2证明三角形全等的基本思路

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,6. 如图M12-5，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面证明ABCDEF的过程和理由补充完整.,证明：BE=CF （），,BE+EC=CF+EC,即BC=EF.,在ABC和DEF中,AB=（），,=DF（），,BC=（），,ABCDEF （）.,已知,DE,已知,AC,已知,EF,已证,SSS,7. 如图M12-6，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为,_,.,8. 如图M12-7，ACBC，ADDB，下列条件中，能使ABCBAD的有,_,. （填序号）,ABD=BAC；DAB=CBA；AD=BC；DAC=CBD,(1，2),9. (2017武汉)如图M12-8，点C,F,E,B在一条直线上，CFD=BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论.,解：CDAB，CD=AB.,证明：CE=BF，CE-EF=BF-EF.,CF=BE.,在DFC和AEB中， CF=BE,CFD=BEA,DF=AE,DFCAEB(SAS). CD=AB，C=B.,CDAB.,10. (2017广州)如图M12-9，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF. 求证：ADFBCE.,证明：AE=BF，,AE+EF=BF+EF. AF=BE.,在ADF和BCE中，,AD=BC,A=B,AF=BE,ADFBCE(SAS).,11. 已知，如图M12-10，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点,求证：ACEBCD.,证明：ABC和ECD都是等腰直角,三角形，AC=BC，CD=CE.,ACB=DCE=90，,ACE+ACD=BCD+ACD.ACE=BCD.,在ACE和BCD中， AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD（SAS）.,12. (1)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，求证：AE=BD；,(2)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图M12-11中四对全等的直角三角形.,(1)证明：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，,AC=BC，DC=EC.,ACB+ACD=DCE+ACD.,BCD=ACE.,在ACE与BCD中，,AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD(SAS). AE=BD.,(2)解:AC=DC，AC=DC=EC=BC.,又ACB=DCE=90,ACBDCE(SAS). AB=DE.,由(1)可知,AEC=BDC，EAC=DBC,DOM=AON=90.,AEC=CAE=CBD，EMCBNC(ASA). CM=CN,DM=AN. AONDOM(AAS). AO=DO.,AB=DE，AO=DO，RtAOBRtDOE(HL).,四对全等的直角三角形为,RtACBRtDCE,RtEMCRtBNC,RtAONRtDOM,RtAOBRtDOE.,考点2,角的平分线的性质,1. 如图M12-12，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是(),A. PC=PD B. CPO=DOP,C. CPO=DPO D. OC=OD,2. (2017台州)如图M12-13，点P是AOB平分线OC上一点，PDOB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是( ),A. 2B. 3C. D. 4,B,3. 如图M12-14所示，在AOB的两边上截取AOBO，OCOD，连接AD,BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是( ),APCBPD；ADOBCO；AOPBOP；OCPODP.,A. B. ,C. D. ,A,4. 如图M12-15，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是( ),A. 15 B. 30,C. 45 D. 60,B,5. 如图M12-16，AC平分BAD，CMAB于点M，CNAN，且BMDN，则ADC与ABC的关系是( ),A. 相等 B. 互补,C. 和为150 D. 和为165,6. 已知ABC中，A=60，ABC,ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为,_,.,B,120,7. 如图M12-17，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，其三条角平分线的交点为O，则 =,_,.,8. 如图M12-18，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是,_,.,234,4,9. 如图M12-19，已知AD=CD，BD 平分ADC，A=C吗？试证明.,解：A=C.,证明: BD 平分ADC, ADB=CDB.,在ABD和CBD中, AD=CD,ADB=CDB,BD=BD,ABDCBD(SAS).,A=C.,10. 如图M12-20，RtABCRtDBF，ACBDFB90，D28，求GBF的度数.,解：RtABCRtDBF，,AD，ABDB，BCBF.,AFDC.,又AFGDCG90，,AFGDCG. FGCG.,又GFFB，GCCB，,BG平分ABD.,D28，,ABD90D62.,GBFABD31.,11. 如图M12-21，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是EAC的平分线,证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，,BED=CFD.,BDE与CDE是直角三角形.,在RtBDE和RtCDF中, EBCF,BDCD,RtBDERtCDF（HL）.,DE=DF.,DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，,AD是BAC的平分线,12. 如图M12-22，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，求EDF的面积.,解：如答图M12-1，作DM=DE交AC于点M，作DNAC交AC于点N.,DE=DG，DM=DG.,AD是ABC的角平分线，DFAB，DNAC，,DF=DN.,在RtDEF和RtDMN中， DF=DN,DE=DM,RtDEFRtDMN (HL).,EDF=MDN.,FAD+ADF=NAD+ADN=90,FAD=NAD,ADF=ADN.,又ADF=ADE+EDF,ADN=ADM+MDN,ADE=ADM.,在ADE和ADM中， EAD=MAD,AD=AD,ADE=ADM,ADEADM(ASA).,ADG和AED的面积分别为50和39，,考点3,全等三角形的应用,1. 有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和4 cm的木条各一根，再取第三根木条时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为( ),A. 一个人取长为6 cm的木条，一个人取长为8 cm的木条,B. 两人都取长为6 cm的木条,C. 两人都取长为8 cm的木条,D. B，C两种取法都可以,B,2. 如图M12-23，两棵大树间相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90，且EA=ED. 已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则小华走的时间是( ),A. 13 s B. 8 s C. 6 s D. 5 s,B,3. 如图M12-24，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是( ),A. BDCD B. BDCD,C. BDCD D. 不能确定,C,4. 如图M12-25，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(),A. 带去B. 带去,C. 带去D. 带和去,5. 如图M12-26，把两根钢条AA，BB,的中点连在一起，可以做成一个测量工,件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB,5 cm，则内槽宽为cm.,6. 如图M12-27，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从点B处出发，沿与AB成90角方向，向前走50 m到点C处立一根标杆，然后继续朝前走50 m到点D处，在点D处右转90，沿DE方向再走17 m，到达点E处，使点A，C，E在一条直线上，那么测得点A，B间的距离为,_,m.,17,7. 有一座锥形小山，如图M12-28，要测量锥形小山两端A,B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50 m，你能求出锥形小山两端A,B间的距离吗？,解：在DEC和ABC中，,CD=CA，,DCE=ACB，,CE=CB，,DECABC (SAS).,AB=DE=50(m).,8. 小强为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与楼之间选定一点P. 在P点仰望旗杆顶点C和高楼顶点A（身高忽略不计），测得视线PC与地面夹角DPC=36，视线PA与地面夹角APB=54，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m. 利用这些数据小强计算出了楼高，请问楼高AB是多少米？,解：在PCD和APB中，,PCD=90-36= 54=APB,PBCD，,CDP=90=PBA，,PCDAPB (ASA). AB=PD.,AB36-10=26.,答：楼高AB是26 m.,三角形全等证明的解题思路,全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等,.,A,B,C,E,F,D,A,C,B,D,D,C,B,A,D,E,D,E,类型一：全等三角形的基本模型,(,平移型、翻折型、旋转型,),如图，点,B,、,E,、,C,、,F,在同一直线上，如果,AB,=,DE,，,BE,=,CF,，,ABDE,，求证：,AC,DF.,证明：,ABDE,ABC,DEF,BE,CF,BE,EC,CF,EC,BC,=,EF,在,ABC,和,DEF,中,AB,=,DE,ABC,=,DEF,BC,=,EF,ABC,DEF,(,SAS,),AC,=,DF,类型一：全等三角形的基本模型,(,平移型、翻折型、旋转型,),如图,A,、,B,分别为,OM,、,ON,上的点,点,P,在,AOB,的平分线上,且,PAM,PBN,求证,:,AO,BO,证明：,PAM,PBN,PAO,PBO,点,P,在,AOB,的平分线上,MOP,NOP,在,AOP,和,BOP,中,PAO,PBO,MOP,NOP,OP,OP,AOP,BOP,(,AAS,),AO,BO,类型一：全等三角形的基本模型,(,平移型、翻折型、旋转型,),如图,已知四边形,ABCD,中,AB,CD,且,AB,CD,连接,BD,在,BD,上截取,BE,DF,连接,AE,CF,.,求证,:,AE,CF,证明：,AB,CD,ABE,CDF,在,ABE,和,CDF,中,AB=CD,ABE,=,CDF,BE,=,DF,ABE,CDF,(,SAS,),AE,CF,两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法,.,方法总结,三角形全等证明的解题思路,与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用“截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题,.,类型二：,线段和差问题的证明,如图，已知,ABC,中，,BAC,90,，,AB,AC,，点,P,为,BC,边上一动点,(,BP,CP,),，分别过,B,、,C,作,BE,AP,于,E,，,CF,AP,于,F,.,等线段代换,求证：,EF,CF,BE,；,如图，已知,ABC,中，,BAC,90,，,AB,AC,，点,P,为,BC,边上一动点,(,BP,CP,),，分别过,B,、,C,作,BE,AP,于,E,，,CF,AP,于,F,.,求证：,EF,CF,BE,；,证明：,BAC,90,BAE,CAF,90,BE,AE,BAE,ABE,90,CAF,ABE,CF,AP,，,BE,AE,AEB,CFA,在,ABE,和,CAF,中,ABE,CAF,AEB,CFA,AB,AC,ABE,CAF,CF,AE,，,AF,BE,EF,AE,AF,CF,BE,类型二：,线段和差问题的证明,二,截长补短法,如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,A,与,B,的平分线交于点,E,，点,E,在,CD,上，求证：,AD,BC,AB,如图，在四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,A,与,B,的平分线交于点,E,，点,E,在,CD,上，求证：,AD,BC,AB,证明：,在,AB,上截取线段,AF,AD,，,1,2,AE,AE,ADE,AFE,(,SAS,),D,=5,AD,BC,D,C,180,而,5,6,180,，,6,C,又,3,4,BE,BE,BCE,BFE,(,AAS,),BF,BC,AD,BC,AF,BF,AB,.,截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择,.,添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系,.,动态变化中的全等三角形,全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律,.,类型一：,动点变化,已知：,AB,BD,，,ED,BD,，,垂足分别为,B,、,D,，,点,C,为,BD,上一动点且满足,BC,DE,，,AB,CD.,试猜想线段,AC,与,CE,的,数量,关系，并证明你的结论,.,已知：,AB,BD,，,ED,BD,，,垂足分别为,B,、,D,，,点,C,为,BD,上一动点且满足,BC,DE,，,AB,CD,试猜想线段,AC,与,CE,的,数量,关系，并证明你的结论,.,解：,AC,CE,，理由如下：,AB,BD,，,ED,BD,B,D,90,在,ABC,和,CDE,中,BC,DE,，,B,D,AB,CD,ABC,CDE,AC,CE.,类型一：,动点变化,已知，如图，,EF,分别为线段,AC,上的两个动点，且,DE,AC,于,E,点，,BF,AC,于,F,点，若,AB,CD,，,AF,CE,，,BD,交,AC,于,M,点，,求证：,MB,MD,，,ME,MF,；,当,E,、,F,两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由,.,已知，如图，,EF,分别为线段,AC,上的两个动点，且,DE,AC,于,E,点，,BF,AC,于,F,点，若,AB,CD,，,AF,CE,，,BD,交,AC,于,M,点，,求证：,MB,MD,，,ME,MF,；,证明,：,DE,AC,，,BF,AC,AB,CD,，,AF,CE,，,ABM,CDE,BF,DE,由,DE,AC,，,BF,AC,得,BFM,DEM,又,BMF,DME,BF,DE,BFM,DEM,MB,MD,，,ME,MF,当,E,、,F,两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由,.,解：仍然成立,.,理由如下：,DE,AC,，,BF,AC,AB,CD,，,AF,CE,，,ABF,CDE,BF,DE,由,DE,AC,，,BF,AC,得,BFM,DEM,90,又,BMF,DME,BF,DE,BFM,DEM,MB,MD,，,ME,MF,以上例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然全等,.,方法总结,动态变化中的全等三角形,我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等变换，所得三角形还会全等吗？,类型二：,图形变换,如图,1,，,A,、,B,、,C,、,D,在同一直线上，,AB,CD,，,DE,AF,，且,DE,AF,，,求证：,AFC,DEB,如果将,BD,沿着,AD,边的方向平行移动，如图,2,，,B,点在,C,点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由,.,一,、,平移,如图，,A,、,B,、,C,、,D,在同一直线上，,AB,CD,，,DE,AF,，且,DE,AF,，,求证：,AFC,DEB,如图，,A,、,B,、,C,、,D,在同一直线上，,AB,CD,，,DE,AF,，且,DE,AF,，,求证：,AFC,DEB,证明：,DE,AF,A,D,AB,CD,AB,BC,CD,BC,即,AC,BD,在,AFC,和,DEB,中,AC=BD,A=,D,DE,AF,AFC,DEB,A,E,D,B,C,F,如果将,BD,沿着,AD,边的方向平行移动，如图,2,，,B,点在,C,点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由,.,解：成立，理由如下：,DE,AF,A,D,AB,CD,AB,BC,CD,BC,即,AC,BD,在,AFC,和,DEB,中,AC=BD,A=,D,DE,AF,AFC,DEB,二、旋转,已知，在,ABC,中，,AB,AC,，点,P,平面内一点，将,AP,绕,A,顺时针旋转至,AQ,，使,QAP,BAC,，连接,BQ,、,CP,，,若点,P,在,ABC,内部，求证,BQ,CP,；,若点,P,在,ABC,外部，以上结论还成立吗？,已知，在,ABC,中，,AB,AC,，点,P,平面内一点，将,AP,绕,A,顺时针旋转至,AQ,，使,QAP,BAC,，连接,BQ,、,CP,，,若点,P,在,ABC,内部，求证,BQ,CP,；,证明：,QAP,BAC,QAP,BAP,BAC,BAP,即,QAB,PAC,另由旋转得,AQ,AP,在,AQB,和,APC,中,AQ,AP,QAB,PAC,AB,AC,AQB,APC,BQ,CP,若点,P,在,ABC,外部，以上结论还成立吗？,证明：,QAP,BAC,QAP,BAP,BAC,BAP,即,QAB,PAC,另由旋转得,AQ,AP,在,AQB,和,APC,中,AQ,AP,QAB,PAC,AB,AC,AQB,APC,BQ,CP,三,、,翻折,如图所示，,ABE,和,ADC,是,ABC,分别沿着,AB,、,AC,边翻折,180,形成的，若,BAC,150,，则,的度数是,_.,如图所示，,ABE,和,ADC,是,ABC,分别沿着,AB,、,AC,边翻折,180,形成的，若,BAC,150,，则,的度数是,_.,解：由题意得,BAC,BAE,DAC,EBA,ABC,ACB,ACD,根据三角形内角和定理得,ABC,ACB,180,BAC,180,150,30,EBC,DCB,2(,ABC,ACB,),230,60.,平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形仍然全等,.,