补偿需求函数

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1,第,5,讲,收入效应和替代效应,2,需求函数,x,1,x,2,x,n,的最优水平可以表示为所有商品价格和收入的函数。,可以表示为,n,个这种形式的需求函数,:,x,1,* =,d,1,(,p,1,p,2,p,n,I,),x,2,* =,d,2,(,p,1,p,2,p,n,I,),x,n,* =,d,n,(,p,1,p,2,p,n,I,),3,需求函数,如果仅仅存在两种商品,(,x,和,y,),我们可以简化表达式,x,* =,x,(,p,x,p,y,I,),y,* =,y,(,p,x,p,y,I,),价格和收入是外生的,消费者无法控制这些参数,4,齐次性,如果我们将价格和收入同时增加一倍,最优需求数量不会改变,预算约束没有变,x,i,* =,d,i,(,p,1,p,2,p,n,I,) =,d,i,(,tp,1,tp,2,tp,n,t,I,),单个消费者的需求函数对于所有价格和收入是,零次齐次的,5,齐次性,考虑柯布道格拉斯效用函数,效用,=,U,(,x,y,) =,x,0.3,y,0.7,需求函数是,可以观察到价格和收入全部翻番不会影响,x,*,和,y,*,6,齐次性,考虑,CES,效用函数,效用,=,U,(,x,y,) =,x,0.5,+,y,0.5,需求函数是,可以观察到价格和收入全部翻番不会影响,x,*,和,y,*,7,收入变化,收入增加会引起预算约束线向外平移。,因为,p,x,/,p,y,没有改变,当消费者获得更高满足水平的时候,MRS,保持不变。,8,收入增加,如果随着收入的增加，,x,和,y,的消费量增加,x,和,y,为,正常,商品,x,的数量,y,的数量,C,U,3,B,U,2,A,U,1,随着收入增加,消费者选择消费更多的,x,和,y,9,收入增加,如果随着收入增加，,x,的消费量下降，,x,为,劣等,品,x,的数量,y,的数量,C,U,3,随着收入上升，消费者选择消费更少的,x,和更多的,y,。,注意，无差异曲线没有展示,“,奇怪的” 形状。递减的,MRS,仍然成立。,B,U,2,A,U,1,10,正常和劣等品,在某个收入区间，商品,x,i,满足,x,i,/,I, 0,，这种商品是在这个区间的,正常,品。,在某个收入区间，商品,x,i,满足,x,i,/,I, 0,总收入效应是负的,如果,x,是劣等品,那么,x,/,I, 0,总收入效应是正的,51,斯卢茨基分解,我们可以利用柯布,道格拉斯效用函数来说明价格效应的分解,商品,x,的马歇尔需求函数是,52,斯卢茨基分解,商品,x,的希克斯,(,补偿,),需求函数,价格变化对于,x,需求的总效应是,s,53,斯卢茨基分解,总效应是斯卢茨基识别的两种效应的总和,通过对补偿需求函数求导可以获得替代效应,54,斯卢茨基分解,我们可以带入间接效用函数,(,V,),55,斯卢茨基分解,收入效应的计算比较容易,有趣的是,替代效应和收入效应相同,56,马歇尔需求弹性,大多数经常使用的需求弹性来自于马歇尔需求函数,x,(,p,x,p,y,I,),需求的价格弹性,(,e,x,px,),57,马歇尔需求弹性,需求的收入弹性,(,e,x,I,),需求的交叉价格弹性,(,e,x,py,),58,需求的价格弹性,需求的自身价格弹性总是负的,唯一的例外是吉芬悖论,弹性的大小很重要,如果,e,x,px, -1,需求无弹性,如果,e,x,px,= -1,需求就有单位弹性,59,价格弹性和总支出,在商品,x,上的总支出等于,总支出,=,p,x,x,利用弹性,我们可以确定商品,x,价格发生变化之后，总支出怎么变化,60,价格弹性和总支出,这个导数的符号取决于,e,x,px,大于还是小于,-1,如果,e,x,px, -1,需求缺乏弹性，价格和总支出变化方向相同,如果,e,x,px, -1,需求富有弹性，价格和总支出变化方向相反,61,补偿价格弹性,基于补偿需求函数定义弹性有时候也是有用的,62,补偿价格弹性,如果补偿需求函数是,x,c,=,x,c,(,p,x,p,y,U,),我们可以计算,补偿需求的自身价格弹性,(,e,x,c,px,),补偿需求的交叉价格弹性,(,e,x,c,py,),63,补偿价格弹性,补偿需求的自身价格弹性,(,e,x,c,px,),是,补偿需求的交叉价格弹性,(,e,x,c,py,),是,64,补偿价格弹性,马歇尔价格弹性和补偿价格弹性之间的关系可以利用斯卢茨基方程来说明,如果,s,x,=,p,x,x,/,I,那么,65,补偿价格弹性,斯卢茨基方程表明补偿的和未补偿的价格弹性将会很接近，如果,投入到,x,的收入份额很小,x,的收入弹性很小,66,齐次,需求函数对于所有价格和收入是零次齐次的,齐次函数的欧拉定理表明,67,齐次,两边同时除以,x,得到,所有价格和收入的任意比例变化不改变,x,的需求数量,68,恩格尔加总,通过将预算约束对收入（将价格看作常数）微分，我们可以看到,69,恩格尔加总,恩格尔定律表明食品的需求收入弹性小于,1,这意味着所有非食品的需求收入弹性必须大于,1,70,古诺加总,因为预算约束的存在，商品,x,价格变化对于商品,y,消费量的交叉价格效应受到限制,为了看到这一点，我们可以将预算约束对,p,x,微分,71,古诺加总,72,需求弹性,柯布道格拉斯效用函数,U,(,x,y,) =,x,y,(+=1),x,和,y,的需求函数,73,需求弹性,计算弹性,74,需求弹性,我们可以看到,齐次性,恩格尔加总,古诺加总,75,需求弹性,我们也可以利用斯卢茨基方程获得补偿价格弹性,补偿价格弹性取决于其他商品,(,y,),在效用函数中有多重要,76,需求弹性,CES,效用函数,(,其中,= 2, = 5),U,(,x,y,) =,x,0.5,+,y,0.5,x,和,y,的需求函数,77,需求弹性,我们利用 “份额弹性,”,来获得自身价格弹性,在这个例子中,78,需求弹性,因此,份额弹性为,所以,如果我们令,p,x,=,p,y,79,需求弹性,CES,效用函数,(,其中,= 0.5, = -1),U,(,x,y,) = -,x,-1,-,y,-1,商品,x,的份额,80,需求弹性,因此,份额弹性为,如果我们再一次令,p,x,=,p,y,81,消费者福利,福利经济学中一个重要问题是找到当价格变化后消费者福利变化的货币测量,82,消费者福利,评价价格上升,(,从,p,x,0,到,p,x,1,),福利成本的一种方法是比较在两种情况下获得效用,U,0,所需要的花费,p,x,0,的花费,=,E,0,=,E,(,p,x,0,p,y,U,0,),p,x,1,的花费,=,E,1,=,E,(,p,x,1,p,y,U,0,),83,消费者福利,为了补偿价格上升,消费者要求一个,补偿变化,(,CV,),CV,=,E,(,p,x,1,p,y,U,0,) -,E,(,p,x,0,p,y,U,0,),84,消费者福利,x,的数量,y,的数量,U,1,A,假定消费者在,A,点获得最大效用,U,2,B,如果商品,x,的价格上升,消费者,会在,B,点获得最大效用,消费者的效用从,U,1,下降到,U,2,85,消费者福利,x,的数量,y,的数量,U,1,A,U,2,B,CV,就是需要补偿的数量,可以补偿消费者，使得其还可以获得效用,U,1,C,86,消费者福利,支出函数对于,p,x,的导数就是补偿需求函数,87,消费者福利,CV,的数量等于从,p,x,0,到,p,x,1,的积分,这个积分是补偿需求曲线从,p,x,0,到,p,x,1,的面积,88,福利损失,消费者福利,x,的数量,p,x,x,c,(p,x,U,0,),p,x,1,x,1,p,x,0,x,0,当价格从,p,x,0,上升到,p,x,1,消费者遭受福利损失,89,消费者福利,因为一般来说价格变化包含收入效应和替代效应,所以采用哪条补偿需求曲线不是很清楚,我们利用来自原效用,(,U,0,),的补偿需求曲线还是价格变化后新效用,(,U,1,),的补偿需求曲线,?,90,消费者剩余概念,思考这个问题的另外一种方式是考虑消费者愿意付多少钱来获得在,p,x,0,交易的权利,91,消费者剩余概念,补偿需求曲线之下，市场价格之上的面积称为,消费者剩余,消费者在当前的市场价格下交易所获得的额外好处,92,消费者福利,x,的数量,p,x,x,c,(.,U,0,),p,x,1,x,1,当价格从,p,x,0,上升到,p,x,1,市场的,真实,反应是从,A,移动到,C,x,c,(.,U,1,),x,(,p,x,),A,C,p,x,0,x,0,消费者的效用从,U,0,降到,U,1,93,消费者福利,x,的数量,p,x,x,c,(.,U,0,),p,x,1,x,1,区域,p,x,1,BAp,x,0,利用,x,c,(.,U,0,),还是,p,x,1,CDp,x,0,利用,x,c,(.,U,1,),最好地描述了消费者的福利损失,?,x,c,(.,U,1,),A,B,C,D,p,x,0,x,0,U,0,还是,U,1,是合适的效用目标,?,94,消费者福利,x,的数量,p,x,x,c,(.,U,0,),p,x,1,x,1,我们可以利用马歇尔需求曲线作为一个折衷,x,c,(.,U,1,),x(p,x,),A,B,C,D,p,x,0,x,0,区域,p,x,1,CAp,x,0,的面积介于,x,c,(.,U,0,),和,x,c,(.,U,1,),定义的福利损失之间,95,消费者剩余,我们将把,消费者剩余,定义为马歇尔需求以下，价格以上的部分,表示了消费者愿意为获得在这个价格上进行交易的权利支付多少,消费者剩余的变化测量了价格变化的福利效果,96,价格上升的福利损失,假定的,x,补偿需求函数是,价格从,p,x,= 1,上升到,p,x,= 4,的福利损失是,97,价格上升的福利损失,如果我们假定,V,= 2,，,p,y,= 2,CV,= 2,22(,4),0.5, 2,22(,1),0.5,= 8,如果我们假定效用水平,(,V,),在价格上升后下降到,1 (,并且利用这个福利水平计算福利损失,),CV,= 1,22(,4),0.5, 1,22(,1),0.5,= 4,98,价格上升的福利损失,假定我们利用马歇尔需求函数,价格从,p,x,= 1,上升到,p,x,= 4,的福利损失是,99,价格上升的福利损失,如果收入,(,I,),等于,8,损失,=,4,ln(4),-,4,ln(1),=,4,ln(4),=,4(1.39),=,5.55,利用马歇尔需求函数计算的损失介于利用补偿需求函数计算的两个损失量,100,显示偏好和替代效应,显示偏好理论由保罗,萨缪而森在,1940s,末期提出,这个理论利用观察到的行为定义了理性的原理，并用这个原理近似效用函数,101,显示偏好和替代效应,考虑两个商品束,:,A,和,B,如果消费者能够负担这两个商品束，但是选择了,A,我们说,A,显示偏好,于,B,在任何一个价格收入条件下,B,不能显示偏好于,A,102,显示偏好和替代效应,x,的数量,y,的数量,A,I,1,假定,当预算约束为,I,1,选择,A,B,I,3,当收入是,I,3,的时候，,A,还应该偏好于,B,，,(,因为,A,和,B,都是可以负担的,),I,2,如果选择,B,预算约束一定类似于,I,2,，,此时无法负担,A,103,替代效应为负,假定消费者在两个商品束之间无差异,:,C,和,D,令,p,x,C,p,y,C,为选择消费束,C,时候的商品价格,令,p,x,D,p,y,D,为选择消费束,D,时候的商品价格,104,替代效应为负,因为消费者在,C,和,D,之间无差异,当选择,C,的时候,D,的花费至少和,C,一样多,p,x,C,x,C,+,p,y,C,y,C,p,x,C,x,D,+,p,y,C,y,D,当选择,D,的时候,C,的花费至少和,D,一样多,p,x,D,x,D,+,p,y,D,y,D,p,x,D,x,C,+,p,y,D,y,C,105,替代效应为负,移项,得到,p,x,C,(x,C,-,x,D,) +,p,y,C,(y,C,-,y,D,), 0,p,x,D,(x,D,-,x,C,) +,p,y,D,(y,D,-,y,C,) 0,两式相加,(,p,x,C,p,x,D,)(x,C,-,x,D,) + (,p,y,C,p,y,D,)(y,C,-,y,D,) 0,106,替代效应为负,假定仅仅有商品,x,的价格变化,(,p,y,C,=,p,y,D,),(,p,x,C,p,x,D,)(x,C,-,x,D,), 0,这意味着当效用水平不变的时候价格和数量运动方向相反,替代效应为负,107,数学推广,如果,在价格,p,i,0,选择商品束,x,i,0,而不是,x,i,1,(,此时，可以负担,x,i,1,),那么,消费束,0,“,显示偏好” 于消费束,1,108,数学推广,因此,在消费者选择消费束,1,的价格,(,p,i,1,),有,消费束,0,一定贵于消费束,1,109,显示偏好强公理,如果商品束,0,显示偏好于商品束,1,并且如果商品束,1,显示偏好于商品束,2,并且商品束,2,显示偏好于商品束,3,并且如果商品束,K-1,显示偏好于商品束,K,那么商品束,K,不能,显示偏好于商品束,0,110,要点回顾,:,所有价格和收入等比例变化不改变消费者预算约束，因此不改变最优消费量,需求函数是所有价格和收入的零次齐次函数,111,要点回顾,:,当购买力变化后,(,收入改变但是价格不变,),预算约束线平移,对于正常品,收入增加意味着消费量增加,对于劣等品,收入增加意味着消费量减少,112,要点回顾,:,商品价格下降引起替代效应和收入效应,对于正常品,两种效应都引起消费量增加,对于劣等品,替代效应和收入效应作用方向相反,不能做出清晰的预测,113,要点回顾,:,商品价格上升也引起替代效应和收入效应,对于正常品,需求量降低,对于劣等品,净效应是模糊的,114,要点回顾,:,马歇尔需求曲线概括了在任意价格下一种商品的总需求数量,价格变化沿着需求曲线运动,收入、其他商品价格或者偏好变化，引起需求曲线移动,115,要点回顾,:,补偿需求曲线说明了沿着一条效用曲线对于不同价格的反应,维持效用不变，仅仅体现了价格变化的替代效应,斜率一定是负的,(,或者是零,),116,要点回顾,:,在实证工作中，经常利用需求弹性说明消费者如何对价格和收入变化做出反应,最重要的是需求的价格弹性,测量了价格变化,1,个百分点，需求数量变化几个百分点,117,要点回顾,:,需求弹性之间存在很多关系,自身价格弹性决定了价格变化如何影响一种商品的总支出,替代效应和收入效应可以利用斯卢茨基方程概括,在弹性中存在各种加总结果,118,要点回顾,:,价格变化的福利影响利用补偿需求曲线或者马歇尔需求曲线下面积衡量,价格变化影响了消费者进行市场交易获得的福利,119,要点回顾,:,替代效应为负是需求理论最基本的发现之一,这个结果可以利用显示偏好理论说明，不需要假定存在效用函数,