2.动量定理概述

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 动量定理,理论力学,1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非,常困难。,2、大量的问题中，不需要了解每一个质,点的运 动,仅需要研究质点系整体的运,动情况。,动力学普遍定理概述,对,质点,动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。,对,质点系,动力学问题： 理论上讲，,n,个质点列出3,n,个微分方,程， 联立求解它们即可。,实际上问题是,动力学,动力学普遍定理,以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。,本章中研究,质点和质点系的动量定理,，建立了,动量的改变与力的冲量之间的关系,，并研究质点系动量定理的另一重要形式,质心运动定理,。,动力学首先讨论,动力学普遍定理,(包括动量定理,、,动量矩定理,、,动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。,动力学,71,质点系的动量,72 动量定理与质心运动定理,73 动量守恒与质心运动守恒,74 变质量质点的运动微分方程,第七章 动量定理,动力学,一、质点系的质心,质点系的,质量中心,称为质心,。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。,7-1,质点系的动量,在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合,。可,采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置,。,动力学,质心,C,点的位置,：,（平行力系中心）,动力学,例1,曲柄,OA,以匀角速度,转动，滑块,B,沿,x,轴滑动。若取,OA,=,AB,=,l,OA,及,AB,皆为均质杆，质量皆为,m,1,，滑块,B,的质量为,m,2,，且,m,1,=,m,2,=,m,，求此系统的质心运动方程。,动力学,解：,设,t,=0时,OA,杆水平，则有,=,t,。,消去,t,得轨迹方程,动力学,二、质点系的动量,1.质点的动量,：质点的质量与速度的乘积,m,v,称为质点的动量。,是瞬时矢量，方向与,v,相同。单位是kg,m/s。,动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。,例,：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。,动力学,2.,质点系的动量：,质点系中所有各质点的动量的,矢量和,。,例：,动力学,质点系动量的计算：,投影形式：,如：,坦克的履带质量为,m,。设坦克前进速度为,v,，则履带的动量是多少？,答案：,方向：水平向右,动力学,3.刚体的动量,a,.,单个刚体,：,p,=,Mv,c,例：,动力学,b.,刚体系统的动量,：设第,i,个刚体 则整个系统：,动力学,例2,曲柄连杆机构的曲柄,OA,以匀,转动，设,OA=AB,=,l,曲柄,OA,及连杆,AB,都是匀质杆, 质量各为,m, 滑块,B,的质量也为,m,。,求,当,= 45时系统的动量。,解法：,（1）按 求解（2）按 求解,动力学,曲柄,OA,：,滑块,B,：,连杆,AB,： （,P,为速度瞬心,）,解：（解法一）,动力学,解：（解法二）,系统任意时刻的质心坐标为,按 求解,动力学,系统的动量沿,x,、,y,轴的投影,质心速度,故,由于,动力学,系统的动量为,动量的方向沿质心轨迹的切线方向。,将,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,，, ,t,= 45,代入,动力学,2,力是变矢量：（包括大小和方向的变化）,元冲量,：,冲量,：,1,力是常矢量：,三冲量,:,力与其作用时间的乘积称为力的冲量,3,合力的冲量,：等于各分力冲量的矢量和,冲量的单位：,与动量单位同,动力学,7-2,动量定理与质心运动定理,一质点的动量定理,质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力,质点的动量定理,二质点系的动量定理,对质点系内任一质点,i,，,动力学,对整个质点系,：,外力,：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。,内力,：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。,对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：,动力学,质点系的动量定理,即：质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所,有外力的矢量和。,投影形式,：,=,),(,e,ix,x,F,dt,dp,=,),(,e,iy,y,F,dt,dp,=,),(,e,iz,z,F,dt,dp,定理说明：,只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量。,动力学,投影形式,：,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,ix,e,x,x,dt,F,I,ix,p,p,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,iy,e,y,y,dt,F,I,iy,p,p,=,=,-,2,1,),(,),(,1,2,t,t,e,iz,e,z,z,dt,F,I,iz,p,p,在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上,的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和,积分形式,),(,1,2,e,i,I,p,p,=,-,e,i,p,i,e,I,dt,F,微分形式,),(,),(,d,d,=,=,动力学,例3 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质心 , ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力.,动力学,得,解,:,由,动力学,方向,:,动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力,本题的附加动约束力为,方向,:,电机不转时, , 称,静约束力,;,电机转动时的约束力称,动约束力,上面给出的是动约束力.,动力学,例4,流体流过弯管时， 在截面,A,和,B,处的平均流速分别为,求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量,Q,(m,3,/s)为常量， 密度为,(kg/m,3,）。,动力学,运动分析，设经过,时间后，流体,AB,运动到位置,ab,，,解：,取截面,A,与,B,之间的流体作为研究的质点系。,受力分析如图示。,由质点系动量定理；得,动力学,静反力 ， 动反力,计算 时，常采用投影形式,与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力,即,动力学,例如，一喷射水流以速度为4.5m/s沿水平方向射入一光滑固定叶板，如图所示，设水流的流量为0.05m3s，则流体所受的的动压力为,动力学,将 代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变,，,则 或,上式称为,质心运动定理,（或,质心运动微分方程,）。,质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1.,投影形式,：,三质心运动定理,动力学,注意：,质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。,对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上,。,2.,刚体系统：,设第,i,个刚体,m,i,，,v,Ci,，则有,或,或者,动力学,例5,电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为,m,1, 转子质量为,m,2, 转子的轴通过定子的质心,O,1, 但由于制造误差, 转子的质心,O,2,到,O,1,的距离为,e,。,求转子以角速度,作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束力。,动力学,解:,取整个电动机作为质点系研究，,分析受力：,受力图如图示,运动分析：,定子质心加速度,a,1,=0，,转子质心,O,2,的加速度,a,2,=,e,2,，,方向指向,O,1,。,动力学,根据质心运动定理，有,可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。,动力学,例6 均质曲柄,AB,长为,r,质量为,m,1,假设受力偶作用以不变的角速度,转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞,D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为,m,2,质心在点,C,.在活塞上作用一恒力,F,.不计摩擦及滑块,B,的质量,求:作用在曲柄轴,A,处的最大水平约束力,F,x,.,动力学,显然,最大水平约束力,为,应用质心运动定理,解得,解:如图所示,动力学,动力学,课堂练习1,试求图中各均质物体的动量。设各物体质量为,m,。,课堂练习2,行星轮系由均质的系杆,OA,、中心齿轮1、行星齿轮2及固定的内齿圈3组成。已知齿轮1、2的半径分别为,r,1,和,r,2,；质量分别为,m,1,和,m,2,，系杆的质量为,m,，以角速度绕轴,O,转动。求轮系的动量。,动力学,动力学,课堂练习3,质量为,m,1,的物体,A,，借助于滑轮装置和质量为,m,2,的物体,B,来提升。滑轮,D,和,E,的质量分别为,m,3,和,m,4,，质心与形心重合。物体,B,以加速度,a,下降，试求定滑轮,E,的轴承,O,的反力。绳索质量忽略不计。,R,=(,m,1,+m,2,+m,3,+m,4,)g+,(,m,1,-2,m,2,+,m,3,),a,动力学,课堂练习4,自动传送带运煤量为7200kg/h，胶带速度,v,=1.5m/s，求匀速度传动时，胶带作用于煤块上的总水平推力。,30N,动力学,课堂练习5,凸轮机构中，凸轮以等角速度,绕定轴,O,转动。质量为,m,2,的滑杆借右端弹簧拉力使其顶到凸轮上，当凸轮转动时滑杆作往复运动。设凸轮为一均质圆盘，质量为,m,1,，半径为,r，,偏心距为,e,。求在任意瞬时机座螺钉的总反力与附加动反力。,结束,动力学,