2.4《正态分布》

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,正态分布,高二数学 选修,2-3,25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42,25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43,25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36,25.38 25.31,25.56,25.43 25.40 25.38 25.37 25.44,25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37,25.35 25.32 25.45 25.40,25.27,25.43 25.54 25.39,25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37,25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46,25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32,25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35,25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40,25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39,25.42 25.47 25.38 25.39,某钢铁加工厂生产内径为,25.40mm,的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取,100,件检测,测得它们的实际尺寸如下,:,情境,1,：,列出频率分布表,分组,频数,频率,累积频率,频率,/,组距,25.23525.265,1,0.01,0.01,0.0009,25.26525.295,2,0.02,0.03,0.0018,25.29525.325,5,0.05,0.08,0.0045,25.32525.355,12,0.12,0.20,0.0109,25.35525.385,18,0.18,0.38,0.0164,25.38525.415,25,0.25,0.63,0.0227,25.41525.445,16,0.16,0.79,0.0145,25.44525.475,13,0.13,0.92,0.0118,25.47525.505,4,0.04,0.96,0.0036,25.50525.535,2,0.02,0.98,0.0018,25.53525.565,2,0.02,1.00,0.0018,合计,100,1.00,100,件产品尺寸的,频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,频率分布直方图,200,件产品尺寸的,频率分布直方图,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,o,2,4,6,8,产品内径尺寸,/,mm,频率,组距,o,2,4,6,8,样本容量增大时,频率分布直方图,正态曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线,-,正态曲线,.,频率分布直方图,高尔顿钉板试验,这个试验是英国科学家高尔顿设计的，它的试验模型如图片所示，自上端放入一个小球，任其自由下落。在下落的过程中当小球碰到钉子后从左边与从右边落下的机会相等，到下一排钉子时又是如此，最后落入底,板的某一格子里，因此任意放入一球，此球落入哪一个格子事先难以确定。但是大量试验表明：放入大量小球，最后所呈现的曲线总是雷同的，也就是说，小球落入格子中的频率趋于稳定。,N=500, P=0.5 M=10,1,、正态曲线的定义：,2.,正态分布的定义,:,如果对于任何实数,ab,随机变量,X,满足,:,则称随机变量,X,服从正态分布,.,正态分布由参数,、,唯一确定,.,正态分布记作,N,（,，,2,）,如果随机变量,X,服从正态分布，,则记作,X,N,（,，,2,）,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：,在生产中,，,在正常生产条件下各种产品的质量指标；,在测量中,，,测量结果；,在生物学中,，,同一群体的某一特征；,；,在气象中,，,某地每年七月份的平均气温、平均湿度,以及降雨量等，水文中的水位；,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。,正态分布在概率和统计中占有重要地位。,m,的意义,产品,尺寸,(mm),x,1,x,2,总体平均数,反映总体随机变量的,平均水平,x,3,x,4,平均数,x,= ,产品,尺寸,(mm),总体平均数,反映总体随机变量的,平均水平,总体标准差,反映总体随机变量的,集中与分散的程度,平均数,s,的意义,正态总体,的函数表示式,当,= 0,，,=1,时,标准正态总体,的函数表示式,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,标准正态曲线,（，,（,，,+,）,（,1,）当,=,时,函数值为最大,.,(3),的图象关于,对称,.,（,2,）,的值域为,（,4,）,当 时 为增函数,.,当 时 为减函数,.,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,标准正态曲线,正态总体,的函数表示式,=,例,1,、下列函数是正态密度函数的是（ ）,A.,B.,C.,D.,B,例,2,、标准正态总体的概率密度函数为,（,1,）证明,f(x),是偶函数；,（,2,）求,f(x),的最大值；,（,3,）利用指数函数的性质说明,f(x),的增减性。,练习：,1,、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数且该函,数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数的,解析式。,20,25,30,15,10,x,y,5,35,2,、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差。,3,、正态曲线的性质,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,= -1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,具有,两头低、中间高、左右对称,的基本特征,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,= -1,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,=0,=1,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,4,=1,=2,（,1,）曲线在,x,轴的上方，与,x,轴不相交,.,（,2,）曲线是单峰的,它关于直线,x,=,对称,.,3,、正态曲线的性质,（,4,）曲线与,x,轴之间的面积为,1,（,3,）曲线在,x,=,处达到峰值,(,最高点,),方差相等、均数不等的正态分布图示,3,1,2,=0.5,=,-1,=0,=,1,若 固定,随 值的变化而沿,x,轴平移,故 称为位置参数；,均数相等、方差不等的正态分布图示,=0.5,=1,=2,=0,若 固定,大时,曲线矮而胖；,小时,曲线瘦而高,故称,为形状参数。,=0.5,0,1,2,-1,-2,x,y,-3,3,X=,=1,=2,(6),当,一定时，曲线的形状由,确定,.,越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；,越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中,.,（,5,）当,x,时,曲线下降,.,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以,x,轴为渐近线,向它无限靠近,.,3,、正态曲线的性质,正态曲线下的面积规律,X,轴与正态曲线所夹面积恒等于,1,。,对称区域面积相等。,S,(-,-,X,),S,(,X,),S(-,-X),正态曲线下的面积规律,对称区域面积相等。,S,(-,x,1,-,x,2,),-,x,1,-,x,2,x,2,x,1,S,(,x,1,x,2,)=,S,(-,x,2,-x,1,),4,、特殊区间的概率,:,m,-,a,m,+,a,x,=,若,XN ,则对于任何实数,a0,概率,为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小,落在区间 的概率越大，即,X,集中在 周围概率越大。,特别地有,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有,4.56,，在 以外取值的概率只有,0.26,。,由于这些概率值很小（一般不超过,5, ），通常称这些情况发生为,小概率事件,。,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有,4.56,，在 以外取值的概率只有,0.26,。,例,3,、若,XN(5,1),求,P(6X7).,例,2,、已知 ，且 ，,则 等于,( ),A.0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.4,A,例,4,、如图，为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求,P,（,|X-72|20,）,.,x,y,72(kg),例,5,、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即,N(90,100).,（,1,）试求考试成绩 位于区间,(70,110),上的概率是多少？,（,2,）若这次考试共有,2000,名考生，试估计考试成绩在,(80,100),间的考生大约有多少人？,2,、已知,XN (0,1),，则,X,在区间 内取值的概率等于（ ）,3,、设离散型随机变量,XN(0,1),则,=,=,.,4,、若,XN(5,1),求,P(6X8).,D,0.5,0.9544,练习：,1,、已知一次考试共有,60,名同学参加，考生的成绩,XN,，据此估计，大约应有,57,人的分数在下列哪个区间内？（ ）,(90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115,A,小结,正态分布,正态分布密度曲线,3,原则,正态曲线特点,作业,课本第,75,页习题,2.4A,组,1,2,题,B,组,2,题,