1,n,).,也可直接由,x,k,(,k,=0,1,n,),的插值多项式求出求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,).,例,9,确定求积公式,节点,x,0, x,1,及系数,A,0, A,1,，使它具有最高代数精度,.,解,具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为关于权函数,(x)= x,1/2,的正交多项式零点,x,0,及,x,1,，设,由正交性知,(x),与,1,及,x,带权正交，即得,于是得,由于两个节点的高斯型求积公式具有,3,次代数精度，故公式对,f(x)=1, x,精确成立，即,由此解得,即,令,(x)=0,，则得,x,0,=0.289949,，,x,1,=0.821162,.,由此解出,A,0,=0.277556,，,A,1,=0.389111.,下面讨论高斯求积公式,(6.4),的,余项,.,利用,f,(x),在节点,x,k,(,k,=0,1,n,),的,Hermit,插值,H,2n+1,(x),，即,于是有,两端乘,(x),，并由,a,到,b,积分，则得,其中右端第一项积分对,2n+1,次多项式精确成立，故,由于,故由积分中值定理得到,(6.4),的余项为,下面讨论,高斯求积公式的稳定性与收敛性,定理,6,高斯求积公式,(6.4),的求积系数,A,k,(,k,=0,1,n,),全是正的,.,证明,考察基函数,它是,n,次多项式，因而,l,k,2,(x),是,2n,次多项式，故高斯求积公式,(6.4),对于它能精确成立，即有,注意到,l,k,(x,i,)=,ki,，上式右端实际上即等于,A,k,，从而有,由本定理及定理,2,，得到,定理,7,设,f(x),Ca, b,，则高斯求积公式,(6.4),是,收敛的,，即,推论,高斯求积公式,(6.4),是,稳定的,.,证明略,9.6.2,高斯勒让德求积公式,在高斯求积公式,(6.4),中，若取区间为,-,1, 1,，权函数为,(x)1,，则得公式为,我们知道勒让德多项式是区间,-,1, 1,上的正交多项式，因此，勒让德多项式,P,n+1,(x),的零点就是求积公式,(6.11),的高斯点,.,形如,(6.11),式的高斯公式特别地称为,高斯,-,勒让德,(Gauss-Legendre),求积公式,.,若取,P,1,(x)=x,的零点,x=0,做节点构造求积公式,令它对,f(x)=1,准确成立，即可定出,A,0,=2.,这样构造出的,一点高斯,-,勒让德求积公式,是,中矩形公式,.,再取,的两个零点,构造求积公式 即,在例,8,中解出,A,0,=,1,=1,从而得到,代数精度为,3,的,两点高斯勒让德求积公式,三点高斯勒让德求积公式,的形式是,其它的高斯勒让德求积公式的形式根据,常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表,，自己可以写出来,.,常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表,n,节点数,求积节点,x,k,求积系数,k,0,1,0,2,1,2,0.5773503,1,2,3,0.7745966692,0.0000000000,0,5555555556,0.8888888889,3,4,0.8611363116,0.3399810436,0.3478548451,0.6521451549,4,5,0.9061798459,0.5384693101,0.0000000000,0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,公式,(6.11),的余项由,(6.10),式得到,这里是 最高项系数为,1,的勒让德多项式，由第,3,章,(2.6),式及,(2.7),式得,当,n=1,时，有,它比辛普森公式,余项,(,区间,-,1, 1),还小，且比,辛普森公式少算一个函数值,.,当积分区间不是,-,1, 1,，而是一般的区间,a, b,时，只要做变换,对等式右端的积分即可使用高斯,-,勒让德求积公式,可将,a, b,化为,-,1, 1,，这时,这就是,中矩形公式,例如,用,一点高斯勒让德公式,有,例如,利用两点,Gauss-Legendre,求积公式计算,解,:,因为,是偶函数,数表,k,T,0,(,k,),T,1,(,k,-1),T,2,(,k,-2),T,3,(,k,-3),T,4,(,k,-4),0,T,0,(0),1,T,0,(1),T,1,(0),2,T,0,(2),T,1,(1),T,2,(0),3,T,0,(3),T,1,(2),T,2,(1),T,3,(0),4,T,0,(4),T,1,(3),T,2,(2),T,3,(1),T,4,(0),注意计算顺序，第,k,步子区间长度为,h=(b-a)/2,k,.,例,用,4,点,(n=3),的高斯,-,勒让德求积公式计算,根据,节点系数表,中,n=3,的节点及系数可求得,解,先将区间,0,/2,化为,-,1, 1,，由,(6.13),式有,(,准确值是,I=0.467401,).,9.6.3,高斯切比雪夫求积公式,在高斯求积公式,(6.4),中取区间为,-,1, 1(,即,a=,-,1,b=1,),权函数为,称为,高斯,-,切比雪夫求积公式,.,由于区间,-1, 1,上关于此权函数的正交多项式是切比雪夫多项式，因此,求积公式,(6.14),的高斯点是,n+1,次切比雪夫多项式的零点,，即为,所建立的高斯公式,通过计算可知,(6.14),的系数为,使用时将,n+1,个节点改为,n,个节点，于是,高斯,-,切比雪夫求积公式,写成,公式的余项由,(6.10),可算得，即,例,用,5,点,(n=5),的高斯,-,切比雪夫求积公式计算,由余项,(6.16),式可估计误差,解,这里,f(x)=e,x, f,(2n),(x)=e,x,，当,n=5,时由公式,(6.15),可得,带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分,.,4.6.4,无穷区间的高斯型求积公式,区间为,0,+),，权函数,(x)=e,-,x,的正交多项式为,拉盖尔多项式,称为,高斯,-,拉盖尔,(Gauss-Laguerre),求积公式,，其节点,x,0, x,1, x,n,为,n+1,次拉盖尔多项式的零点，系数为,对应的高斯型求积公式,余项为,解,使用不同的,n,值，下列对,n=1,2,4,5,的计算结果列于下表,例,12,利用,Gauss-Lagurerre,求积公式计算,n,1,2,4,5,I,0.432459,0.496030,0.504879,0.500493,(I,的精确值为,0.5),区间为,(,-,+),，权函数,(x)=e,-x,2,的正交多项式为,埃尔米特多项式,称为,高斯,-,埃尔米特,(Gauss-Hermite),求积公式,.,节点,x,k,为,n+1,次埃尔米特多项式的零点，求积系数为,对应的高斯型求积公式,高斯,-,埃尔米特求积公式的节点和系数见,书,公式,(6.20),的余项为,解,先求节点,x,0,x,1,，由,H,2,(x)=4x,2,-,2,，其零点为,例,13,用两个节点的,Gauss-Hermite,求积公式计算,于是,及系数,高斯型求积公式代数精度为,3,，故对,f(x)=x,2,求积公式精确成立。从而得,本章介绍的几种求积方法各具特点,：,(1),梯形和抛物形求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好，再加上公式简单，因而使用非常广泛,.,特别在计算机上，复化的梯形公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法，计算程序十分简单,.,(2),龙贝格求积方法，其算法简单，程序也便于实现，且当节点加密时，前面的计算结果直接参与后面的计算，因而大大减少了计算量,.,此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的,.,(3),高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前面的计算结果不能被利用，只能重新计算,.,因此上机计算时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与系数表,.,它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分的计算,.,9.7,多重积分,前面各节讨论的方法可用于计算多重积分,.,考虑二重积分,它是曲面,z=f(x,y),与平面区域,R,围成的体积，对于矩形区域,R=(x,y)|a,xb, cyd,，可将它写成累次积分,若用复合辛普森公式，可分别将,a,b, c,d,分为,N, M,等份，步长,h=(b,-,a)/N, k=(d,-,c)/M,，先对积分,应用复合辛普森公式,(3.5),令,y,i,=c+ik,y,i+1/2,=c+(i+1/2)k,则,从而得,对每个积分再分别用复合辛普森公式,(3.5),即可求得积分值,.,解,取,N=2, M=1,，即,h=0.3, k=0.5,得,例,用复合辛普森公式求二重积分的近似值,.,此积分的真值是,0.4295545265(,保留小数后,10,位,).,对二重积分,(7.1),式也可用其它求积公式计算，特别是为了减少函数值计算可采用高斯求积公式,.,例,15,用,n=2,的高斯求积公式求,例,14,中的二重积分,.,解,先将区域,R=(x,y)|1.4,x2, 1y1.5,变换为区域,R,1,=(u,v)|,-,1,u1,-,1v1,，其中,或等价于,于是有,对于,u,v,取,n=2,时的高斯求积公式节点及系数，即,用,n=2,的高斯求积公式计算积分,I,可得,这里只需计算,9,个函数值,.,而例,14,中需要求,15,个函数值，这里的精度也比例,14,高，达到,8,位有效数字,.,对于非矩形区域的二重积分,只需化为累次积分,也可类似矩形区域情形求得其近似值，如二重积分,用辛普森求积公式可转化为,其中,然后再对每个积分使用辛普森公式，则可求得积分,I,的近似值,.,9.8,数值微分,9.8.1,中点方法与误差分析,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值,.,按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,.,前点公式 误差阶,O(h);,后点公式 误差阶,O(h);,中点公式 误差阶,O(h,2,).,(8.1),其中,h,为一增量，称为,步长,，,中点公式是前两个公式的算术平均,.,但它的,误差,却由,O(h),提高到,O(h,2,),.,上面给出的三个公式是很实用的，,尤其是中点公式更实用,.,为了利用中点公式,计算导数,f,(a),的近似值，首先,必须选取合适的步长,为此,需要进行误差分析,，分别将,f(a,h),在,x=a,处做,泰勒展开,有,代入上式得,由此得知，从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确,.,且,其中,再考虑舍入误差，按中点公式计算，当,h,很小时,因,f(a,+,h),与,f(a,-,h),很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失,.,因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的,.,例如,用中点公式求,f(x)=x,1/2,在,x=2,处的一阶导数,.,设取,4,位数字计算,(,导数的准确值,f,(2),=0.353553,),，计算结果见表,4,-,10,h,G,(,h,),h,G,(,h,),h,G,(,h,),1,0.5,0.1,0.3660,0.3564,0.3535,0.05,0.01,0.005,0.3530,0.3500,0.3500,0.001,0.0005,0.0001,0.3500,0.3000,0.3000,表,9-10,从表,9-10,中看到,h=0.1,的逼近效果最好,，,如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差,.,这是因为当,f(a,+,h),及,f(a,-,h),分别有舍入误差,1,及,2,，若令两误差绝对值最大为,=max|,1,|, |,2,|,，则计算,f,(a),的,舍入误差上界,为,它表明,h,越小，导数的舍入误差,(f,(a),越大，故它是,病态,的,.,用中点公式,(8.1),计算,f,(a),的误差上界为,要使误差,E(h),最小，步长,h,应使,E,(h)=0,，由,可得 如果,hh,opt,有,E,(h)h,opt,有,E,(h)0.,由此得出,h=h,opt,时,E(h),最小,.,当,f(x)=x,1/2,时,f,(x)=(3/8)x,-,5/2,假定,=(1/2),10,-,4,，由,这与表,9,-,10,基本相符,.,得,9.8.2,插值型的求导公式,对于列表合适,y=f(x),：,x,x,0,x,1,x,2,x,n,y,y,0,y,1,y,2,y,n,运用插值原理，可以建立插值多项式,y=P,n,(x),作为,f(x),的近似,.,由于多项式的导数比较容易，我们取,P,n,(x),的值作为,f,(x),的近似值，这样建立的数值公式,统称为,插值型的求导公式,.,必须指出，即使,f(x),与,P,n,(x),的值相差不多，导数的近似值,P,n,(x),与导数的真值,f,(x),仍然可能差别很大,因而在使用求导公式,(8.3),时应特别注意误差的分析,.,利用插值多项式求导数的方法,f(x),在这些点上的函数值为,f(x,k,),插值多项式为,P,n,(x),则,设,这是在节点,x,k,处导数的近似值，误差为,因为在节点,x,k,处有,所以在节点,x,k,处求导有,是可以进行估计的，但是对任一非节点,x,处的导数误差,f,(x),-,P,n,(x),是无法估计的，应为我们无法对余项中的一项,做出进一步的说明,.,下面我们,仅仅考察节点处的导数,.,为简化讨论，假定所给的节点是,等距,的,.,1.,两点公式,(n=1),设已给出两个节点,x,0, x,1,上的函数值,f(x,0,), f(x,1,),，做线性插值公式,对上式两端求导，记,x,1,-,x,0,=h,，有,于是有下列,求导公式,而利用余项公式,(8.4),知，,带余项的两点公式,是,2.,三点公式,(n=2),设已给出三个节点,x,0, x,1,=x,0,+