ch-6-2两类换元积分法和分部积分法

,数学分析,第二节,换元积分法和分部积分法,二,、,分部积分法,重点：换元法和,分部积分法的应用,难点,：换元法的应用要点与,灵活性,分部积分法,的应用,要点,一,、换元积分法,1,问题,？,解决方法,利用,复合函数,，设置中间变量,.,过程,令,一、换元积分法,1,、第一类换元法,2,在一般情况下：,设,则,如果,（可微）,由此可得换元法定理,3,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,定理,1,关键,找出合适的函数,f,和,4,例,1,求,解,（一）,解,（二）,解,（三）,方法,:,凑系数 ；三角恒等式,.,5,例,2,求,解,一般,地，,方法,:,凑系数,.,6,例,3,求,解,练习 求,(1),(2),7,例,4,求,解,方法,:,直接凑,.,8,例,5,求,解,方法,:,直接凑,.,9,练习,求,10,例,6,求,解,方法,:,添平衡项,.,11,例,7,求,解,方法,:,配方后用积分公式,.,12,例,8,求,原式,解,方法,:,有理化,.,13,例,9,求,解,(,一,),方法,:,三角函数恒等式变形,.,解,（二）,14,例,10,求,解,15,例,11,求,解,结论,:,当被积函数是三角函数正弦或余弦的多项式时，奇次直接凑微分,;,偶次降次,.,16,例,12,求,解,17,例,13,求,解,18,例,14,求,解,（一）,（应用三角函数恒等变形）,19,解,(,二,),类似地可推出,20,解,例,15,设 求,.,令,21,练 习,解,22,作,业,P246,:,1,(,书上，不交,),.,P259: 1, 2(3,4,5,6,19,20) .,23,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法,.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,2,、第二类换元法,24,证,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理,2,25,第二类积分换元公式,26,例,16,求,解,令,27,例,17,求,解,令,28,例,18,求,解,令,29,说明（,1,）,以上几例所使用的均为,三角代换,.,三角代换的,目的,是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,30,说明,(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用,双曲代换,.,也可以化掉根式,例,中,令,31,说明,(3),当分母的阶较高时,可采用,倒代换,例,19,求,令,解,练习：试用拆项的方法求此积分,32,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（倒代换或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,.,说明,(4),例,20,求,（三角代换很繁琐）,令,解,33,基本积分表,(2),3,、基本积分表,34,4,、两类换元法的比较,两类积分换元法,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表,(2),两类积分换元法比较,相同,: (1),引入新积分变量,; (2),复合函数求导,不同,变量类型,代换方式,第一类,中间变量,直接代入,第二类,自变量,求反函数后再代,思考题,求积分,36,思考题解答,37,练习,求,解,令,38,问题,解决思路,利用两个函数,乘积的求导法则,.,分部积分公式,三,、分部积分公式,39,问题：,u,v,如何选择？,分部积分公式,例,求积分,若,令,显然，,选择不当,，积分更难进行,.,40,例,1,求积分,解,令,41,例,2,求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正,(,余,),弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次,(,假定幂指数是正整数,),42,例,3,求积分,解,令,#,43,例,4,求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,u,.,#,44,例,5,求积分,解,注意循环形式,45,例,6,求积分,解,46,课堂练习：,求积分,#1.,#2.,47,例,7,求积分,解,48,49,解法,例,9,求,下面求法同例,2,50,解,两边同时对 求导,得,例,10,51,解,52,扩展,用与课上不同的方法求积分,53,3,求积分,解,54,令,55,作,业,P260:,2(1,2,7-18), 3(,单数,),4, 6, 7, 8(4).,56,