3.4函数的单调性与极值、最值

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.5 函数的单调性,与极值、最值,一、函数单调性及其判定,二、函数的极值及其求法,三、函数的最值及其求法,一、单调性的判别法,定理,例如,解：,注意,:,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,1 .,定理中的闭区间换成其它 区间,结论仍然成立,.,3.,使函数单调增（减）的区间，称为函数的单调,增（减）区间,.,注意,例,1,解,解,例,2,例3,解,+,不存在,单调减区间为,单调增区间为,当函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调，如何求函数的单调区间？,单调区间求法：,因为导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的,分界点,例4,解,0,0,+,+,单调增区间为,单调减区间为,用途：,利用单调性还可以,1证明不等式;,2确定某些方程实根的个数.,证明：,例5,例6,二、函数的极值及其求法,1.定义,:,设函数,f,(,x,),在 内有定义,如果对任意,极大值与极小值统称为,极值,.,均有,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,),是函数,f,(,x,),的一个,极大 值,(,f,(,x,),f,(,x,0,) ),(,小,),使函数取得极值的点称为,极值点,.,(小),说明：,1极值概念是局部概念,故极值是不唯一的,如图.,2最值概念是全局概念,最值是唯一的.,观察极值点处的特点,如图,如果有切线存在，且切线有确定 的斜率，则切线平行于,x,轴，即切线的斜率为零,.,2、函数极值的求法,定理,1,(,必要条件,),（2）,不可导点也可能是极值点，,注:（1）,可导的极值点必为,驻点，驻点不一定是极值点，,定理 2,(,极值的第一充分条件,),且在去心邻域,内有可导,(,是极值点情形,),(,不是极值点情形,),求极值的步骤,:,例7,.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求可能的极值点,令,得,导数不存在的点,3),列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,练习,解,极大值,定理,2,(,极值的第二充分条件,),二阶导数,且,则 在点 取极大值,;,则 在点 取极小值,.,注意：,例8,.,求函数,的极值,.,解,:,1),求导数,2),求驻点,令,得驻点,3),判别,练习：,解,图形如下,思考问题,最大值和最小值可能在什么样的点取到？,三、函数的最值,求最值的步骤:,1.,求驻点和不可导点,;,2.求区间端点、驻点、不可导点的函数值,3.比较大小,例9,解,计算,比较得,(1),f,(,x,),在,a, b,上连续 ，在(,a, b,)内可导且只有一个极值点,x,0,. 则,x,0,也是最值点，,f,(,x,0,) 是最值.,特例,x,y,0,a,b,y,x,0,a,b,x,0,x,0,(2) 若,f,(,x,),在,a, b,上连续 ，且在(,a,b,)内单调，则最大最小值在区间的端点取得.,a,b,x,y,0,a,b,x,y,0,在生产实践中，常常要考虑,在一定条件下，如何使产量最多、速度最快、质量最好、费用最省、效率最高等问题，这些问题在数学上就是求函数的最大与最小问题，运用数学方法可以帮助人们选择最优方案，达到预期的目的,.,最优化问题,(1),根据问题的假设和条件建立目标函数,y,=,f,(,x,),(2),求最优解：最值或最值点,.,作法：,（,3,）,例11：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？,做一个容积为,V,0,的带盖圆柱形铁皮桶，问当底半径,r,和高,h,各为多少时，能使所用材料最省？,(1),目标函数：表面积,V,0,r,h,S,= 2, r h,+, r,2,2,由条件, r,2,h,=,V,0,故,例6,解,(2),求解,:,令,S, (,r,)=0 得驻点,因驻点（极值点）唯一. 故r也是最小值点.,于是当,时，,S,最小,.,故所用材料能最省,.,此时,内容小结,2.,连续函数的极值,(1),极值可疑点,:,使导数为,0,或不存在的点,(2),第一充分条件,左,正右,负,为极,大,值,左负右,正,为极,小,值,(3),第二充分条件,为极,大,值,为极,小,值,1.,可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,