Ch4_电路定理

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第4章,电路定理,(,Circuit Theorems,),1 叠加定理,(,Superposition Theorem,),2 戴维宁定理和诺顿定理,(,Thevenin-Norton Theorem,),3 最大功率传输定理,1,参考书,1、邱关源 编著，电路（第四版），高教出版社,2、张年凤 编著，电路基本理论 清华大学出版社、北京交大出版社,3、胡翔骏 编著，电路分析，高教出版社,2,科学家推荐,欧姆（Georg Simon Ohm）（1787-1854）德国物理学家，1826年由实验得出最基本的表述电压、电流、电阻三者之间关系的欧姆定律。,欧姆出生于德国巴伐利亚州的埃尔兰根，有艰辛的童年。欧姆一生从事电学研究，建立了著名的欧姆定律。1841年，伦敦皇家学院授予他Copley Medal奖。1849年，慕尼黑大学授予他物理学首席教授职位。电阻的单位以欧姆命名。,3,1,.,叠加定理,在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。,4.1 叠加定理 (,Superposition Theorem,),2 .定理的证明,G,1,i,s1,G,2,u,s2,G,3,u,s3,i,2,i,3,+,+,1,用结点法：,(G,2,+G,3,),u,n1,=,G,2,u,s2,+,G,3,u,s3,+,i,S1,4,R,1,i,s1,R,2,u,s2,R,3,u,s3,i,2,i,3,+,+,1,或表示为：,支路电流为：,5,结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，,均,可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。,结论,3. 几点说明,1.,叠加定理只适用于线性电路。,2.,一个电源作用，其余电源为零,电压源为零短路。,电流源为零开路。,R,1,i,s1,R,2,u,s2,R,3,u,s3,i,2,i,3,+,+,1,三个电源共同作用,R,1,i,s1,R,2,R,3,1,i,s,1,单独作用,=,6,+,u,s2,单独作用,u,s3,单独作用,+,R,1,R,2,u,s2,R,3,+,1,R,1,R,2,u,s3,R,3,+,1,3.,功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。,4.,u,i,叠加时要注意各分量的参考方向。,5.,含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于,独立源，受控源应始终保留。,7,4. 叠加定理的应用,例1,求电压,U.,8,12V,3A,+,6,3,2,+,U,8,3A,6,3,2,+,U,(2）,8,12V,+,6,3,2,+,U,(1),画出分电路图,12V,电源作用：,3A,电源作用：,解,8,例2,10V,2A,u,2,3,3,2,求电流源的电压和发出的功率,10V,U,（1）,2,3,3,2,2A,U,（2）,2,3,3,2,画出分电路图,为两个简单电路,10V电源作用：,2A电源作用：,9,例3,u,12V,2A,1,3,A,3,6,6V,计算电压,u。,画出分电路图,1,3A,3,6,u,（1）,12V,2A,1,3,6,6V,u,(2）,i,(2),说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。,3A电流源作用：,其余电源作用：,10,例4,计算电压,u,电流,i。,画出分电路图,u,（1）,10V,2,i,(1),1,2,i,（1）,u,10V,2,i,1,i,2,5A,u,(2),2,i,(2),1,i,(2),2,5A,受控源始终保留,10V电源作用：,5A电源作用：,11,例5,无源,线性,网络,u,S,i,i,S,封装好的电路如图，已知下列实验数据：,解,根据叠加定理，有：,代入实验数据，得：,研究激励和响应关系的实验方法,12,例6.,采用倒推法：设,i,=1A。,则,求电流,i,。,R,L,=2,R,1,=1,R,2,=1,u,s,=51V,+,2V,2A,+,3V,+,8V,+,21V,+,u,s,=34V,3A,8A,21A,5A,13A,i,R,1,R,1,R,1,R,2,R,L,+,u,s,R,2,R,2,i,=,1A,解,5. 齐性原理,（homogeneity property),13,齐性原理,线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。,当激励只有一个时，则响应与激励成正比。,可加性(additivity property)。,14,4. 2 替代定理 (,Substitution Theorem,),对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为,u,k,、电流为,i,k,，那么这条支路就可以用一个电压等于,u,k,的独立电压源，或者用一个电流等于,i,k,的 独立电流源，或用一,R=u,k,/i,k,的电阻,来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。,i,k,1.替代定理,支,路,k,i,k,+,u,k,+,u,k,i,k,+,u,k,R=u,k,/i,k,15,A,i,k,+,u,k,支,路,k,A,+,u,k,u,k,u,k,u,k,A,i,k,+,u,k,支,路,k,证毕!,2. 定理的证明,16,例,求图示电路的支路电压和电流。,i,3,10,5,5,110V,10,i,2,i,1,u,解,替代,i,3,10,5,5,110V,i,2,i,1,60,V,替代以后有：,替代后各支路电压和电流完全不变。,17,替代前后,KCL,KVL,关系相同，其余支路的,u,、,i,关系不变。用,u,k,替代后，其余支路电压不变,(KVL)，,其余支路电流也不变，故第,k,条支路,i,k,也不变,(KCL,)。用,i,k,替代后，其余支路电流不变,(KCL,)，其余支路电压不变，故第,k,条支路,u,k,也不变,(KVL),。,原因,注：,1.,替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。,3.,替代后其余支路及参数不能改变。,2.,替代后电路必须有唯一解,无电压源回路；,无电流源节点(含广义节点)。,1.5A,10V,5V,2,5,2.5A,1A,5V,+,？,？,18,例1,若要使,试求,R,x,。,3. 替代定理的应用,0.5,0.5,+,10,V,3,1,R,x,I,x,+,U,I,0.5,解,用替代：,=,+,0.5,0.5,1,+,U,I,0.5,0.5,0.5,1,+,U,I,0.5,0.5,0.5,1,+,U,0.5,19,U,=,U,+,U,=(0.8,-,0.6),I,x,=0.2,I,x,R,x,=,U,/,I,x,=0.2,I,x,/,I,x,=0.2,例2,试求,i,1,。,解,用替代：,6,5,+,7,V,3,6,I,1,+,1,2,+,6,V,3,V,4A,4,2,4,4A,7V,I,1,20,I,1,I,R,R,8,3,V,4,b,2,+,a,20,V,3,I,例3,已知:,u,ab,=,0,求电阻,R。,C,1A,解,用替代：,用结点法：,21,例4,2V,电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。,4,4,V,10,3A,2,+,2,V,2,10,解,0.5A,I,I,1,10,V,2,+,2,V,2,5,1,应求电流,I，,先化简电路。,应用结点法得：,22,例5,已知:,u,ab,=,0,求电阻,R。,解,用断路替代，得：,短路替代：,4,42,V,30,0.5A,60,25,10,20,40,b,a,d,c,R,1A,23,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,(Thevenin-Norton Theorem),工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,24,1. 戴维宁定理,任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压,u,oc,，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻,R,eq,）。,A,a,b,i,u,i,a,b,R,eq,U,oc,+,-,u,25,I,例,U,oc,a,b,+,R,eq,5,15V,-,+,(1) 求开路电压,U,oc,(2) 求等效电阻,R,eq,10,10,+,20V,+,U,0C,a,b,+,10V,1A,5,2A,+,U,0C,a,b,26,2.定理的证明,+,a,b,A,i,+,u,N,i,U,oc,+,u,N,a,b,+,R,eq,a,b,A,i,+,u,a,b,A,+,u,a,b,P,i,+,u,R,eq,则,替代,叠加,A中独立源置零,27,3.定理的应用,(1) 开路电压,U,oc,的计算,等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源,短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。,常用下列方法计算：,（2）等效电阻的计算,戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开,路电压,U,oc,，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算,U,oc,的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计,算。,28,2,3,方法更有一般性。,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和,Y,互换的方法计算等效电阻；,1,开路电压，短路电流法。,3,外加电源法（加压求流或加流求压）。,2,a,b,P,i,+,u,R,eq,a,b,P,i,+,u,R,eq,i,SC,U,oc,a,b,+,R,eq,29,(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,(2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。,注：,例1.,计算,R,x,分别为,1.2,、 5.2,时的,I,；,I,R,x,a,b,+,10V,4,6,6,4,解,保留,R,x,支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：,30,a,b,+,10V,4,6,6,+,U,2,4,+,U,1,I,R,x,I,a,b,U,oc,+,R,x,R,eq,(1) 求开路电压,U,oc,=,U,1,+,U,2,=,-,10,4/(4+6)+10 6/(4+6),=,-,4+6=2V,+,U,oc,_,(2) 求等效电阻,R,eq,R,eq,=4/6+6/4=4.8,(3),R,x,=1.2,时，,I,=,U,oc,/(,R,eq,+,R,x,) =0.333A,R,x,=5.2,时，,I,=,U,oc,/(,R,eq,+,R,x,) =0.2A,31,求,U,0,。,3,3,6,I,+,9V,+,U,0,a,b,+,6,I,例2.,U,oc,a,b,+,R,eq,3,U,0,-,+,解,(1) 求开路电压,U,oc,U,oc,=6,I,+3,I,I,=9/9=1A,U,oc,=9V,+,U,oc,(2) 求等效电阻,R,eq,方法1：加压求流,32,U,0,=6,I,+3,I,=9,I,I,=,I,0,6/(6+3)=(2/3),I,0,U,0,=9,(2/3),I,0,=6,I,0,R,eq,=,U,0,/,I,0,=6,3,6,I,+,U,a,b,+,6,I,I,0,方法2：开路电压、短路电流,(,U,oc,=9V),6,I,1,+3,I,=9,I,=,-,6,I,/3=,-,2,I,I,=0,I,sc,=,I,1,=9/6=1.5A,R,eq,=,U,oc,/,I,sc,=9/1.5=6,3,6,I,+,9V,I,sc,a,b,+,6,I,I,1,独立源置零,独立源保留,33,(3) 等效电路,a,b,U,oc,+,R,eq,3,U,0,-,+,6,9V,计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。,求负载,R,L,消耗的功率。,例3.,100,50,+,40V,R,L,a,b,+,50V,I,1,4I,1,50,5,解,(1) 求开路电压,U,oc,34,100,50,+,40V,a,b,I,1,4I,1,50,+,U,oc,100,50,+,40V,a,b,I,1,200,I,1,50,+,U,oc,+,(2) 求等效电阻,R,eq,用开路电压、短路电流法,I,sc,50,+,40V,a,b,I,sc,50,35,a,b,U,oc,+,R,eq,5,25,10V,50V,I,L,已知开关S,例4.,1,A,2A,2,V,4V,求开关,S,打向3，电压,U,等于多少,解,线性,含源,网络,A,V,5,U,+,S,1,3,2,1A,4V,36,任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。,4. 诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。,A,a,b,a,b,G,eq,(,R,eq,),I,sc,37,例1,求电流,I,。,12,V,2,10,+,24,V,a,b,4,I,+,(1) 求短路电流,I,sc,I,1,=12/2=6A,I,2,=(24+12)/10=3.6A,I,sc,=,-,I,1,-,I,2,=,-,3.6,-,6=,-,9.6A,解,I,sc,I,1,I,2,(2) 求等效电阻,R,eq,R,eq,=10/2=1.67,(3) 诺顿等效电路:,R,eq,2,10,a,b,应用分流公式,4,I,a,b,-9.6A,1.67,I,=2.83A,38,例2,求电压,U,。,3,6,+,24V,a,b,1A,3,+,U,6,6,6,(1) 求短路电流,I,sc,I,sc,解,本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。,(2) 求等效电阻,R,eq,R,eq,(3) 诺顿等效电路:,I,sc,a,b,1A,4,U,39,4.4 最大功率传输定理,一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。,A,i,+,u,负载,i,U,oc,+,u,+,R,eq,R,L,应用戴维宁定理,40,R,L,P,0,P,max,最大功率匹配条件,对,P,求导：,41,例,R,L,为何值时其上获得最大功率，并求最大功率,。,20,+,20V,a,b,2A,+,U,R,R,L,10,(1) 求开路电压,U,oc,(2) 求等效电阻,R,eq,U,oc,I,1,I,2,20,+,I,a,b,+,U,R,10,U,I,2,I,1,42,(3) 由最大功率传输定理得:,时其上可获得最大功率,注,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况,;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于,端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大,功率时,电路的传输效率并不一定是,50%;,计算最大功率问题结合应用戴维宁定理,或诺顿定理最方便,.,43,4. 5 互易定理 (,Reciprocity Theorem,),互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。,1. 互易定理,对一个仅含电阻的二端口电路,N,R,，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。,44,情况,1,i,2,线性电阻网络 N,R,+,u,S1,a,b,c,d,(a),激励,电压源,电流,响应,c,d,线性电阻网络 N,R,i,1,+,u,S2,a,b,(b),当,u,S1,=,u,S2,时，,i,2,=,i,1,则两个支路中电压电流有如下关系：,45,证明:,由特勒根定理：,即：,两式相减，得,46,将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:,即：,证毕！,i,2,线性电阻网络 N,R,+,u,S1,a,b,c,d,(a),c,d,线性电阻网络 N,R,i,1,+,u,S2,a,b,(b),47,情况,2,激励,电流源,电压,响应,u,2,线性电阻网络 N,R,+,i,S1,a,b,c,d,(a),c,d,线性电阻网络 N,R,u,1,+,i,S2,a,b,(b),则两个支路中电压电流有如下关系：,当,i,S1,=,i,S2,时，,u,2,=,u,1,48,情况,3,则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：,当,i,S1,=,u,S2,时，,i,2,=,u,1,激励,电流源,电压源,图b,图a,电流,响应,图b,图a,电压,i,2,线性电阻网络 N,R,i,S1,a,b,c,d,(a),c,d,线性电阻网络 N,R,u,1,+,u,S2,a,b,(b),+,49,(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。,(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；,(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都,关联，要么都非关联)；,(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意：,50,例1,求(a)图电流,I ，,(b)图电压,U。,解,利用互易定理,1,6,I,+,12V,2,(a),4,(b),1,2,4,+,U,6,6A,I,12V,+,U,6A,51,例2,2,1,2,4,+,8V,2,I,a,b,c,d,求电流,I,。,解,利用互易定理,I,1,=,I,2/(4+2)=2/3A,I,2,=,I,2/(1+2)=4/3A,I,=,I,1,-,I,2,=,-,2/3A,2,1,2,4,+,8V,2,I,a,b,c,d,I,1,I,2,I,52,例3,测得a图中,U,1,10V，,U,2,5V，求b图中的电流,I,。,解1,(1) 利用互易定理知c 图的,u,1,+,u,2,线性电阻网络 N,R,+,2A,a,b,c,d,(a),c,d,线性电阻网络 N,R,2A,a,b,(b),+,5,I,c,d,线性电阻网络 N,R,2A,a,b,(c),+,+,53,c,d,线性电阻网络 N,R,R,eq,a,b,(d),5,5,+,5V,a,b,I,(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：,戴维宁等效电路,解2,应用特勒根定理：,54,例4,问图示电路,与,取何关系时电路具有互易性。,解,在a-b端口加电流源，解得：,1,3,1,+,U,I,a,b,c,d,I,+,U,I,S,I,S,1,3,1,+,U,I,a,b,c,d,I,+,U,在c-d端口加电流源，解得：,55,如要电路具有互易性，则：,一般有受控源的电路不具有互易性。,56,定理的综合应用,例1,图示线性电路，,当,A,支路中的电阻,R,0,时，测得,B,支路电压,U,=,U,1,当,R,时，,U,U,2,已知,ab,端口的等效电阻为,R,A,，求,R,为任意值时的电压,U。,线性,有源,网络,U,+,R,R,A,a,b,A,B,57,解,线性,有源,网络,U,+,R,R,A,a,b,A,B,（2）应用替代定理：,I,（1）应用戴维宁定理：,R,a,b,I,+,U,oc,R,A,（3）应用叠加定理：,解得：,58,例2,图a为线性电路，,N为相同的,电阻网络,对称连接,测得电流,i,1,=,I,1,i,2,I,2, 求b图中的,i,1,N,N,U,S,i,2,i,1,b,a,+,-,(a),N,U,S,i,1,b,a,+,-,(b),解,对图(c)应用叠加和互易定理,N,N,U,S,i”,1,b,a,+,-,(c),U,S,+,-,59,对图(c)应用戴维宁定理,N,N,U,S,i”,1,b,a,+,-,(c),U,S,+,-,U,oc,i=,0,b,a,+,-,U,oc,+,-,R,R,=i,1,60,3,6,I,+,9V,+,U,oc,a,b,+,6,I,61,