2.8有理数的乘法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,知之者不如好之者，好知者不如乐知者。,孔子,进入,有理数的乘法法则,问题的提出,试试你自己,有理数的乘法法则,例题展示,课堂练习,课堂小结,小资料,实例：,如下图所示，一只蜗牛沿直线,L,爬行，它的位置恰好在,L,上的,O,点。,1.,如果蜗牛一直以每分钟,2cm,的速度向,右,爬行，,3,分钟,后,它在什么位置？,2.,如果蜗牛一直以每分钟,2cm,的速度向,左,爬行，,3,分钟,后,它在什么位置？,3.,如果蜗牛一直以每分钟,2cm,的速度向,右,爬行，,3,分钟,前,它在什么位置？,4.,如果蜗牛一直以每分钟,2cm,的速度向,左,爬行，,3,分钟,前,它在什么位置？,分析：,以上四个问题涉及两组相反的量：向右和向左爬行、,3,分钟后和,3,分钟前，为了区分方向，不防规定：,向右为正，向左为负,，为区分时间，我们规定：,现在后为正，现在前为负,。,O,（）,如果蜗牛一直以每分的速度向,右,爬行，分,后,它在什么位置？,（）,如果蜗牛一直以每分的速度向,左,爬行，分,后,它在什么位置？,（,）如果蜗牛一直以每分的速度向,右,爬行，分,前,它在什么位置？,（）,如果蜗牛一直以每分的速度向,左,爬行，分,前,它在什么位置？,规定：向左为负，向右为正,现在前为负，现在后为正,（,1,）（,+2,）,（,+3,）,=,2,0,2,6,4,结果：,3,分后在,l,上点右边处，表示：,l,+6,-6,-4,0,-2,2,-6,（,2,）（,-2,）,（,+3,）,结果：,3,分后在,l,上点左边处，表示：,l,（,3,）,（,+2,）,（,-3,）,2,-6,-4,0,-2,2,结果：,3,分前在,l,上点左边处，表示：,l,（,4,）,（,-2,）,（,-3,）,2,0,2,6,4,-2,结果：,3,分前在,l,上点右边处，表示：,l,观察,（）（）,式，,（,1,）,23=6,（,2,）（,-2,）,3= -6,（,3,）,2,（,-3,）,= -6,（,4,）（,-2,）,（,-3,）,=6,根据你对有理数乘法的思考并填空,:,正数乘正数积为数；,负数乘正数积为数；,正数乘负数积为数；,负数乘负数积为数；,乘积的绝对值等于各乘数绝对值的,正,正,负,负,积,练习,1,：确定下列积的符号,：,（）,5,（,-3,）,（）（,-4,）,6,（）（,-7,）,（,-9,）,（）,0.50.7,积的符号为负,积的符号为负,积的符号为正,积的符号为正,例如,（,-,）,（,-,）,（,同号两数相乘）,（,-,）,（,-,）,= +,（ ）,（得正）,=,（把绝对值相乘）,（,-,）,（,-,）,=,又如：（,-7,）,4,（异号两数相乘）,（,-7,）,4= -,（）,（得负）,74=28,（,把绝对值相乘）,（,-7,）,4=-28,注意：,有理数相乘，先确定积的,符号,，在确定积的,值,注意,：,乘积是的两个数互为倒数,.,一个数同,+1,相乘，得原数，,一个数同,-1,相,乘，得原数的相反数。,例,1,计算：,（,1,） （,-3,）,9,（,2,）（ ）,（,3,）,7 ,（,-1,） （,4,） （,-0.8,）, 1,解,（,1,）（,-3,）,9= -27,（,3,）,7,（,-1,）,=-7,（,4,）（,-0.8,）,1= -0.8,例用正数表示气温的变化量，上升为 正，下降为负登山队攀登一座山 峰，每登高,km,的变化量为， 攀登,km,后，气温有什么变化,？,解,：（）,答：气温下降,练习,2,计算（口答）：,（）,（）,（）（）,（）（）,（）,（）（）,（）,（）,（）（）,(7) (-5) (-8)=,(8),(9) -12.56=,(10) (-0.3) (-0.3)=,(11) (-15) 15=,(12) (-9) (-4)=,40,-75,0.09,-225,36,(13) (-36) (-1)=,(14) 100(-0.001)=,(15) -4(-1.25)=,(16),(17),(18),36,-0.1,5,-6,0,练习,3:,请用“,”,或“,0,b0,ab_0,(2)a0,b0,b,”,、“, 0 , b 0 , c 0.,（ ）,错,对,错,错,计算：,（,1/100 1,）（,1/99 1,）（,1/98 1,）,（,1/2 1,）,解：原式,=,（,-99/100,）,（,- 98/99,）,（,-97/98,）,（,-1/2,）,= -,（,99/100 98/99 97/98 ,）,= - 1/100,观察,下列各式的积是正的还是负的？,（,1,）,2 3 4 (-5),（,2,）,2 3 ,（,-4,）,（,-5,）,（,3,）,2 ,（,-3,）,（,-4,）,（,-5,）,（,4,）（,-2,）,（,-3,）,（,-4,）,（,-5,）,问题：几个不是,0,的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？,几个不是,0,的数相乘，积的符号由,负因数的个数,决定，与正因数的个数无关，当负因数的个数为,奇数,时，积为,负数,；当负因数的个数为,偶数,时，积为,正数,。,思考,问题：多个不是,0,的有理数相乘，先做哪一步，再做哪一步？,先由负因数的个数确定积的符号，再求各个绝对值的积。,例题分析,例,3 :,计算,观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由。,7.8 (-5.1)0 ,（,-19.6,）,归纳：,几个数相乘，如果其中有因数为,0,，积等于,0,=0,巩固练习,课本,38,页练习题,1.,用“”或“”号填空,（,1,）,如果,a,0,b,0,那么,ab,0,（,2,）,如果,a,0,b,0,那么,ab,0,2.,判断下列方程的解是正数、负数还是,0,：,（,1,）,4,X,= -16,（,2,）,-3,X,=18,（,3,）,-9,X,=-36,（,4,）,-5,X,=0,3.,思考题,:,（,1,）当,a,0,时，,a,与,2,a,哪个大？,（,2,）当,a,0,时，,a,与,2,a,哪个大？,几个不等于,0,的数相乘，积的符号由负因数的个数决定,.,当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正,.,几个数相乘，有一个因数为,0,，积就为,0,.,有理数乘法法则,两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘,.,任何数同,0,相乘，都得,0.,小结,有理数,a,、,b,在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是：,(A),a,+b,0,(B),a,-b,0,(,C),a,b,a,O,b,a,你必须自己回答,你必须自己回答,一个,有理数和它的相反数之积：,(A),符号必为正,(B),可能为正，可能为负，也可能为零,(,C),一定不小于零,(,D),一定不大于零,你必须自己回答,若,a,b,0 , b0,(B),a,0,(,C),a,0 , b0,或,a,0,(,D),以上都不对,你必须自己回答,如果两数之积为零，那么这两数：,(A),都等于零,(B),有一个等于零另一个不等于零,(,C),至少有一个等于零,(,D),大于或等于零,你必须自己回答,在,-2,，,3,，,4,，,-5,这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是：,(A),20,(B),-20,(,C),12,(,D),10,你必须自己回答,互为倒数的两数的乘积必为：,(A),零,(B),-1,(,C),1,(,D),1,或零,小结：,1.,有理数乘法法则：,两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同,0,相乘,都得,0,。,2.,如何进行两个有理数的乘法运算：,先确定积的符号，再把绝对值相乘，当有一个因数为零时，积为零。,请你回顾一下,1,、两个有理数相乘的乘法法则是怎 样描述的？,2,、多个有理数相乘时，它们的符号又是如何确定的？（注意分情况讨论）,3,、有理数乘法运算中可以使用哪些运算律？它们分别是怎么描述的？,练一练,（,1,）,4,(-16),(-0.25),0.125,（,2,）,(-125),(-25),(-5),2,(-4),（,3,）,(-36),( - + ),用简便方法计算：,如何用简便方法计算下题？,4,(-3)+3,(-3)-2,(-3)+7,(-3),化简下,式：,2x + 3x,思考：,（,1,）,2x,、,3x,数字与字母,x,之间是什么关系？,（,2,）观察式子：,2x + 3x,与,ab,+ ac,之间有什么相同之处？,（,3,）借助分配律请猜想一下,2x + 3x,化简后的,结果是多少？,归 纳,一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即,ax+bx,=(a+b)x,上式中,x,是,字母因数，,a,与,b,分别是,ax,与,bx,这两项的系数。,合并同类项：,例,1,计算：,（,1,）,-2y + 0.5y,（,2,）,-3x + x + 0.5x,练习 计算：,（,1,）,12x - 20x,（,2,）,x + 7x,5x,（,3,）,-5a + 0.3a,2.7a,（,4,）,0.25y + 0.8y,0.75y,3y,比较两组计算过程：,5(x,2y+3 ),=5x+5(-2y)+5,3,=5x,10y+15,-5(x,2y+3),=-5x+(-5),(-2y)+(-5),3,=-5x+10y-15,比一比,观察与思考：,（,1,）两个算式中相同或不相同的因式是什么？,（,2,）比较两式中计算前后各项的符号有什么变化。试猜想一下！,（,3,）得用你的猜想计算下列各式：,+(x,2y+3 ),；,-(x,2y+3),去括号法则：,括号外的因数是,正数,，去括号后式子名项的符号与原括号内式子相应各项的符号,相同,；,括号外的因数是,负数,，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号,相反,。,归 纳,例,2,计算：,（,1,）,-3(2x-3),（,2,）,3x-(2x-4)+(2x-1),练习 计算：,（,1,）,12(x-0.5),（,2,）,-5(1-0.2x),（,3,）,-5a+(3a-2)-(3a-7),（,4,）,0.25(8y-4)+2(y+1),1.,下列等式成立的是,( ),A a+b= - (a-b),B a+b= - (a+b),C 2-3x=-(3x+2),D 30-x=5(6-x),考考你,2.,下列计算正确的是,( ),A 8x+4=12x,B 3(x+8)=3x+8,C -(x-6)=-x-6,D (x+8),3=3x+24,考考你,课堂聚焦,谈谈你这节课的,收获吧！,今天你学会了哪几个法则？,你会用,式子表示了吗？,练习一,5,（,-6,）,(-6,）,5,（,-3/4,）,（,-4/9,） （,-4/9,）,（,-3/4,）,=,两个数相,乘，交换因数的位置，积不变,乘法交换律：,ab,=,ba,=,练习二,3,（,-4,）,（,-5,）,3,（,-4,）,（,-5,）,（,-3/4,）,（,-4/9,）,6,（,-4/9,）,（,-3/4,）,6,=,三个数相乘，先把前两个数相乘，或者,先把后两个数相乘，积不变。,乘法结合律：（,ab)c,=,a(bc,),根据,乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理,数相乘，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的,几个数相乘,=,练习三,5,3+,（,-7,）, 5,3+5,（,-7,）,12,（,-3/4,）,+,（,-4/9,）, 12,(-3/4,）,+12,（,-4/9,）,=,一个数同两个数的和相,乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加,。,乘法分配律：,a(b+c,)=,ab+ac,根据分配律可以推出：一个数同几个数的和,相,乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，,再把积相加。,=,注意事项,1,、乘法的交换律、结合律只涉及一种运算，而分配律要涉及两种运算。,2,、分配律还可写成,:,ab+ac,=,a(b+c,),，,利用它有时也可以简化计算。,3,、字母,a,、,b,、,c,可以表示正数、负数，也可以表示零，即,a,、,b,、,c,可以表示任意有理数,。,问题一,下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？,1,、（,-4,）,8=8,（,-4,）,2,、,（,-8,）,+5+,（,-4,）,=,（,-8,）,+5+,（,-4,）,3,、（,-6,）,2/3+,（,-1/2,）,=,（,-6,）,2/3+,（,-6,）,（,-1/2,）,4,、,29,（,-5/6,）,（,-12,）,=29,（,-5/6,）,（,-12,）,5,、（,-8,）,+,（,-9,）,=,（,-9,）,+,（,-8,）,乘法交换律：,ab,=,ba,分配律：,a(b+c,)=,ab+bc,乘法结合律：,(,ab)c,=,a(bc,),加法交换律：,a+b,=,b+a,加法结合律：（,a+b)+c,=,a+(b+c,),问题二,在问题一的,15,题中，计算等号右边,比较简便还是计算等号左边比较方便？,1,、,相同,2,、,右边,3,、,右边,4,、,右边,5,、,相同,例一 计算：,12,25,（,-1/3,）,（,-1/30,）,解：,12,25,（,-1/3,）,（,-1/50,）,练习四,1,、（,-85,）,（,-25,）,（,-4,）,2,、（,-7/8,）,15,（,-1/,7,）,=12,（,-1/3,）,25,（,-1/50,）,=,（,-4,）,（,-1/2,）,=2,例二 计算：,（,1/4+1/6-1/2,）,12,解：,（,1/4+1/6-1/2,）,12,练习五,计算：,1,、（,9/10-1/15,）,30,2,、 （,24/25,）,7,=,（,1/4,）,12+,（,1/6,）,12-,（,1/2,）,12,=3+2-6,=-1,有理数,乘法的运算律,两个数相乘，交换因数的位置，积不变,乘法交换律：,ab,=,ba,三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积 不变。,乘法结合律：（,ab)c,=,a(bc,),根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的几个数相乘。,一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同,这两个数相乘，再把积相加。,乘法分配律：,a(b+c,)=,ab+ac,根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加。,形成性测试,一、下列各式变形各用了哪些运算律,？,1,、,1.25,(-4),(-25),8=,(1.25,8),(-4),(-25),2,、（,1/4+2/76/7,）,（,-8,）,=,（,1/4,）,（,-8,）,+,（,2/7-6/7,）,（,-8,）,3,、,25,1/3+,（,-5,）,+2/3,（,-1/5,）,=,25,（,-1/5,）,（,-5,）,+1/3+2/3,（,乘法交换律和结合律）,（加法结合律和分配律）,（乘法交换律和结合律,）,二、为使运算简便，如何把下列算式变形？,1,、（,-1/20,）,1.25(-8),2,、（,7/9-5/6+3/4-7/18,）,36,3,、（,-10,）,（,-8.24) (-0.1),4,、,(-5/6)2.4(3/5),5,、,(-3/4),（,8-4/3-0.04),(,二、三项结合起来运算）,（,用分配律）,(,一、三项结合起来运算,）,（一、三项结合,起来运算,）,(,用分配律）,1,概念复习。,（,1,）,说说,有理数的乘法法则,多个有理数相乘呢,?,(2),小学曾学过与乘法有关的哪些,运算律,?,有何作用,?,这些运算律在有理数范围内同样适用吗,?,结论,:,一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等,.,乘法交换律,:,ab,=,ba,观察思考,:,(1).5(-6),与,(-6) 5,(2).(-3) (-8),与,(-8) (-3),它们的结果相等吗,?,它们两个因式的位置有什么关系,?,通过观察,你有什么结论,?,2.,根据刚才的方法,请同学们观察, 3(-4) (-5),与,3(-4) (-5),并说明你又有什么发现,:,结论,:,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等,.,乘法结合律,: (,ab)c,=,a(bc,),计算,: 5 3+(,7),思考,你能够有几种方法,?,它们的结果相同吗,?,方法一,. 5 3+(,7),= 5(,4),=-20,方法二,. 5 3+(,7),=53,5(,7),=15,35,=,20,根据上面两种方法,你能有何结论,?,结论,:,一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加,.,乘法分配律,: a (b,c)=,ab,ac,考虑如何用简便方法计算下面的问题：,4,（,-3,）,+3 ,（,-3,）,-2 ,（,-3,）,+7 ,（,-3,）,分析：,1,、,按照一般计算规则，要先做乘法 （,4,次）再做加减法（,3,次），共需要进行,7,次计算。,2,、注意到问题中的乘法都有公共的因数（,-3,），可以将分配律反过来利用。,有理数乘法运算律,乘法交换律：,ab,=,ba,乘法结合律,：,（,ab,）,c=a (,bc,),分配律：,a (,b+c,)=,ab+ac,例,1:,计算,（,2,）,30,（,- +,）,（,1,）,6,（,-10,）,0.1 ,（,3,）,4.99,（,-12,）,（,4,）,3,（,）,26,（,） ,5,（,）,例题：计算：,解,（,1,）原式,=,=11,（,2,）,原式,=,（,3,）,原式,= -11,自我检测 ：,（,10,分钟）,计算：,=,-370,=,8.24,=,5,=,700,例,3:,计算,注意：,1.,不要漏乘项,;2.,正确处理符号,巩固练习：用简便方法计算,两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变,.,ab,=,ba,三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变,.,(,ab)c,=,a(bc,),.,根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理,数相乘，可以任意交换因数的位置，也可先把其中的,几个数相乘,乘法交换律,乘法结合律：,计算：,你会计算吗？,（,-3,）,（,+246,）,（,-,）,（,-,）；,（,+1.25,）,（,-4,）,（,-8,）；,一个数同两个数的和相,乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。,乘法分配律：,根据分配律可以推出：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加。,a(b+c+d)=,ab+ac+ad,a(b+c,),ab+ac,=,5,3+（-7） 5,3+5,（-7）,下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？,1,、（,-4,）,8 = 8,（,-4,）,2,、,（,-8,）,+5+,（,-4,）,=,（,-8,）,+5+,（,-4,）,3,、（,-6,）,+,（,-,）,=,（,-6,）,+,（,-6,）,（,-,）,4,、,29,（,-,）,（,-12,）,=29,（,-,）,（,-12,）,5,、（,-8,）,+,（,-9,）,=,（,-9,）,+,（,-8,）,乘法交换律：,ab=ba,分配律：,a,（,b+c,）,=ab+bc,乘法结合律,（,ab,）,c,a,（,bc,）,加法交换律：,a+b,b+a,加法结合律：,（,a+b,）,+c=a+,（,b+c,）,2,3,1,2,1,2,2,3,5,6,5,6,练 习,1,下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？,1,、（,-4,）,8 = 8,（,-4,）,2,、,（,-8,）,+5+,（,-4,）,=,（,-8,）,+5+,（,-4,）,3,、（,-6,）,+,（,-,）,=,（,-6,）,+,（,-6,）,（,-,）,4,、,29,（,-,）,（,-12,）,=29,（,-,）,（,-12,）,5,、（,-8,）,+,（,-9,）,=,（,-9,）,+,（,-8,）,乘法交换律：,ab=ba,分配律：,a,（,b+c,）,=ab+bc,乘法结合律,（,ab,）,c,a,（,bc,）,加法交换律：,a+b,b+a,加法结合律：,（,a+b,）,+c=a+,（,b+c,）,2,3,1,2,1,2,2,3,5,6,5,6,练 习,1,注意,1,、乘法的,交换律、结合律,只涉及一种运,算，而,分配律,要涉及两种运算。,2,、,分配律,还可写成,:,a,b+a,c,=a,（,b+c,）,，,利用它有时也可以简化计算。,3,、字母,a,、,b,、,c,可以表示,正数、负数,，也,可以表示,零,，,即,a,、,b,、,c,可以表示任意,有理数,。,1.,（,-8,）,（,-12,）,（,-0.125,）,（,-,）,（,-0.1,）,例：计算：,（,-11,）,（,-,）,+,（,-11,）,（,+2,）,+,（,-11,）,（,-,）,这题有错吗？错在哪里？,? ? ?,_ _ _,想一想,正确解法：,特别提醒,：,1.,不要漏掉符号，,2.,不要漏乘。,_ _ _ _,（,-14,）,4,1.,（,85,）,（,25,）,（,4,）,2.,3.,4.,练 习,2,小结：,1,、,乘法分配律：,一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。,a(b+c,)=,ab+ac,2,、注意点,(1),、乘法的交换律、结合律只涉及一种运算，而分配律要涉及两种运算。,(2),、分配律还可写成,:,ab+ac,=a,（,b+c,）， 利用它有时也可以简化计算。,(3),、字母,a,、,b,、,c,可以表示正数、负数，也可以表示零，即,a,、,b,、,c,可以表示任意有理数。,(4),、乘法分配律揭示了加法和乘法的运算性质，利用它可以简化有理数的运算，对于乘法分配律，不仅要会正向应用，而且要会逆向应用，有时还要构造条件变形后再用，以求简便、迅速、准确解答习题,.,两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变,.,ab,=,ba,三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变,.,(,ab)c,=,a(bc,),.,例题：计算：,解,（,1,）原式,=,=11,（,2,）,原式,=,（,3,）,原式,= -11,典型例题：用简便方法计算：,解,：（,1,）原式,=,（,1000-1,）,368,=367632,（,2,）,原式,=,（,20-0.1,）,58,=1164.2,（,3,）,原式,=,（,4,）,原式,=,自我检测 ：,（,10,分钟）,计算：,=,-370,=,8.24,=,5,=,700,