24.5-三角形的内切圆

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第,24,章 圆,24.5,三角形的内切圆,1,课堂讲解,三角形内切圆及相关概念,三角形内切圆的性质,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的,圆形铁皮。,分析：,讨论这个圆有什么特点？,（实际上是作一个圆，使它,和已知三角形铁皮的各边都相切）,讨论如何确定这个圆的圆心及半径？,1,知识点,三角形内切圆及相关概念,三角形的内切圆与相关概念,与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内,切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外,切三角形,知,1,讲,要点精析,：,(1),任意三角形都有且只有一个内切圆,(,因为圆心和半,径是唯一确定的,),，而任意多边形不一定有内切圆,(2),一个圆有无数个外切三角形,(3),一般地，若,I,是,ABC,的内心，则有,BIC,90, ,A,.,知,1,讲,例,1,如,ABC,的内切圆,O,和各边分别相切于,D,，,E,，,F,，则,O,是,DEF,的,(,),A,三条中线的交点,B,三条高的交点,C,三条角平分线的交点,D,三条边的垂直平分线的交点,知,1,讲,O,是,ABC,的内切圆，,OD,OE,OF,，,O,是,DEF,三条边的垂直平分线的交点,D,导引：,在,ABC,中，,AB,=,AC,=4 cm,以点,A,为圆心、,2 cm,为半径的圆与,BC,相切，求,BAC,的度数,.,2,如在,ABC,中，,A,=80,，点,I,是内心，求,BIC,的度数,.,知,1,练,3,在下列说法错误的是,(,),A,三角形的内切圆与三角形的三边都相切,B,一个三角形一定有唯一一个内切圆,C,一个圆一定有唯一一个外切三角形,D,等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆,4,下面关于三角形的内心的说法正确的是,(,),A,三角形的内心到三边的距离相等,B,三角形的内心是三条边垂直平分线的交点,C,三角形的内心是三边中线的交点,D,三角形的内心到三个顶点的距离相等,知,1,练,如图，已知,ABC,的内切圆,O,与各边相切于点,D,、,E,、,F,，那么点,O,是,DEF,的,(,),A,外心,B,内心,C,重心,D,垂心,(,三条高的交点,),知,1,练,2,知识点,三角形内切圆的性质,知,2,讲,三角形的内心的性质：,三角形的内心到三角形的三边距离相等,拓展：,(1),若三角形的面积为,S,，周长为,l,，内切圆半径为,r,，,则,S,lr,.,(2),直角三角形内切圆的半径,r,(,直角边长,a,直角,边长,b,斜边长,c,),知,2,讲,例,2,如图,在,ABC,中，,B,=43,，,C,=61,，点,I,是,ABC,的内心，求,BIC,的度数,.,解：,连接,IB,，,IC,.,因为点,I,是,ABC,的内心，所以,IB,，,IC,分别是,B,、,C,的平分线,.,在,IBC,中，有,BIC,=,180,(,IBC,+,ICB,),=,180,(,B,+,C,),= 180,(43+61),=128,知,2,讲,例,3,如图所示，,O,是,Rt,ABC,的内切圆，切点分别为,D,，,E,，,F,，,C,90,，,AC,3,，,BC,4,，求,O,的半径,r,.,连接,OA,，,OB,，,OC,，,OD,，,OE,，,OF,，利用,S,ABC,S,COB,S,BOA,S,AOC,求解还可以发现四边形,OECD,为正方形，则可利用切线长定理，用含,r,的代数式表示,AB,的长，再求解,导引：,知,2,讲,方法一：如图，连接,OA,，,OB,，,OC,，,OD,，,OE,，,OF,，,则,OD,OE,OF,r,，,OD,BC,，,OE,AC,，,OF,AB,.,在,Rt,ABC,中，,AB,S,ABC,S,COB,S,BOA,S,AOC,，,r,解：,知,2,讲,方法二：如图，连接,OD,，,OE,，则,OE,AC,，,OD,BC,，,又,EC,CD,，且,OE,OD,r,，,四边形,OECD,是正方形 ,EC,CD,r,.,AB,AF,BF,AE,BD,(,AC,EC,),(,BC,CD,),3,r,4,r,7,2,r,.,又易知,AB,7,2,r,5,，即,r,1 .,总,结,知,2,讲,(1),求三角形内切圆的半径问题，一般的作辅助线的方法,为：一是连顶点、内心产生角平分线；二是连切点、,内心产生半径及垂直条件,(2),三角形的内切圆的半径与三角形的关系：若,ABC,中，,A,，,B,，,C,的对边分别为,a,，,b,，,c,，内切圆的,半径为,r,，则,r,. ,若中,ABC,为直角三角,形，且,C,90,，则,r,.,知,2,讲,例,4,(,作图题,) (1),如图,(1),，已知直线,l,及,l,同侧两点,A,，,B,.,请你在直线,l,上确定一点,P,，使,P,到,A,、,B,两点的距离和最小；,(2),如图,(2),，已知直线,l,及,l,异侧两点,A,，,B,.,请你在直线,l,上确定一点,P,，使,P,到,A,，,B,两点的距离差最大；,知,2,讲,(3),如图，已知,ABC,，作,ABC,的内切圆,O,，并判,断,O,到,ABC,三边的距离有什么关系？连接,AO,，,你能发现什么结论？若,ABC,的周长为,30,，,O,到,BC,边的距离为,2,，求,ABC,的面积,知,2,讲,(1),作出点,A,关于直线,l,的对称点,A,，连接,A,B,与直线,l,的交点就是,要求的点,P,.,(2),作,A,关于,l,的对称点,A,1,，连接,A,1,B,，并延长交,l,于点,P,，,P,即为,所求的点下面证明,A,1,B,是,P,到,A,、,B,两点的距离差的最大值：,在,l,上取一个不同于,P,点的点,P,1,，连接,P,1,A,，,P,1,A,1,，,P,1,B,，这样,点,P,1,，,A,1,，,B,就构成一个三角形，,P,1,A,1,P,1,A,；根据两边之差,小于第三边，有,P,1,A,1,P,1,B,A,1,B,，即,P,1,A,P,1,B,A,1,B,，所以,除,P,点外，任何一点与,A,，,B,的距离差都小于,A,1,B,，又,P,点与,A,，,B,的距离差是,A,1,B,，所以,P,点就是所求的点,(3),先作出角平分线，进而作出内切圆，再利用面积相等即可求,解,导引：,知,2,讲,解：,(1)P,点的位置如图,(1),所示,(2)P,点的位置如图,(2),所示,知,2,讲,(3),如图所示,作,ABC,和,BCA,的平分线，交于点,O,，以,O,为圆心，,O,到,BC,边的距离,OD,为半径作圆，根据角平分线的性质可,以得出：,O,到,ABC,三边的距离相等,AO,平分,BAC,.,点,O,为,ABC,三个角的平分线的交,点，,O,到,BC,边的距离为,2,，,点,O,到三边的距离相等，均为,2,，,ABC,的周长为,30,，,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,(,AB,BC,AC,)2,30.,总,结,知,2,讲,本题运用,数形结合思想,及,面积法,求距离和差的最值,问题，一般通过轴对称作图，化折线为直线，最终转,化为利用两点之间线段最短求解的问题高不离面积，,出现垂线段时，可联想到利用面积法求解问题,在,ABC,中，,C,=90,，,BC,=3,，,AC,=4,，求这个三角形的内切圆半径,.,在一块周长为,12 cm,、面积为,6 cm,2,的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是 多少厘米？,知,2,练,3,知,2,练,如图，点,O,是,ABC,的内切圆的圆心，若,BAC,80,，则,BOC,(,),A,130,B,120,C,100,D,90,4,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,AC,3,，,AB,5,，则它的内切圆与外接圆半径分别为,(,),A,1.5,，,2.5 B,2,，,5,C,1,，,2.5 D,2,，,2.5,5,如图，正三角形,ABC,的内切圆半径为,1,，那么这个正三角形的边长为,(,),A,2,B,3,C.,D,2,知,2,练,6,在,ABC,中，已知,C,90,，,BC,3,，,AC,4,，则它的内切圆半径是,(,),A.,B,1,C,2,D.,知,2,练,1,会作各种三角形的内切圆；,2,定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形；,3,内心是谁的交点？位置如何？它有什么位置关系？,