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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数系的扩充,复数的概念,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,北京大峪中学高三数学组,shiyuhai,*,复数的概念,北京大峪中学高三数学组石玉海,*,复数的运算,4.1,数系的扩充与复数的概念,我们知道,对于实系数一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,当,b,2,-4ac0,时,没有实数根,.,这说明,人们在研究代数方程的过程中,限制实数集合,有些问题就无法解决,.,因此,需要把实数集进一步扩充,这就是本章里我们将要学习的复数的知识,.,复数是,16,世纪人们在解决二次方程、三次方程时引入的,.,大约经过了一个世纪,才逐步形成完整的理论,.,现在,它已在数学、力学、电学以及其他科学里得到广泛应用,是现代科学技术上普遍使用的一种数学工具,.,复数的初步知识是进一步学习高等数学的基础,复数也是初等数学的基础知识,.,知识引入,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,思考？,我们知道,，,对于实系数一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,，当,b,2,4,ac,0,时，没有实数根。如果要解决这一问题，其最根本的就是要解决,1,的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于,1,。,现在我们就引入这样一个数,i,，,把,i,叫做虚数单位，并且规定：,形如,a,+,bi,(,a,b,R),的数叫做复数,.,全体复数所形成的集合叫做,复数集,，,一般用字母,C,表示,.,（,2,）,实数可以与,i,进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率,(,包括交换率、结合率和分配率,),仍然成立。,（,1,）,i,2, ,1,；,讲授新课,实部,复数的代数形式：,通常用字母,z,表示，即,虚部,其中 称为,虚数单位,。,复数集,C,和实数集,R,之间有什么关系？,讨论？,复数,a+bi,练一练,说出下列复数的实部与虚部,.,并指出哪些是实数,?,哪些是虚数,?,哪些是纯虚数,?,复数,实部,虚部,实数,虚数,纯虚数,4,2-3i,0,-6i,例,1:,实数,m,取什么值时，复数,（,1,）实数？ （,2,）虚数？（,3,）纯虚数？,解,:,（,1,）,当 ，即 时，复数,z,是实数,（,2,）,当 ，即 时，复数,z,是虚数,（,3,）,当,即 时，复数,z,是,纯虚数,练习,:,当,m,为何实数时，复数,（,1,）实数 （,2,）虚数 （,3,）纯虚数,(3)m=-2,(1)m=,(2)m,如果两个复数的,实部,和,虚部,分别相等，那么我们就说这,两个复数相等,复数相等的定义：,由这个定义得到,a+bi=0,.,一般地，两个复数只能说它们相等或不,相等，而不能比较大小。例如，,1+i,与,3+5i,不能比较大小。,当且仅当两个复数均为实数时，才能比较,大小。,例,2:,已知 ，,其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,1,、若,x,，,y,为实数，且,求,x,，,y.,练习：,x=-3,y=4,2,、若,(2x,2,-3x-2)+(x,2,-5x+6) =0,，求,x,的值,.,x=2,3,、已知复数,x=1,在几何上，我们用什么来表示实,数,?,想一想？,实数的几何意义,类比,实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用,数轴,上的点来表示。,实数,数轴,上的点,(,形,),(,数,),一 一对应,回忆,复数的一般形式？,Z=,a+bi(a, bR),实部,!,虚部,!,一个复数由什么唯一确定？,根据复数相等的定义知，一个,复数由实部和虚部唯一确定,.,复数,z=a+bi,有序实数对,(,a,b,),直角坐标系中的点,Z(,a,b,),x,y,o,b,a,Z(a,b),这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x,轴,-,实轴,y,轴,-,虚轴,（数）,（形）,-,复数平面,(,简称,复平面,),一一对应,z=a+bi,复数的几何意义,复数,z=a+bi,复平面中的点,Z(a,b),（数）,（形）,一一对应,复数的几何意义,注：实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,.,(A),在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；,(B),在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；,(C),在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；,(D),在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。,1,下列命题中的假命题是（ ）,D,例题讲解,2.,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数,m,允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(,几何问题,),(,代数问题,),一种重要的数学思想：,数形结合思想,例题讲解,2.,已知复数,z=(m,2,+m-6)+(m,2,+m-2)i,在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数,m,允许的取值范围。,变式：证明对一切,m,，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限,.,实数绝对值的,几何意义,:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,|,a,| = | OA |,实数,a,在数轴上所对应的点,A,到原点,O,的距离。,z,=,a,+,b,i,x,O,y,复数的绝对值,(,复数的模,),的,几何意义,:,复数,z=a+bi,在复平面上对应的点,Z(a,b),到原点的距离。,Z,(,a,b,),复数的模,复数的几何意义,例,求下列复数的模：,(1)z,1,=-2i (2)z,2,=5-5i,(3),上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,思考：,(2),满足,|z|=5(zC),的,z,值有几个？,(3)z,4,=1+mi(mR) (4)z,5,=4a-3ai(a0),(1),复数的模能否比较大小？,例题讲解,x,O,5,5,5,5,设,z=x+yi(x,yR),2.,复数：,形如,a+bi (a,bR),的数,3 .,两个复数相等的充要条件,4.,两个复数,（不全为实数）,不能比较大小。,a,实部,b,虚部,a+bi=c+di,a=c,b=d,（,a,，,b,，,c,，,dR,）,实数（,b=0,）,虚数,(b0),纯虚数（,a=0,且,b0,）,非纯虚数（,a0,b0),i,2,= -1,复数,小结,:,1.,数系的扩充,:,自然数集,(N),整数集,(Z),有理数集,(Q),复数集,(C),实数集,(R),复数,z=a+bi,复平面中的点,Z(a,b),（数）,（形）,一一对应,5.,复数的几何意义：,表示复数,z=,a,+,b,i,在复平面上对应的点,Z(,a,b,),到原点的距离,，即,复数的绝对值,(,复数的模,),的几何意义,:,
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