材料力学第五章 梁弯曲时的位移

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,梁弯曲时的位移,梁的位移,挠度及转角,梁的挠曲线近似微分方程及其,积分,按,叠加原理,计算,梁的挠度和转角,奇异函数,梁挠曲线的初参数方程,梁的刚度校核,提高,梁的刚度的措施,梁内的弯曲应变能,当梁发生对称弯曲时，梁的轴线在,纵向对称平面,内弯成一条平面曲线。,5-1,梁的位移,挠度和转角,光滑连续曲线,线位移,角位移,梁的,位移,挠度,w,转角,q,挠曲线,w,=,f,(,x,),小变形情况下：,f,=,tan,q,q,挠曲线方程,（,挠度方程,）,q,=,f,(,x,),转角方程,图示坐标下：,w,向下,为,正,，,q,顺时针,转为,正,。,高等数学：,梁中性层的曲率：,5-2,梁的挠曲线近似微分方程,及其积分,1,r,(,x,),M,(,x,),E,I,z,=,1,r,(,x,),w,（,1,w,）,2,3/2,M,0,，,w,0,M,0,，,w,0,=,M,(,x,),E,I,z,w,（,1,w,）,2,3/2,取负号,!,挠曲线微分方程,挠曲线,近似,微分方程,小变形,=,M,(,x,),E,I,z,w,（,1,w,）,2,3/2,w,（,1,w,）,2,3/2,=,M,(,x,),E,I,z,w,=,M,(,x,),E,I,z,等直梁：,E,I,w,M,(,x,),E,I,为常量,积分常数,由,边界条件,、,连续条件,确定,积分法,w,A,0,w,B,0,w,A,0,q,A,0,挠曲线上某些点的,已知位移,（挠度和转角）条件,边界条件,边界条件,支座处的,约束条件,挠曲线的任意点上，有,唯一确定,的挠度和转角,连续条件,当弯矩方程需要,分段,建立时，在相邻梁段的,交接处,，应具有,相同的,挠度和转角。,错！,错！,约束条件,连续条件,边界条件,本教材中,例,1,：悬臂梁在自由端受集中力,F,作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度。设梁的弯曲刚度为,EI,。,P,160,例,5,-,1,积分,x,=,0,时：,边界条件,例,2,：简支梁在,D,点受集中力,F,作用，试求梁的转角方程和挠度方程，并求最大挠度。设梁的弯曲刚度为,EI,。,P,162,例,5,-,3,F,A,F,B,x,x,AD,段（,0,x,a,）：,DB,段（,a,x,l,）：,AD,段（,0,x,a,）：,DB,段（,a,x,l,）：,x,=,a,时：,连续条件,x,=,l,时：,x,=,0,时：,边界条件,确定,积分常数,AD,段（,0,x,a,）：,DB,段（,a,x,l,）：,可以证明,：当,a,b,时，梁最大挠度发生在,AD,段。,而,对于受任意荷载的,简支梁,，若挠曲线上,无拐点,，则可用,梁中点,的挠度代替最大挠度。,w,C,与,w,max,非常接近，最大误差,2.65,。,例,3,：悬臂梁如图，已知,F,、,a,，,M,0.5,Fa,，,梁的弯曲刚度,EI,为常数，试画出挠曲线的大致形状。,A,B,C,D,a,a,a,F,M,A,B,C,D,a,a,a,F,M,x,y,M,图,0.5,Fa,0.5,Fa,H,M,0,，挠曲线,上凸,；,M,0,，挠曲线,下凸,；,H,为挠曲线的,拐点,；,M,0,，挠曲线为,直线,。,例,4,：已知一直梁的挠曲线方程为,试求：, 端点（,x,0,及,x,l,）,的约束情况；, 画弯矩图、剪力图；, 荷载情况，并画出梁的简图。,反问题,正问题,固定铰支座,活动铰支座,固定端,活动铰支座,抛物线,直线,F,S,图（,q,0,l,）,3,8,5,8,M,图（,q,0,l,2,）,1,8,9,128,q,0,1,8,q,0,l,2,F,S,图（,q,0,l,）,3,8,5,8,1,8,9,128,q,0,静定梁（简支梁）,超静定梁,静定梁 ？,当某一,参数,（如内力、应力、位移等）与荷载,成线性关系,时，,叠加原理,5-3,按叠加原理计算梁的,挠度和转角,多个,荷载作用下引起的参数等于各个荷载,单独,作用下所引起的参数的,叠加,。,积分法,挠度和转角的,普遍方程,梁上荷载复杂时，须分段建立弯矩方程，积分常数成倍增长，确定积分常数十分烦琐。,叠加法、奇异函数法（初参数法）、能量法等,P,372,附录,求,w,C,、,q,A,+,w,C,(,q,),、,q,A,(,q,),拆 分,w,C,(,F,),、,q,A,(,F,),+,叠 加,0.5,l,A,B,q,w,B,(,q,),、,q,B,(,q,),B,C,0.5,l,+,拆 分,求,w,C,、,q,C,变形位移,w,B,(,q,),q,B,(,q,),0.5,l,0.5,l,0.5,l,A,B,C,q,q,B,(,q,),刚体位移,叠加法,不仅可将,荷载,拆开，进行,上,、,下,叠加；,还可将,梁,拆开，进行,左,、,右,叠加。,注意：, 拆分时不能改变梁的,受力,情况；, 叠加时不能改变梁的,变形,情况。,例：外伸梁受力如图，已知,F,、,q,、,a,，,试用叠加法求梁自由端,C,的挠度。设梁的弯曲刚度为,EI,。,2,a,a,A,B,C,q,F,2,a,A,B,q,a,F,B,C,F,M,+,拆 分,w,C,(,F,),q,B,a,q,B,=,q,B,(,q,),+,q,B,(,M,),w,C,(,F,),2,a,a,A,B,C,q,F,刚度条件,一、,梁的刚度,校核,5-5,梁的刚度校核,提高梁的刚度的措施,普通机床主轴：,屋,梁和楼板梁：,吊车,梁：,钢闸门主,梁：,例：简支梁横截面由两个槽钢组成，受力如图。已知,F,1,=120,kN,、,F,2,=30,kN,、,F,3,=40,kN,、,F,4,=12,kN,；钢,s,=170,MPa,，,t,=100,MPa,；,E,=2.110,5,MPa,；,梁,w,/,l,=,1,/,400,。试,选择槽钢的型号,。,P,173,例,5-8,S,F,A,F,B,F,Smax,138,kN,M,max,62.4,kNm,画内力图,按,正应力强度条件,选择槽钢型号,查型钢表,(P,370,),要,校核,正应力强度条件,相对误差为,3,5,，,满足,正应力强度条件,。,，选用,两个,20a,号槽钢。,校核,切应力,强度条件,切应力,强度条件,满足,查型钢表（,20a,号槽钢）：,校核,刚,度,刚,度条件,满足,选用两个,20a,号槽钢,b,i,为,F,i,离支座最近的距离,C,二、,提高,梁的刚度,的措施,梁的位移除与梁的,支承,和,荷载,情况有关外，还与下列因素有关：,材料,与弹性模量,E,成,反比,截面,与惯性矩,I,成,反比,跨长,与跨长,l,的,n,次幂成,正比,增大,梁的弯曲刚度,EI,调整,跨长和改变结构,F,q,q,A,B,q,A,B,缩短跨长,增加约束,超静定结构,O,q,M,e, 纯弯曲,5-6,梁内的弯曲应变能, 横力弯曲,应变能,弯曲应变能（弯曲变形）,剪切应变能（剪切变形）,可略去不计,S,S,l,A,B,F,例：悬臂梁长为,l,，弯曲刚度为,EI,，受集中力,F,作用。,试求梁的应变能，并利用功能原理求,A,端的挠度。,P,178,例,5-9,l,A,B,F,x,横力弯曲,w,A,应变能,外力作功,5,6,；,5,12,、,23,；,5,24,。,作业：,