2.5.1-平面几何中的向量方法(使用)

,2.5,平面向量应用举例,2.5.1,平面几何中的向量方法,复习,3,已知,a,(5,10),，,b,(,3,，,4),，,c,(2,3),，且,c,l,a,k,b,，则,l,_,，,k,_.,由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用,.,1,向量在平面几何中的应用,向量在平面几何中的应用主要有以下方面：,(1),证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义,(2),证明线段平行、三角形相似，判断两直线,(,或线段,),是否平行，常运用向量平行,(,共线,),的条件：,_,a,b,a,b,(,或,x,1,y,2,x,2,y,1,0),(3),证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线,(,线段,),是否垂直等，常运用向量垂直的条件：,_,(4),求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式,_.,(5),向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题,a,b,a,b,0(,或,x,1,x,2,y,1,y,2,0),思考,1,如图，在平行四边形,ABCD,中，已知,AB=2,，,AD=1,，,BD=2,，那么对角线,AC,的长是否确定？,A,B,C,D,思考,2:,在平行四边形,ABCD,中，设向量,则向量 等于什么？向量 等于什么？,A,B,C,D,A,B,C,D,例,1.,平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图,2.5-1,， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？,A,B,C,D,图,2.5-1,平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍,.,（,1,）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；,（,3,）把运算结果,“,翻译,”,成几何元素,.,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,总结,几何问题向量化,向量运算关系化,向量关系几何化,变式 2、,例,2.,如图,2.5-2,，,ABCD,中，点,E,、,F,分别是,AD,、,DC,边的中点，,BE,、,BF,分别与,AC,交于,R,、,T,两点，你能发现,AR,、,RT,、,TC,之间的关系吗？,A,B,D,E,F,R,T,C,猜想：,AR=RT=TC,图,2.5-2,由于 与 共线，故设,因为,又因为 共线，,所以设,因为,所以,A,B,D,E,F,R,T,C,图,2.5-2,利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求,m,、,n,的值，是处理线段长度关系的一种常用手段,.,总结,变式 3、,例,3.,若正方形,OABC,的边长为,1,，点,D,、,E,分别为,AB,、,BC,的中点，试求,A,B,C,O,解：,以,O,为坐标原点，以,OA,、,OC,所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，,分析：,建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角,.,探究二（角度问题）,E,D,A,B,C,O,E,D,建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁,.,总结,如右图所示，在正方形,ABCD,中，,P,为对角线,AC,上任一点，,PE,AB,，,PF,BC,，垂足分别为,E,，,F,，连接,DP,、,EF,，求证：,DP,EF,.,A,1.,用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题,.,2.,要掌握向量的常用知识,共线；垂直；模；夹角；向量相等,.,变式4、,