3.2《立体几何中的向量方法-》(第三课时)

3.2 立体几何中的向量法 (,3,),第三章 空间向量与立体几何,空间向量与空间角,本节课主要学习利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,.,以学生探究为主，探讨如何利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等,.,讲解二面角的平面角与两个半平面的法向量之间的关系，突破难点,。,通过例,1,和例,2,巩固掌握二面角的求法，证明线面平行，线面垂直的方法。,例,3,是证明线面平行及求异面直线所成的角，本题可以作为一道备用题，如果时间不许可，可以直接点击链接“课堂检测”，进入课堂检测部分,。,运用转化思想，将立体几何中的线线角、线面角、二面角转化为空间向量所成的角，再用数量积的定义求相应的角。,http:/=54260de45aa8a9cc1dd7292f,动画展示面与面的夹角,空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证,.,求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一,.,本节课主要是讨论怎样用向量的办法解决空间角问题,.,用空间向量解决立体几何问题的三步曲：,1.,（化为向量问题）,建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题,.,2.,（进行向量运算）,通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题,.,3.,（回到图形问题）,把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义,.,O,A,B,.,异面直线所成的角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为,则,线面角,l,l,D,C,l,B,A,二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,l,二面角的范围：,例1：,如图，甲站在水库底面上的点,A,处，乙站在水坝斜面上的点,B,处。从,A,，,B,到直线,（库底与水坝的交线）的距离,AC,和,BD,分别为,和,CD,的长为, AB,的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：,如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,A,B,C,D,例,1,图,典例展示,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,例,2,如图，在四棱锥,P-ABCD,中，底面,ABCD,是正方形，侧棱,PD,底面,ABCD,，,PD=DC,E,是,PC,的中点，作,EFPB,交,PB,于点,F.,(1),求证：,PA/,平面,EDB.,(2),求证：,PB,平面,EFD.,A,B,C,D,P,E,F,(3),求二面角,C-PB-D,的大小,.,A,B,C,D,P,E,F,x,y,z,G,解：,如图所示建立空间直角坐标系，点,D,为坐标原点，设,DC=1.,(1),证明：连接,AC,AC,交,BD,于点,G,连接,EG.,(3),(1),证明：直线,MN,平面,OCD,；,(2),求异面直线,AB,与,MD,所成角的大小,例,3.,分析：,建系,求相关点坐标,求相关向量坐标,向量运算,结论,解,作,AP,CD,于点,P,，分别以,AB,，,AP,，,AO,所在的直线为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,A,xyz,，如图所示，,A,A,D,面面距离,回归图形,点面距离,向量的模,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,二、利用向量求空间角,一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”,课后练习,课后习题,