3.2函数模型及其应用-2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,*,人教A版高中数学必修 章节复习,函数模型及其应用,(必修1) 第三章 函数的应用,1,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.,2,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1.,拟定从甲地到乙地通话,m,分钟的电话费(单位：元)由,f,(,m,)=1.06(0.50,m,+1)给出，其中,m,0,m,是大于或等于,m,的最小整数(如4=4,2.7=3,3.8=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为( ),C,元 元,元 元,由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1),=1,06(0.56+1)=4.24.故选C.,3,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2.,在某种新型材料的研制中,实验人员获得了如下一组数据：,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ),B,A.,y,=2,x,-2 B.,y,= (,x,2,-1),C.,y,=log,2,x,D.,y,=( ),x,将各组数据代入验证，选,B,.,4,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3.,某电信公司推出两种手机收费方式：,A,种方式是月租20元，,B,种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费,s,（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）,A,A.10元 B.20元,C.30元 D. 元,5,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,两种话费相差为,y,，,根据几何关系可得,y,=,y,=12,y,=10，,所以,y,=10.,6,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,4.,某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润,y,万元与营运年数,x,(,x,N,*)的关系为,y,=-,x,2,+12,x,-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（ ）,C,A.2 B.4 C.5 D.6,平均利润 = 12-10=2,当且仅当,x,= ,即,x,=5时,等号成立,故选C.,7,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：,8,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,一次函数模型:,f,(,x,)= +,b,(,k,、,b,为常数,k,0);,反比例函数模型：,f,(,x,)= +,b,(,k,、,b,为常数,k,0);,二次函数模型：,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,、,b,、,c,为常数，,a,0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;,指数型函数模型：,f,(,x,)=,ka,x,+,b,(,k,、,a,、,b,为常数，,k,0,a,0且,a,1);,9,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,对数型函数模型：,f,(,x,)=,m,log,a,x,+,n,(,m,、,n,、,a,为常数,m,0,a,0且,a,1);,幂函数型模型：,f,(,x,)=,ax,n,+,b,(,a,、,b,、,n,为常数,a,0,n,0);,“勾”函数模型：,f,(,x,)=,x,+ (,k,为常数,k,0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.,10,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,题型一,函数模型的选择,例1,扇形的周长为,c,(,c,0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？,11,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,当,r,= 时， S,max,= ,此时|= = = =2.,所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .,(方法一)因为,c,=,l,+2,r,所以,l,=,c,-2,r,0,所以0,r, .,面积,S,=,lr,= (,c,-2,r,),r,=( -,r,),r,(0,r, ),12,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,当且仅当= ，即=2时，等号成立.,所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .,(方法二)因为,c,=,l,+2,r,=,r,+2,r,所以,r,= .,所以,S,= ,r,2,=( ),2,=,= ,= .,13,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,(1)虽然问“为多少时”，但若以为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长,l,为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.,14,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.,(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.,15,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,题型二,已知函数模型求参数值,例2,如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有,a,升水，木桶2是空的，,t,分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线,y,1,=,ae,-,mt,（其中,m,是常数，,e,是自然对数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰,好相等,求：,16,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,(1),因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是,a,又满足,y,1,=,ae,-,mt,，所以,y,2,=,a,-,ae,-,mt,.,(2),因为,t,=5时,y,1,=,y,2,所以,ae,-5,m,=,a,-,ae,-5,m,，,解得2,e,-5,m,=1,m,= ln2.所以,y,1,=,ae,.,当,y,1,= 时,有 =,ae,t,=15(分钟).,所以经过15分钟木桶1的水是 .,（1）,木桶2中的水,y,2,与时间,t,的函数关系；,（2）,经过多少分钟，木桶1中的水是 升?,已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解.,17,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,题型三,给出函数模型的应用题,例3,经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足,g,(,t,)=80-2,t,(件）,价格近似满足,f,(,t,)=20- |,t,-10|（元）.,(1),试写出该种商品的日销售额,y,与时间,t,(0,t,20)的函数表达式；,(2),求该种商品的日销售额,y,的最大值与最小值.,18,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,(1),y,=,g,(,t,),f,(,t,)=(80-2,t,)(20- |,t,-10|),=(40-,t,)(40-|,t,-10|)= (30+,t,)(40-,t,)(0,t,10),(40-,t,)(50-,t,)(10,t,20).,(2),当0,t,10时,y,的取值范围是1200,1225.,在,t,=5时,y,取得最大值为1225；,当10,t,20时,y的取值范围是600,1200,在,t,=20时，,y,取得最小值为600.,答:第5天,日销售额,y,取得最大值为1225元,第20天,y,取得最小值600元.,19,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对,f,(,x,)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.,20,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1.,理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.,2.,建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.,21,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3.,函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.,4.,应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.,22,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,函数模型及其应用,第一课时,23,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,孙小凯(班级一学生,刚好早晨迟到)早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。,问题1,0,(A),0,(,B,),0,(D),0,（C),如果用纵轴表示离教室的距离，横轴表示出发后的,时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）,24,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,问题2,韦老师今天从县中到二中上课，来的时候坐了,出租车。我们知道洪泽出租车的价格，,凡上车起步,价为,4,元，行程不超过,3,km,者均按此价收费，,行程超过3,km,，按,1.5,元,/km,收费。,县中到二中的路程是 4公里，问韦老师今天坐车,用了多少钱？,县中到二中的路程是 x公里，问韦老师今天坐车,会用多少钱？,25,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,实际问题,数学模型,数学模型的解,实际问题的解,抽象,概括,推理演算,还原说明,答,求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用,示意图表示为：,数学模型,26,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总量x（台）的函数关系式。,27,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例2、物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T,0,，经过一定时间t后的温度是T，则 ，其中 表示,环境温度，称 h为半衰期。,现有一杯用88热水冲的速溶咖啡，放在24的房间中，如果咖啡降温到40需要20min，那么降到35时，需要多长时间（结果精确到0.1)？,28,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,因此，解决应用题的一般程序是：,审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；,建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；,解模：求解数学模型，得出数学结论；,还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义,29,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,函数模型及其应用,第二课时,30,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,31,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,解之得,32,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,33,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例2.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知EF=80m,BC=70m,BF=30m,AF=20m,问：,如何设计才能使公,寓楼地面面积最大？,最大面积是多少？,A,C,B,N,F,E,D,34,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例1：如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是的直径，上底的端点在圆周上。问：腰为多少时，梯形周长最大？,A,B,C,D,0,35,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,解:设腰长AD=BC=x,周长为y,E,A,B,C,D,0,36,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,37,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为 _m,2,（围墙厚度不计）,解析：,设矩形宽为,x,m，,则矩形长为（2004,x,）m，,则矩形面积为,S,x,（2004,x,）,4（,x,25）22500,（0,x,50），,x,25时，,S,有最大值2500m,2,38,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2.有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获得利润分别为p和q（万元），它们与投入的资金x（万元）的关系分别为,今投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为了获得最大利润，对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少万元？,39,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3.某产品的成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系,，若每台产品的售价为25万元，则生产者不“亏本”（即销售收入不小于总成本）的最低产量台数为,40,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,小结,：,2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答.,即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解，再结合实际做出,回答.,1.解题四步骤：,设,、,列,、,解,、,答,.,41,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,函数模型及其应用,第三课时,42,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例1、某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其它因素，旅社将房间租金提高多少时，每天客房租金总收入最高？,43,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,点拨：由题设可知，每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数。设提高为x个2元，则依题意可算出总租金（用y表 示）的表达式，由于房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数的解析表达式求解。,44,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,解：设客房租金每间提高x个2元,，,Y=(20+2x)(300-10x),=-20x,2,+600x-200x+6000,=-20(x,2,-20x+100-100)+6000,=-20(x-10),2,+8000,则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为,由此得到，当x=10时，y的最大值为8000，即每间租金为20+102=40（元）时客房租金总收入最高，每天为8000元。,45,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,总结：,通过列表的形式求解，直观性强，有助于同学理解，但运算过程比较繁琐，作为探求思路的方法还是可行的；,根据题目的条件列出函数关系式，利用二次函数求极值，是常用的方法。,46,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,练习：,1、将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品每个上涨1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为多少元？最大利润是多少？,47,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2、某车间最大生产能力为月生产100台机床，至少要完成40台才能保本，当生产x台时的总成本函数为G(x)=x,2,+10x(百元），按市场规律，价格为P=970-5x(x需求量）可以销售完，试写出利润函数，并求出生产多少台时，利润最大。,48,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3、某商场出售一种商品，（原来）每天可卖出1000件，每件可获利4元。根据经验，若单件商品的价格每减少0.1元，每天的销售量就会多出100件。从获得最好的经济效益的角度来看，该商品的单价应比现在减少_元,49,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,函数模型及其应用,第四课时,50,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例题1、一家报刊摊点，从报社买进报纸价格是每份0.24元，卖出是每份0.40元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社，在一个月的30天里，有20天每天可卖出300份，其余10天，每天卖出200份,但这30天里,每天从报社买进的份数必须相同,这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸,才能获得最大利润,一个月可赚多少钱.,51,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,(2)当200300时,y=(0.4-0.24) 10200-(0.24-0.08)10(x-200),+(0.4-0.24)20300-(0.24-0.08)(x-300)20,=2560-4.8x2560-4.8300=1120,52,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,总结:,求分段函数的最值,应先求出函数在各部分的最值,然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值.,53,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,变式：如图，一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点，若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，,求A，P两点间的,距离y与点P的,路程x之间的函,数关系式。,A,P,P,D,B,C,54,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：,其中x是仪器的月产量。,（1）将利润表示为当月产最的函数,（2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？,55,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例2.,在一定范围内，某种产品的购买量为y t，与单价x元之间满足一次函数关系。,如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为,（ ）,A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元,c,56,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,例3、,某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，,每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：,销售单价/元,日均销售量/桶,6,7,8,9,10,11,12,480,440,400,360,320,280,240,请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？,解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为,（桶）,而,有最大值,只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。,利润怎样产生的？,销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶,分析,： 由表中信息可知,57,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,1、 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，,慢车到终点站需16min，快车比慢车晚发车3min，,且行驶10min到达终点站。,试写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式。,并回答：两车何时相遇？相遇时距始发站多远？,巩固练习,58,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,3、用一条长为米的钢丝折成一个矩形，该矩形长为多少时，面积最大？,巩固练习,59,新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞,