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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,湖南省长沙市一中卫星远程学校,*,湖南省长沙市一中卫星远程学校,湖南省长沙市一中卫星远程学校,*,2.4,等比数列,如果能将一张厚度为,0.05,mm,的报纸对折，再对折，再对折,依次对折,50,次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？,情境一,:,折纸,问题情境,:,对折一次,对折二次,对折三次,对折四次,.,对折,次,对折纸的,次数,纸的,层数,.,.,情境二,:,庄子,天下篇,中写到：,“,一尺之棰，日取其半，万世不竭,”,。,设木棰长度为,1,木棰长度,第一天取半,第二天取半,第三天取半,第四天取半,.,.,.,第 天取半,观察上述情境中得到的这几个数列，看有何共同特点,?,2, 4, 8, 16,;,共同特点：,从,第二项,起，每一项与,前一项,的,比,都等于,同一个常数,1, 20, 20,2, 20,3,；,-2, 2, -2, 2,. ,讲授新课,1.,等比数列的定义,:,一般地，若一个数列从,第二项,起，每一项与它的,前一项,的,比,等于,同一个常数,，这个数列就叫做,等比数列,.,这个,常数,叫等比数列的,公比,，用字母,q,表示,.,(,q,0),2.,等比数列定义的符号语言,:,(,q,为常数，且,q,0,；,n,2,且,n,N*,),或,(,q,为常数，且,q,0,；,n,N*,),(1),1,，,3,，,9,，,27,，,(3),5,，,5,，,5,，,5,，,(4),1,，,-1,，,1,，,-1,，,(2),(5),1,，,0,，,1,，,0,，,练 习,判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项,a,1,和公比,q,如果不是，说明理由。,是,是,是,是,a,1,=1,q,=3,a,1,=5,q,=1,a,1,=1,q,= -1,不是,(6),0,，,0,，,0,，,0,，,(7),1,a, a,2, a,3, ,(8),x,0,x, x,2, x,3, ,(9),1,，,2,，,6,，,18,，,不是,不是,小结：,判断一个数列是不是等比数列，主要是由定义进行判断：,a,1,=,x,0,q,=,x,是,不是,看 是不是同一个常数？,注意：,(2),公比,q,一定是由,后项比前项,所得，而不,能用前项比后项来求，且,q,0,；,(1),等比数列,a,n,中,a,n,0,；,(3),若,q,1,，则该数列为,常数列,(4),常数列,a, a , a ,a ,时,既是等差数列，又是等比数列,;,时,只是等差数列，而不是等比数列,.,思考：,如果在,a,与,b,的中间插入一个数,G,，使,a,G,b,成等比数列，那么,G,应该满足什么条件？,反之，若,即,a,G,b,成等比数列,.,a,G,b,成等比数列,则,(,ab,0),分析：,由,a,G,b,成等比数列得：,(,ab,0),如果在,a,与,b,中间插入一个数,G,，使,a,G,，,b,成等比数列，那么称这个数,G,为,a,与,b,的,等比中项,.,3.,等比中项：,即：,注意：,若,a,，,b,异号则无等比中项,若,a,，,b,同号则有两个等比中项,.,练习,：,2,、等比数列的通项公式：,法一：归纳法,由此归纳等比数列的通项公式可得：,等比数列,等差数列,由此归纳等差数列,的通项公式可得：,类比,2,、等比数列的通项公式：,累乘法,共,n, 1,项,）,等比数列,法二：累加法,+,）,等差数列,类比,拓展：,可得,可得,等差数列,等比数列,类比,等比数列 注意：,（,1,）等比数列的首项不为,0,；,（,2,）等比数列的每一项都不为,0,，即,（,3,）,q=1,时，, ,为常数列；,以,a,1,为首项，,q,为公比的等比数列,a,n,的通项公式为：,4.,等比数列的通项公式：,5.,等比数列通项公式的推广：,7.,等比数列通项公式的应用：知三求一,6.,等比数列的公比公式：,例、一个等比数列的第,3,项与第,4,项分别是,12,与,18,求它的第,1,项与第,2,项,.,解：设这个等比数列的第,1,项是,公比是,q,，那么,解得， ，,因此,答：这个数列的第,1,项与第,2,项分别是 与,8.,练习：,求下列各等比数列的通项公式：,a,1,5,且,2,a,n,1,3a,n,.,课堂小结,从第,2,项起,每一项与它,前,一项的,差,等于,同一个常数,公差,(,d,),d,可正、可负、可零,从第,2,项起,每一项与它,前,一项的,比,等于,同一个常数,公比,(,q,),q,可正、可负、,不可零,练习,在等比数列,a,n,中，,且,q=2,，求,a,1,和,n.,判断等比数列的方法,:,1,、定义法,2,、等差中项法,例、,有三个数成等比数列，若它们的积,等于,64,，和等于,14,，求此三个数？,注意：,等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,练习：已知三个数成等比数列，它们的积为,27,，,它们的立方和为,81,，求这三个数。,例、,有四个数，若其中前三个数成等比数列，,它们的积等于,216,，后三个数成等差数列，它们,的和等于,12,，求此四个数？,注意：,等比数列中若四个数成等比数列，,不能,设为,因为这种设法表示公比大于零！,练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是,16,，第二个数与第三个数的和是,12,，求这四个数。,可以设这,四个数为,a,b,c,d,15,9,3,1,或,0,4,8,16,结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列,证明：设数列 的公比为,p,， 的公比为,q,，那么数列 的第,n,项与第,n+1,项分别为 与 ，即 与 ,因为,它是一个与,n,无关的常数，所以是一个以,pq,为公比的等比数列,特别地,，,如果是 等比数列，,c,是不等于的常数，那么数列 也是等比数列,探究,对于例中的等比数列与，数,列也一定是等比数列吗？,是,a,若,a,n,b,n,是项数相同的等比数列，,都是等比数列,则,a,n,b,n,和,b,若,a,n,是等比数列，,c,是不等于,0,的常数，,那么,ca,n,也是等比数列,等比数列的性质,性质,:,在等比数列 中， 为公比，,若 且,那么：,等比数列的性质,推论,:,在等比数列 中， 为公比，,若 且,那么：,特殊地,:,7.,三个数成等比的设法：,a/q,a,aq,；四个数成等比的错误设法：,a/q,3,a/q,aq,aq,3,(,为什么？,),8.,等比数列,a,n,的任意等距离的项构成的数列,仍为,等比数列。,9.a,n,为等差数列，则,(c0),是等比数列。,10.b,n,（,b,n,0,）是等比数列，则,log,c,b,n, (c0,且,c ,1,),是等差数列。,典型例题：,除,典型例题：,变式、在,160,与,5,中间插入,4,个数，使它们同这两个数成,等比数列,典型例题：,变式、在,160,与,5,中间插入,4,个数，使它们同这两个数成,等比数列,
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