小波变换的定义

单击此处编辑母版标题样式,*,第9章 小波变换基础,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.1 小波变换的定义,小波变换的定义,给定一个基本函数，令,(9.1.1),若,a,b,不断地变化，我们可得 到一族函数 。给定平,方可积的信号 ，,即,则小,x(t,),的小波变换（,Wavelet Transform,，,WT,）：,（,9.1.2,）,1,信号 的小波变换 是,a,和,b,的函数，,b,是时移，,a,是尺度因子。,又称为基本小波，或母小波。,是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。,式中,b,的作用是确定对,x(t,),分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子,a,的作用是把基本小波,作伸缩。,式中的因子 是为了保证在不同的尺度时，始终能和 母函数有着相同的能量，即,2,令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：,（,9.1.3,）,由,Parsevals,定理，（,9.1.2,）式可重新表为：,（,9.1.4,）,此式即为小波变换的频域表达式,。,3,9.2 小波变换的特点,小波变换的恒Q性,由小波变换的两个定义可以看出，如果 在,时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证,在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位,功能，也即 反映的是 在b附近的性质；,若 具有带通性质，即 围绕着中心频率,是有限支撑的，那么 和 作内积后也将,反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定,位性质。,4,若 的时间中心是,时宽是 ， 的频率中心,是,带宽是 ，那么 的时间中心仍是 ，但时,宽变成 ， 的频谱 的频率中心变为,带宽变成 。这样,的时宽带宽积仍是,与,a,无关。,定义：,为小波 的品质因数，对 ，其,=带宽/中心频率,带宽/中心频率,5,6,不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系,图9.2.2,a,取不同值时小波变换对信号分析的时频区间,7,由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图9.2.2,中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由,此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，,该分析窗口在高频端（图中 处）的频率分辨率不好（矩,形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边,变短）；反之，在低频端（图中 处），频率分辨率变,好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图9.2.2中分析,窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要,作出调整。,小波变换的时域及频率分辨率,8,信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对,这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成,份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，,时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是,信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的,分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中,心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自,动满足这些客观实际的需要。,9,用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高,频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低,频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观,察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分,析时的规律，也符合人们的视觉特点。,10,小波变换和其它信号分析方法的区别,傅里叶变换,傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频,域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时,域所对应的范围是,-,，完全不具备定位功能。,这是,FT,的一个严重的缺点。,第9章 小波变换的基础,11,短时傅里叶变换,重写（,2.1.1,）式，即,(9.2.6),STFT,不具备恒,Q,性质，当然也不具备随着分辨率,变化而自动调节分析带宽的能力，如图,9.2.3,所示,。,12,图9.2.3 STFT的时频分析区间,13,定义,(9.2.7),为信号的“尺度图（scalogram）”。它也是一种能量,分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单,的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应,高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种,时频分布。,14,综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调,节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此,被人们称为信号分析的“数学显微镜”。小波变换是,八十年代后期发展起来的应用数学分支。,15,9.3 连续小波变换的计算性质,时移性质,若 的,CWT,是,那么 的,CWT,是 。记 ，,(9.3.1),16,尺度转换性质,如果,x(t,),的,CWT,是 ，令 ，则,(9.3.2),证明,:,令,则,该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在,a,和,b,两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不,变。这是小波变换优点的又一体现。,17,微分性质,如果,x(t,),的,CWT,是 ，令 ，,则,（,9.3.3,）,证明：,由移位性质有：,即,18,两个信号卷积的,CWT,如果,x(t),h(t,),的,CWT,分别是 及,令,则,（,9.3.4),式中符号 表示对变量,b,作卷积。,19,两个信号和的,CWT,令 的,CWT,分别是 ，,且 ，则,（,9.3.5a,）,同理，如果 ，则,（,9.3.5b,）,即两个信号和的,CWT,等于各自,CWT,的和，也即小波变换满足,叠加原理。,20,小波变换式所定义的CWT是“线性”变换，而WVD表,达式Wigner分布为代表的一类时频分布为“双线性,变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对,比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅,平方，即（9.2.7）式的尺度图则是信号能量的一种,分布。将 代入(9.2.7)式，可得：,(9.3.6),式中 分别是 和 的幅角。,21,上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该,交叉项的行为和WVD中的交叉项稍有不同。WVD的交叉,项位于两个自项的中间，即位于 处，,分别是两个自项的时频中心。尺度图中的交叉项出,现在 和 同时不为零的区域，也即是真,正相互交叠的区域中，这和WVD有着明显的区别。,WVD和WT之间的关系 ：,（9.3.7）,22,小波变换的内积定理,定理,9.1,设 和 ， 的小,波变换分别是 和 ，则,（,9.3.8,）,式中,（,9.3.9,）,23,（9.3.8）式实际上可看作是小波变换的Parseval,定理。该式又可写成更简单的形式,即,(9.3.10),进一步，如果令 ，由（9.3.8）式，有,(9.3.11),傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域,中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以的存在 为条件。,24,9.4小波反变换及小波容许条件,连续小波反变换的公式及反变换存在的条件,定理,9.2,设 ，记 ， 为的,傅里叶变换，若,则 可由其小波变换 来恢复，即,(9.4.1),25,证明：设 ， ,则,将它们分别代入（9.3.8）式的两边，再令 ，于,是,于是定理得证。,在定理9.1和定理9.2中，结论的成立都是以0的范围内任意取值时，这,时的小波变换即是连续小波变换。,用数值积分的方法计算（9.1.2）式，即，令,(9.7.1),62,由于在 的区间内， ，所以上式,又可写为：,(9.7.2),由该式可以看出，小波变换 可看作是,和 的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中,间变量是t，卷积后的变量为a及b。MATLAB中的cwt.m,即是按此思路来实现的。,63,小波变换的大致过程：,先由指定的小波名称得到母小波 及其时间轴上的刻度，假定刻度长为 ；,从时间轴坐标的起点开始求积分 ，,由尺度a确定对上述积分值选择的步长，a越大，上述积分值被选中的越多；,求 和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成（9.7.2）式。,64,方法的不足:,在a变化时，(9.7.2）式中括号内的积,分、差分后的点数不同，也即和,卷积后的点数不同。,解决的方法:,是在不同的尺度下对 作插值，使其,在不同的尺度下，在其有效支撑范围,内的点数始终相同。,有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林,变换等方法 。,65,例题：,例9.7.1 令 为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT，a分别等于2和128，a=2时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，a=128时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)，(b)和（c）。,66,图9.7.1 信号“noissin”的小波变换,(a)原信号x(t)，(b)a=2，(c)a=128,67,例9.7.2 仍然使用例9.7.1的信号“noissin”，对其作CWT时a分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图9.7.2是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。,68,图9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示,69,9.8 尺度离散化的小波变换及小波标架,对同一个信号 ，在 “时频平面” a-b上，给,出几种不同的表示形式：,STFT：,（9.8.1）,Gabor变换：,（9.8.2）,WVD：,（9.8.3）,小波变换：,（9.8.4）,70,9.8.1 尺度离散化的小波变换,目前通用的对a离散化的方法是按幂级数的形,式逐步加大a，即令 。若取 ，则,(9.8.5),称为“半离散化二进小波”，而,(9.8.6),称为二进小波变换。,71,设：母小波 的中心频率： ，带宽： ，当,时， 的中心频率变为 ，带宽,。若 时， 的中心频率和带宽分别,是： ， 。从对信号作频域分,析的角度，希望当a由 变成 时， 和 在,频域对应的分析窗 和,能够相连。,。,这样，当j由0,变至无穷时， 的傅里叶变换可以覆盖整个 轴。,72,由 恢复 ：,设 是 的对偶小波，并令 和 取类似的形式，即,(9.8.7),这样，通过对偶小波，我们希望能重建 ：,(9.8.8),对上式作如下变换：,73,由（9.1.3）和（9.1.4）式，有,(9.8.9),显然，若,(9.8.10),则（9.8.9）式的右边变成 的傅里叶反变换，自,然就是 。,74,对于满足容许条件的小波 ，当 时，其二进制小波 对应的傅里叶变换应满足（9.4.4）式的稳定性条件。这样，结合（9.4.4）和（9.8.10）式，我们可由下式得到对偶小波 :,(9.8.11),由于（9.8.11）式的分母满足（9.4.4）式，因此有,(9.8.12),这样，对偶小波 也满足稳定性条件，也即，总可以找到,一个“稳定的”对偶小波 由（9.8.8）式重建出 。,75,定理 9.4,:,如果存在常数 ，使得,(9.8.13),则,(9.8.14),如果 满足,(9.8.15),则,(9.8.16),76,定理9.4指出，若 的傅里叶变换满足稳定性条件，,则 在 上的小波变换的幅平方的和是有界的。进,而， 和 的傅里叶变换若满足（9.8.15）式（也即,（9.8.10）式），则 可由（9.8.16）式重建。,若（9.8.13）式的稳定性条件满足，则（9.3.9）式的容许条件必定满足，且,(9.8.17),从而，由连续小波变换 总可以恢复 ，即,（9.4.1）,式总是成立,77,总结：,若 满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换 总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波 总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波 不一定是唯一的。如何构造“好”的小波 及得到唯一的对偶小波 是小波理论中的重要内容。,78,9.8.2,离散栅格上的小波变换,令 ，可实现对a的离散化。若j=0，则,。当 时，将a由 变成 时，即,是将a扩大了 倍，这时小波 的中心频率比,的中心频率下降了 倍，带宽也下降了 倍。,当尺度a分别取 时，对b的抽样间隔可以取 这样，对a和b离散化后的结果是：,(9.8.18),79,对给定的信号 连续小波变换可变成如下离散,栅格上的小波变换，即,(9.8.19),此式称为“离散小波变换（Discrete Wavelet,Transform，DWT）”。,注意:,式中t仍是连续变量。这样，(a,b)平面上离散,栅格的取点如图9.8.1所示。图中取 ，尺,度轴取以2为底的对数坐标。,80,图9.8.1 DWT取值的离散栅格,由该图可看出小波分析的“变焦距”作用，即在不同的尺度下（也即不同的频率范围内），对时域的分析点数是不相同的。,81,记 ，仿照傅里叶级数和Gabor展开,那样来重建 ，即,(9.8.20),该式称为小波级数， 称为小波系数， 是,的对偶函数，或对偶小波。,82,对任一周期信号 ，若周期为T，且 ，,则可展成傅里叶级数，即,(9.8.21a),式中 是 的傅里叶系数，它由下式求出：,(9.8.21b),83,小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理,概念却有着明显的不同：,傅里叶级数的基函数 ，是一组正交基，即 。,小波级数 所用的一族函数不一定是正交基，甚至不一定是一组“基”；,84,对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即 都是（差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，且分析和重建 所用的函数是不相同的，即分析时是 ，而重建时是 ；,在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在,a,b,轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒,Q”,性的特点。,85,将连续小波变换改变成离散小波变换的疑问：,一族小波函数 ，在空间 上是否是完备的？所谓完备，是指对任一 ，它都可以由这一组函数（即 ）来表示；,如果 是完备的，那么 对的表示 是否有信息的冗余？,如果 是完备的，那么对a和b的抽样间隔如何选取才能保证对 的表示不存在信息的冗余？,86,9.8.3 小波标架理论介绍,标架的基本理论，其要点是：,若 是,Hilbert,空间中的一组向量，对给定的,若存在常数 ，满足,(9.8.22),则 构成了一个标架；,若,A=B,，则称 为紧标架，若,A=B=1,，则 成一正交基,定义标架算子,S,为,(9.8.23),则,(9.8.24),记 为的对偶函数族，则 也构成一个标架，标架界,分别为 和 ；,87,用标架来表征一个信号 ，也即对 作分解时，标架 可给出完备的且是稳定的表示，但这种表示是冗余的，即 之间是线性相关的，因此 不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（,robustness,）方面都优于正交基；,标界边界,B,和之,A,比值，即,B/A,称为冗余比。在实际工作中，总希望接近于,1,，即 为紧标架。当,A=B,时，有,(9.8.25),88,定理9.5,:,如果 构成 中的一,个标架，且标架边界分别为A和B，则母小波须满足：,(9.8.26a),及,(9.8.26b),89,以上定理又称构成标架 的必要条件。这一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。当仅a对取二进制离散化，b保持连续时，该必要条件也就是充分条件,。,90,若 构成紧标架，即A=B，那么，其标架边界,(9.8.27),若 构成 中正交基，则,(9.8.28),91,定理9.6: 定义,(9.8.29),及,(9.8.30),如果 和 的选取保证,(9.8.31a),及,(9.8.31b),则 是 中的一个标架。 、 分别是标架界A和B,的下界与上界。,92,例9.8.1 对（9.6.6）式给出的墨西哥草帽小波，利用（9.8.31）式计算在a和b取不同步长时边界A和B的值，如表9.8.1所示。表中 取,。显然，N越大，对a离散化的步长越小。,93,94,95,由该表可以看出：,当 时，墨西哥草帽离散化后的 都接近于构成一个紧标架，即这时的B/A接近于1；,同一值N下， 越小，A和B的值越大，因为这时,所以它们的值反映了冗余度的大小。显然， 越小，冗余度越大，自然A和B越大；,同一N值下， 越大，B/A的值越大，这就越远离紧标架。若再增加 ，有可能使求出的为负值，从而使这时的 不再构成标架。,96,总结：,总之，以上的标架理论及边界值A、B的计算给我们一个大致估计选取 的原则，即二者的选取要保持离散化后的 至少要构成一个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在一般情况下，标架并不是正交基，除非,A=B=1,。,97,定义9.8.1：,若 是由母小波 通过伸缩与移位生成的 上的“稠密”的二维函数族，并且存在常数和，使得,(9.8.32),对于所有满足平方和的序列 成立，式中,(9.8.33),则称 是 上的一个Riesz基，常数,A、B分别称为Riesz基的下界和上界。,98,定义中“稠密”的含义是指 中的任一函数都可由二维序列 的线性组合来表示。,定义的简单解释如下,：,首先， 是一个标架；,对任意的 ， 之间是线性无关的。,这样，Riesz基可以比标架最大限度地去除冗余度。,此外，生成Riesz基 的母小波 称为Riesz函数,99,Riesz基的对偶函数序列 也是一个Riesz基，因此 对任意的j,k是线性无关的，对给定的 ，其对称基 是唯一的。这样，我们有,(9.8.34),100,其它有关小波的定义：,正交小波,若,Riesz,基 满足,(9.8.35),则称生成 的母小波 为正交小波。式中,(9.8.36),（,9.8.35,）式指出，在同一尺度,j,下，不同移位之间的 是正交的。同时，在同一位移,k,下，不同尺度,j,之间的 也是正交的,。,101,半正交小波,若 满足,，对,（,9.8.37,）,该式的含义是，若 ，则 。这时，对不同的位移,k,之间 不是正交的。因此，生成 的 称为半正交小波。,102,双正交小波,若 和其对偶小波,之间满足,(9.8.38),则称生成 的 为双正交小波。,半正交小波不是正交小波，双正交小波指的是,和 其对偶之间的关系，因此也不是正交小波。但一,个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。,103,正交小波、半正交小波及双正交小波之间,的关系：,定理,9.7,：,令 是一个半正交小波，其傅里叶变换为 ，定义,(9.8.39),并记 的傅里叶反变换为 ，则由 和 分,别作二进制伸缩和移位生成的 和 之间是双正,交的。,104,该定理给出了将半正交小波变成正交小波的方法。若 为正交小波，则（9.8.39）式的分母为1，这样 ，也即 。即正交基和其对偶基是一样的。,105,令,(9.8.40),并记 为 的傅里叶反变换。由定理（9.7），,的对偶小波 应由下式给出：,(9.8.41),可以证明， ，即 和其对偶函数,是自对偶的，因此， 即是正交小波。,106,