《水力学》(课件)讲稿2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,二章 水静力学,第二章 水静力学,水静力学是研究流体处于静止,(,或平衡,),状态下的力学规律，以及这些规律在工程中的应用。它是水力学的一个基础部分。,静止,(,或平衡,),状态的含义,流体的,绝对静止状态,：指流体与地球之间没有相对运动。 也称,绝对平衡状态,流体的,相对静止状态,：流体相对于地球之间虽有运动，但流体质点之间没有相对运动 。,也称,相对平衡状态,总的来说，流体的静止状态或者平衡状态，都是指流体与容器之间以及流体内部各流层之间都没有相对运动的状态。,处于静止状态下的流体，由于流体内部不存在相对运动，则不呈现,粘滞性,作用，因此这种状态下的力学规律，对,理想流体,和,实际流体,都是适用的。,本章讨论的内容：研究静水压强的分布规律，确定各种情况下的静水总压力。,第一节 静水压强及其特性,静水压强,静止状态下的流体内部，流体质点之间或流层之间以及流体与边界之间只存在着法向的压力，称为静水总压力。也称流体静压力、流体总压力。不存在切力和拉力。,在静止的流体内，任取一截面,A,，围绕截面上任意一点,M,取一微小面积 ，若作用此微小面积 上的静水总压力 为，则作用在微小面积 上的平均静水压强 为,M,点的静水压强,静水压强有两个重要特性：,(1),静水压强的作用方向垂直并指向作用面。 （即内法线方向） 可按反证法证明,(2),静止流体内任意一点的静水压强的大小与其作用面的方位无关。,也就是说，流体内任意一点的静水压强在各方向上相等。,可以利用力的平衡原理来证明这一特性,(2-1),其中 、 和 分别为法线方向与三个坐标轴方向的方向余弦，并且,式,(2-1),各式同除以公因子得,当,d,x,、,d,y,、,d,z,趋于零时，上列诸式中的高阶无穷小量可忽略不计，从而可得,由于斜面,ABC,为任意给定，其法线方向为任意的。,则上式表明， 作用于任意一点的静水压强的大小在各方向上相等，与作用面的方向无关，但不同点的压强大小一般不相等。,由于流体可看作连续介质，所以静水压强将是空间坐标的连续函数，即,第二节,流体平衡微分方程,处于静止,(,或平衡,),状态下的流体，所受的各种外力是处于平衡状态的。,本节将根据力的平衡规律，建立流体平衡的微分方程，讨论各种外力相互之间的关系。,一、流体平衡微分方程,流体平衡微分方程是表征流体处于平衡状态时作用于流体上各种力之间的关系式。,流体平衡微分方程的推导,在静止流体中任取一边长为,dx,，,dy,，,dz,的微元平行六平体的流体微团。,此六面体在质量力和表面力作用下，处于平衡状态。,现利用此图分析作用在这流体微团上的外力及其平衡条件,作用于六面体上的质量力在三个坐标轴上的分量分别为,设六面体中心点,M(,x,y,z,),的静水压强为,p,并且静水压强,p,(,x,y,z,),为,连续函数,设六面体中心点,M(,x,y,z,),的静水压强为,p,(,x,y,z,),则静水压强,p,在,M,点附近的变化可用,泰勒,级数表达。,那末，沿,x,方向作用于边界面,ABFE,及,CDHG,两面中心点的静水压强为,式中略去二阶以上的微量。,由于平面,ABFE,和,CDHG,是,微小平面，则中心点处的静水压强可视为整个平面的平均静水压强。于是这两个平面上的静水总压力为,当六面体处于平衡状态时， 作用于此六面体上所有外 力应满足力的平衡方程,对于,x,轴向有,同理,以 除各项，经简化后得,(,2-4,),此为流体平衡微分方程方程。由瑞士学者欧拉于,1755,年提出，也称欧拉平衡微分方程,此方程的物理意义是，在静止（平衡）流体中，静水压强沿某轴向的变化率等于沿该轴向的单位质量力；或者说在平衡流体中，某轴向只要有质量力的作用，该轴向的静水压强就会发生变化。,对流体平衡微分方程的三个式子依次乘在,d,x,，,d,y,，,d,z,，然后相加。,上式的左边为静水压强,p,的全微分，则有,此式为流体平衡微分方程的另一表达形式,(2-5),二、,力的势函数和有势力,我们说，流体要想处于静止状态，所有外力必须服合流体平衡微分方程。另一方面，不是所有的质量力都能使流体平衡，下面再对质量力进行探讨，求出具体的流体平衡条件。,也就是说，根据流体平衡微分方程来研究流体在平衡方式下作用于流体上的质量力应当具有的性质。,上述特性的引出，实际是对式,(2-5),进行积分的过程中得到的。,引入流体平衡微分方程的另一表达形式,为使上式能够积分，现对流体平衡微分方程原方程,(2-4),作如下处理。将原方程的第一、第二式分别对,y,、,x,取偏导数得,对于不可压缩流体，密度 等于常数，有,(2-5),由于连续函数的二次偏导数与求导的先后次序无关，则得,同理,(2-7),由数学分析中知道，上述式,(2-7),是式,(2-5),右边项,全微分的充分必要条件。,为某一空间坐标函数,因此，如式,(2-7),成立，则必有,并且,空间坐标函数 在数学、力学中称为势函数，由于与力有关，也称力势函数,那么，式,(2-5),可写成,在此可以积分，得到静水压强分布规律的普遍关系式,或,如果已知流体表面或内部任意点处的势函数或静水压强，代入上式可得,(2-10),式,(2-10),就是流体平衡微分方程积分后静水压强的普遍关系式。,此式表示了在某种有势质量力的作用下，静水压强的分布规律。,讨论,巴斯加原理：处于平衡状态的流体中，无论是流体边界还是流体内部任意一点的静水压强及其变化量，可等值地传递到流体内的所有各点。,从式,(2-10),可见,静止流体应满足的平衡条件：作用在不可压缩流体上的质量力必须是有势力，不可压缩流体才能保持平衡状态。,根据充分必要条件的性质，也可以说，要使不可压缩流体保持平衡，只有在有势质量力的作用下才有可能。,三、等压面,在平衡流体中，静水压强的大小是空间坐标的函数，一般说来，不同点具有不同向静水压强值。,但我们可在平衡流体中找到这样一些点，它们具有相同的静水压强值，我们将这些点连接成的面称为等压面。,在等压面上，,常数，则 ，并且,这样的面，可能是平面也可能是曲面。,1.,等压面的两个重要性质,1,）在平衡流体中等压面就是等势面。,2,）在平衡流体中等压面与质量力正交。,在平衡流体中任取一等压面,A,。在质量力 的作用下，有一质量为 的流体质点,M,在此等压面上移动，如图,若质点移动距离为 ，并且,质量力 可写作,由理论力学可知，质量力 沿移动 所作的功 可写成矢量 与,因在质点在等压面上移动，由等,2.,等压面性质的应用,的数量积,即,压面微分方程，有,即证,第三节 重力作用下的液体平衡,在工程实际中，最常见的处于平衡状态下的流体，是仅受重力一种质量力作用相对于地球处于静止状态的液体，即日常所见的静止液体。,本节将讨论这种情况下的液体平衡问题。,一、重力作用下静水压强的基本公式,静止液体内任意点的静水压强由两部分组成：,一部分是表面压强,p,0,，它遵从巴斯加原理等值地传递到液体内部各点；,另一部分是液重压强 ，也就是从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量。,以及,p,0,是已知点压强,，,p,也是已知点压强，两者互为已知压强。,几点体会,1),淹没深度相等的各点静水压强相等，故水平面即是等压面，它与质量力（即重力）的方向相垂直。,2),压强,p,随水深,h,或,z,呈线性规律变化,3),对于坐标,z,或水深,h,取为定值的各点，其静水压强值相等,4),仅受重力作用下的静止液体，水平面就是等压面；等压面就是水平面。,从前面推导可见，上述结论只适用于,同一种,并且是,相互连通,的液体，而且只受重力这一种质量力的作用。,二、 压强的量度,量度压强的大小，首先要明确起算的基准，其次要了解计量的单位。,1,量度压强的基准,根据不同的起算基准，对压强的计量，可分为绝对压强和相对压强两种。所谓起算基准就是静水压强为零的起量点。,(1),绝对压强：如以不存在任何气体的绝对真空为零作为起量点而计量的压强，称为绝对压强。一般以 或 表示。,(2),相对压强：如以当地大气压强为零作为起量点而计量的压强，称为相对压强。一般以 表示。,绝对压强与相对压强是按两种不同的起算基准计量的压强，两者之间相差一个大气压强值，如下图。,其关系是：,绝对压强相对压强大气压强,相对压强绝对压强大气压强,式中 表示大气压强,从绝对压强和相对压强关系式和图可见,对于绝对压强 一般有,对于相对压强 一般有,对于重力作用下的液体平衡方程，取相对压强，,自由液面上 或,有,相对压强也称表压强或计时压强,(3),真空和真空压强,当液体中某点的绝对压强小于大气压强,( ),，其相应的相对压强为负值时，则称此点出现了真空。,由上式可知：在理论上，当绝对压强为零时，真空压强达到最大值,p,v,=p,a,，即“完全真空”状态。,但实际液体中一般无法达到这种“完全真空”状态，因为如果容器中液体的表面压强降低到该液体的汽化压强,p,vp,时，液体就会迅速蒸发、汽化。,因此，只要液面压强降低到液体的汽化压强时，该处压强便不会再往下降。所以液体的最大真空压强值不能超过当地大气压强与该液体汽化压强之差。,温度,(),0,5,10,15,20,25,30,p,vp,(kPa),0.61,0.87,1.23,1.70,2.34,3.17,4.24,p,vp,/,g,(m,水柱,),0.06,0.09,0.12,0.17,0.25,0.33,0.44,温度,(),40,50,60,70,80,90,100,p,vp,(kPa),7.38,12.33,19.92,31.16,47.34,70.10,101.33,p,vp,/,g,(m,水柱,),0.76,1.26,2.03,3.20,4.96,7.18,10.33,表,2-3-1,水在不同温度下的汽化压强值,2,流体压强的表示方法,在工程实践中，流体压强常用的表示方法,(,单位,),有三种：,(1),用应力单位来表示。其单位是牛顿,/,米,2,(N/m,2,),，或用帕,Pa,表示,(2),用大气压强的倍数来表示。也就是以大气压强作为表示压强大小的量度。,标准大气压,p,a,=101325 Pa,工程大气压,p,a,=98000 Pa,(3),用液柱高来表示。,三、水头和单位势能,几何意义和物理意义,z,为静止液体内任意一点在基准坐标面以上的几何高度，称为位置水头,z,又代表,了单位重量液体,所具有的位置势能，简,称单位位能、位能,是反映液体内某点静水压强大小的压强高度，称为压强水头,如,A,处的液体压强在测压管内全部转换成高度为 的位置,势能；,即 代表了单位重量液,体所具有的压强势能，简,称单位压能、压能,称为测压管水头,位能 与压能 都属于势能。,其和 称为单位重量液体所具有的总势能，简称单位总势能、总势能,上式也说明静止液体内,各点的单位总势能相等，,、 可相互转化,四、压强的测量,测压计。分为单管式、,U,型管式以及多管式测压计。,压差计。在工程实际中，有时需要测量两点的压强差。 这时可采用压差计,(,也叫比压计,),来进行测量。,第四节,几种质量力同时作用下的液体平衡,前面,第二节,讨论的是仅仅只有一种质量力重力作用下的液体平衡问题，本节将要讨论在多种质量力的作用下液体的平衡问题。,这时液体的平衡不再是绝对平衡的范畴，而是相对平衡的范畴。即液体相对于地球有运动，而液体质点之间以及液体与容器之间没有相对运动。,如：液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转运动；液体与容器一道作直线等加速运动等等 。,一、 液体与容器一道作直线等加速运动,引入流体平衡微分方程,质量力：铅垂向下的重力；水平方向的惯性力,即,1.,等压面,由于等压面上 ，则,积分,此式为等压面方程。,在自由液面上,M,点处 ，,得 ，有自由液面方程,其中 ， 为自由液面上的坐标,.,静水压强分布规律,积分,取自由面上一点,可得静水压强分布表达式,整理,考虑自由液面方程,得,如图可见， ，为自由液面下某点的水深。这样可得,二、液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转,一个半径为,R,的圆柱形容器内装有密度为 的液体，若容器以等角速度 绕中心铅垂轴旋转，这时容器内液体随容器作等角速度旋转运动。,建立如图所示的坐标系。原点,O,置于容器底部中心。,质量力：铅垂向下的重力；水平径向的离心力,代入流体平衡微分方程,分别讨论等压面和静水压强分布规律,1.,等压面,在等压面上，有 ，则,积分并化简,在液体随圆柱形容器绕定轴作等角速度旋转运动的情况下，包括自由液面在内的各等压面是,旋转抛物面,在自由液面上，当 ，即 时，有 ，则 ，从而,其中 为自由液面上半径为 处的任一,点,M,的高度，,静水压强分布规律,积分,或,取自由面上一点， ， ，,则有,考虑前面 表达式,如图可见,有,此式为在重力和离心惯性力作用下，液体处于相对平衡时内部静水压强分布表达式,问题：仅受重力作用；,受重力和水平方向惯性力作用,受重力和水平径向,(,x,y,),的离心力,第五节,平面上的静水总压力,前面讨论了静水压强的分布规律及点压强的计算方法,本节将讨论在重力作用下，静止液体作用于受压面上的静水总压力的计算问题,将按照力的三要素原则进行静水总压力的计算,本节将讲述平面问题，下节将讲述曲面问题,本节将讲述工程上求平面静水总压力的两种方法图解法和分析法,1,图解法,图解法就是利用静水压强分布图计算,矩形平面,上的静水总压力问题,对于作用在矩形平面上的静水压强，有 。,如图可见，说明液体内任一点的静水压强是随水深成直线变化的。,因此可用静水压强分布图来表示矩形平面上静水压强的大小和方向。,绘制静水压强分布图的规则是：,(1),按一定的比例，用线段的长度代表静水压强的大小；,(2),用箭头表示静水压强的方向。,利用静水压强分布图计算静水总压力的方法,设矩形闸门,AB,的宽度为,b,，并绘出静水压强分布图,ABC,，如图,闸门,AB,上的任意水深,h,处，取一微小面积 ，,其大小为 ，,微小面积 上的静水压强为 ，,静水总压力,作用在闸门,AB,上的静水总压力,P,为,又由下图知，静水压强分布图,ABC,的面积为,综合考虑上述两式，,有,总结,矩形平面上的静水总压力等于该平面上的静水压强分布图的面积与矩形平面的宽度的乘积,或者说,矩形平面上的静水总压力,等于该平面上的静水 压强分布图的体积,静水总压力的作用 点的计算,三角形 梯形,2,分析法,任意平面上所受的静水总压力的计算问题,如图所示，设任意平面,EF,，与水平面的夹角为 ，建立坐标,Ox,Oy,在平面,EF,上任选一点,M,，围绕,M,点取任意微小面积 。设,M,点的水深为,h,，沿坐标轴,Oy,距坐标轴,Ox,的距离为,y,。,M,点的静水压强为,微小面积上的静水总压力为,整个平面,EF,上的静水总压力为,整个平面,EF,上的静水总压力为,由材料力学知， 为面积,A,对,Ox,轴的一次矩,(,静面矩,),，并且,式中 表示平面,EF,形心点,C,至,Ox,轴的距离。有,或,作用于任意平面上的静水总,压力，等于该平面的,面积,和作用在其,形心,处的,静水,压强,的乘积,由材料力学知， 为面积,A,对,Ox,轴的二次矩,(,惯性矩,),静水总压力作用点的计算,设平面,EF,上的静水总压力,P,的作用点对,Ox,轴的距离为,各微小面积 上的静水总压力 对,Ox,轴的距离为,y,由合力矩定理：合力对一轴的矩等于各分力对同轴的矩的代数和。得,(1),右边,(2),引入惯性矩的平行移轴定理,其中 ， 为平面,EF,对通过形心,C,并与,Ox,轴平行的轴的惯性矩,则有,并且,(1),左边,可得作用点表达式,静水总压力的方向,由静水压强的特性知，静水总压力的方向是垂直指向作用面。,第六节,曲面上的静水总压力,在工程实践中,常遇到受压面为曲面的情况，如拱形坝面、弧形闸门、 输水管以及圆柱形或球形储油罐等等。,这类受压面一般可分为二向曲面,(,柱面类,),和三向曲面,(,球面类,),。,本节只分析受压面为二向曲面的静水总压力的计算问题，三向曲面的问题可用类似的方法进行分析计算。,曲面上各点的静水压强的方向互不平行,曲面的静水总压力的计算属于非平行力系问题,不能直接使用受压面为平面的静水总压力的计算方法,式中 是微小平面 在垂直面,(yoz,面,),上的投影面面积,是微小平面 在水平面,(,自由液面或其延长面,),上的投影面面积,如图所示一弧形闸门,EF,，面积为,A,，并建立坐标系 。,在闸门,EF,表面水深,h,处取一面积为 的微小平面。,其上作用着微小静水总压力,的方向是垂直指向作用面，并与,x,轴的夹角为,可分解为水平、垂直分力,通过投影方法，可将非平行力系问题转化为沿各轴向的平行力系问题。,也就是通过计算水平分力 ，垂直分力 得到曲面静水总压力,对 、 分别求积分可得水平分力 垂直分力,1,静水总压力的水平分力,作用于整个曲面上的静水总压力 的水平分力 可看作为无数个 的合力，则,同上一节， 为曲面 的垂直投影面 对水平轴,oy,的一次矩,(,静面矩,),。则有,式中 为曲面 的垂直投影面 的形心点在水下深度。于是，水平分力 为,上式表明，作用于曲面 上的静水总压力 的水平分力 等于作用于该曲面在垂直投影面上的静水总压力。,或者说可用上一节求平面静水总压力的方法来计算水平分力,2,静水总压力的垂直分力,作用于整个曲面上的静水总压力 的垂直分力 可看作为无数个 的合力，则,从上图可见， 为微小平面 与其在自由表面延长面上的投影面 之间的柱状体体积，而式中的 为整个曲面 与其在自由表面延长面上的投影面 之间的体积。由于此体积与曲面上的静水总压力的垂直分力有关，则称为压力体。以 表示，则有,这样垂直分力表达式可写成,上式表明，作用于曲面 上的静水总压力 的垂直分力 等于压力体与密度和重力加速度的乘积，或者说等于压力体内液体的重量。,垂直分力 的作用线通过压力体的形心点。,关于压力体,压力体是计算垂直分力的一个重要的概念,压力体只是一个数值当量，它不一定由实际液体所组成,虚压力体 实压力体,压力体边界,(1),受液体作用的曲面本身,(2),自由液面或自由液面的延长面,(3),由曲面的周边引至自由液面或自由液面的延长面的铅垂柱面,关于压力体绘制,3,静水总压力,根据力的合成定理，作用在曲面上的静水总压力为,静水总压力 的作用线必通过 和 的交点，这个交点不一定位于曲面上,