人教版第二十一章-一元二次方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一元二次方程,我思 我进步,2018年10月11日,（1）,方程的等号两边都是整式，只含有一个,未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元,二次方程；,（2）一般地，任何一个关于,x,的一元二次方程，,经过整理，都能化成如下形式,：,这种形式叫作一元二次方程的一般形式,其中,ax,2,是二次项，,a,是二次项系,数；,bx,是一次项，,b,是一次项系数；,c,是常数项,将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出各项系数.,一般形式：,二次项系数是,3,，一次项系数是,8,，,常数项是,10,.,方程的根：使一元二次方程等号两边相等,的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫,做根）.,根,的作用：可以使等号成立.,如果方程能化成,或,的形式，那么可得,或 .,通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程,.,22.2.1 配方法,我思 我进步,（1）把方程化为一般形式 ；,（,2,）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；,（,3,）方程两边同时除以二次项系数,a,；,（,4,）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；,（,5,）方程的左边是一个完全平方式，利用平方根,的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解,.,利用配方法解方程时应该遵循的步骤：,利用配方法解下列方程（,课件：配方,）,222. 2公式法,一元二次方程的求根公式：,我思 我进步,归纳：,（1）一元二次方程,的根是由一元二次方程的系数 确定的；,（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 的前提下，把 各个,系数的值代入求根公式，可求得方程的两个根 ；,（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 .,结论,（,1,）当 时，一元二次方程,有实数根,结论,（,2,）当 时，一元二次方程,有实数根,结论,（,3,）当 时，一元二次方程,无实数根.,回顾与复习,1.我们已经学过了几种解一元二次方程,的方法?,直接开平方法,配方法,X,2,=a (a0),(x+m),2,=n (n0),公式法,把一个多项式分解成几个,整式乘积,的形式叫做分解因式,.,2.,什么叫分解因式,?,22.2.3 因式分解法,利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于,0,的形式，再使这两个一次式分别等于,0,，从而实现降次,.,这种解法叫作因式分解法.,我思 我进步,归纳：,（1）配方法要先配方，再降次，通过配方法可以推出求根公式；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程.,（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.,老师提示,:,1.,用,因式分解法,的,条件,是,:,方程左边易于分解,而右边等于零,;,2.,关键,是熟练掌握因式分解的知识,;,3.,理论,依旧是,“,如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零,.,”,解题框架图,解：原方程可变形为：,=0,( )( )=0,=0或 =0, x,1,= , x,2,=,一次因式,A,一次因式,A,一次因式,B,一次因式,B,B,解,A,解,例 (,x,+3)(,x,1)=5,解：原方程可变形为,(,x2,)(,x+4,)=0,x2,=0或,x+4,=0, x,1,=,2,x,2,=,-4,解题步骤演示,方程右边化为零,x,2,+2x8,=0,左边分解成两个一次因式的乘,积,至少有一个,一次因式为零,得到两个一元一次方程,两个,一元一次方程的解,就是原方程的解,解下列方程,1、,x,2,3,x,10=0 2、(,x,+3)(,x,1)=5,解：原方程可变形为 解：原方程可变形为,(,x,5,)(,x,+2,)=0,x,2,+2,x,8,=0,(,x,2,)(,x,+4,)=0,x,5,=0或,x,+2,=0,x,2,=0或,x,+4,=0,x,1,=,5,x,2,=,-2,x,1,=,2,x,2,=,-4,十字相乘法,分解因式法,用分解因式法解方程: (1),5,x,2,=4x;(2)x-2=x(x-2).,分解因式法解一元二次方程的步骤是,:,2.,将方程左边因式分解,;,3.,根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程,.,4.,分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根,.,1.,化方程为一般形式,;,例题欣赏,我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：,二次三项式,ax,2,+bx+c,的,因式分解,开启 智慧,但对于一般的二次三项式,ax,2,+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢,?,观察下列各式,也许你能发现些什么,一般地,要在实数范围,内分解二次三项式,ax,2,+bx+c(ao),只要用公式法求出相应的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(ao),的,两个根,x,1,x,2,然后直接将,ax,2,+bx+c,写成,a(x-,x,1,)(x-,x,2,),就,可以了,.,即,ax,2,+bx+c= a(x-,x,1,)(x-,x,2,),.,开启 智慧,二次三项式,ax,2,+bx+c,的因式分解,问题：,1已知关于,x,的方程,m,取何值时:,（1）方程有两个不相等的实数根；,（2）方程有两个相等的实数根，并求出这两个等根；,（3）方程没有实数根.,问题：,2根据物理学规律，如果把一个物体从,地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过,x,s,物体离地面的高度（单位：m）为,你能根据上述规律求出物体经过多少,秒回到地面吗？,（课件：竖直上抛的物体）,配方法和公式法是解一元二次方程重要方法,要作为一种基本技能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.,结束寄语,解一元二次方程的方法,：,直接开平方法 配方法 公式法,因式分解法,实际问题与一元二次方程（一）,2018年10月11日,知识回顾,知识回顾,1.,列一元二次方程解应用题的一般步骤：,（,1,）,审,（,2,）,设,（,4,）,解,（,5,）,验,（,6,）,答,是指读懂题目，审清题意。,是指设未知数。,（,3,）,列,是指列方程。,是,指,解方程，求出求出未知数的值。,是,指,写出应用题的答案。,是指检验解是否是方程的解，是否符合题意。,这是最重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就能得到含有未知数的等式,-,方程,.,知识回顾,2,列方程解应用题应该注意：,（,1,）在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当的选择其中的一个，用字母 表示,然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知数用含 的代数式表示。,(2),“,审,”,的过程要在草稿纸上进行，书面格式中主要写,“,设,”“,列,”“,解,”“,答,”,四个步骤的解题过程，,“,验,”,不要求写详细过程，但必须进行，有不符合题意的解时，应及时舍去。,知识回顾,(3),列方程时，要注意方程两边为同一类量，并且单位要统一。,（,4,）,“,设,”,和,“,答,”,必须写清单位名称。,知识回顾,3.,一元二次方程应用题的主要类型：,（,1,）数字问题,（,2,）面积问题,（,3,）增长率问题,（,4,）商品营销问题,（,5,）其他问题,有关数字问题,解题秘籍,一、数字问题,例,1,有一个两位数，它的十位数字比个位数字小,2,，十位数字与个位数字的积的,3,倍刚好等于这个两位数，求这个两位数。,分析：十位数字=个位数字-2,3(个位数字,十位数字)=两位数,因为个位数字不能为分数，所以舍去。,点评：应用问题中常常有两个等量关系，一个用来“设”，另一个则用来“列”.,一个三位数，十位数字比个位数字大3，百位数字等于个位数字的平方。如果这个三位数比它的个位数字与十位数字的积的25倍大202，求这个三位数。,典型例题,例,2.,两个连续奇数的积是,899,，求这两个数,分析：本题考查用一元二次方程求解的数字问题，正确理解连续奇数的意义是解题关键,点评：因为在负数范围内也存在奇数，所以本题解出的值不能随意舍去,小明同学认为这里的-31不合题意，应舍去。你认为呢？,及时反馈,一个直角三角形的三边长是连续整数，求这三条边长。,三边满足勾股定理,彼此之间相差,1,有关面积问题,解题秘籍,二、面积问题,典型例题,例,3.,如图，某小区规划在一个长为,40,米，宽为,26,米的矩形场地,ABCD,上修建如下图所示的同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为,864,平方米，求小路的宽度？,及时反馈,如图，一块长方形铁皮的长是宽的,2,倍，四个角各截去一个正方形，制成高是,5,厘米，容积是,500,立方厘米的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽。,提示：本题,解决问题的关键是,长方体容器的高就是正方形的边长。,点评,:,本例未写出检验的结果，并不是没有检验，而是因为这两个结果都符合题意，如果把墙长改为,20,米，结果又会怎样呢？,变式1,（不合题意，舍去）,20,30,A,B,C,D,例,5,如图，有一块面积是,125,平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），另三边用长为,35,米的竹篱笆围成，求鸡场的长与宽。,点评：,解面积问题的应用题时，要,根据几何图形的性质以及它们之间的量的关系来列方程，因此画出符合题意的图形，有助于解题。,有关增长率的问题,解题秘籍,三、增长率问题,典型例题,例,6.,某钢铁厂去年,1,月某种钢的产量为,5000,吨，,3,月上升到,7200,吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？,商品营销问题,解题秘籍,四、商品营销问题,例,8.,某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出,20,件，每件盈利,40,元,.,为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施,.,经调查发现，如果每件衬衫每降价,1,元，商场平均每天可多售出,2,件,.,若商场平均每天盈利,1200,元，每件衬衫应降价多少元？,典型例题,典型例题,归纳小结,列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决,.,列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,。,小结,22.2 用函数观点看一元二次方程(二),2018年10月11日,二次函数y=ax,2,+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax,2,+bx+c=0的根有什么关系?,想一想,二次函数y=ax,2,+bx+c的图象和x轴交点,一元二次方程ax,2,+bx+c=0的根,一元二次方程ax,2,+bx+c=0根的判别式,=b,2,-4ac,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b,2,-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b,2,-4ac 2.3或x0,即x,2,+2x-100,所以不等式x,2,+2x-100的解集是,x2.3或x-4.3,当-4.3x2.3时，y0,即x,2,+2x-100,所以不等式x,2,+2x-100的解集是,-4.3x2.3,方程x,2,+2x-10=3的根是x,1,=-4.7,x,2,=2.7,对于二次函数y=x,2,+2x-10,当x=-4.7时，y=3,当x=2.7时，y=3,不等式x,2,+2x-100,(3)当-1x3时,y0;当x 取何值时，y0,抛物线y=ax,2,+bx+c的顶点在什么位置?,(1)方程ax,2,+bx+c=0有两个不等的实数根;,(2)方程ax,2,+bx+c=0有两个相等的实数根;,(3)方程ax,2,+bx+c=0没有实数根.,0,1,x,y,-1,顶点在x轴下方,下列情形时,如果a0,抛物线y=ax,2,+bx+c的顶点在什么位置?,(1)方程ax,2,+bx+c=0有两个不等的实数根;,(2)方程ax,2,+bx+c=0有两个相等的实数根;,(3)方程ax,2,+bx+c=0没有实数根.,0,1,x,y,-1,顶点在x轴下方,顶点在x轴,下列情形时,如果a0,抛物线y=ax,2,+bx+c的顶点在什么位置?,(1)方程ax,2,+bx+c=0有两个不等的实数根;,(2)方程ax,2,+bx+c=0有两个相等的实数根;,(3)方程ax,2,+bx+c=0没有实数根.,0,1,x,y,-1,顶点在x轴下方,顶点在x轴上方,顶点在x轴,a0,