2投影的基本知识教程

,*,2,投影的基本知识,2.1,投影的形成和分类,2.2,工程中常用的几种投影图,2.3,正投影的特性与基本原理,2.4,点、直线、平面的投影,2.1,投影的形成和分类,2.1.1,投影的形成,2.1.2,投影的分类,投影三要素,投射线,形体,投影面,2.1.1,投影的形成,投影法,中心投影法,平行投影法,斜投影法,正投影法,2.1.2,投影的分类,中心投影,中心投影法,投射线汇交于一点的投影法。,P,S,2.1.2,投影的分类,斜投影,P,斜投影法,投影方向倾斜于投影面。,S,2.1.2,投影的分类,正投影,P,正投影法,投影方向垂直于投影面。,S,2.1.2,投影的分类,2.2,工程中常用的几种投影图,2.2,工程中常用的几种投影图,多面正投影图,2.2,工程中常用的几种投影图,轴测投影图,2.2,工程中常用的几种投影图,建筑效果图,2.2,工程中常用的几种投影图,标高投影图,2.3,正投影的特性与基本原理,2.3.1,正投影的特性,2.3.2,正投影图的原理,2.3.1,正投影的特性,当直线平行于投影面时，其投影反映实长；,当平面平行于投影面时，其投影反映实形。,B,A,a,b,e,c,C,D,E,d,P,真实性,a(b),B,A,当直线垂直于投影方向时，其投影积聚为一点。,当平面垂直于投影方向时，其投影积聚为一直线。,P,e,c,C,D,E,d,2.3.1,正投影的特性,积聚性,点的投影仍然是点。,直线的投影一般还是直线。,平面图形的投影一般是原图形的类似形。,S,P,A1,A,a,A2,2.3.1,正投影的特性,类似性,P,A,B,a,b,C,D,c,d,若空间两直线互相平行，则其同面投影也互相平行。,2.3.1,正投影的特性,平行性,W,H,V,X,O,Y,投影轴,X,、,Y,、,Z,原 点,O,Z,2.3.2,正投影图的原理,三面投影体系的建立,三投影面, H,、,V,、,W,H ,水平面,V ,正立面,W ,侧立面,2.3.2,正投影图的原理,三面投影体系的建立,水平投影：从上向下投影,正面投影：从前向后投影,侧面投影：从左向右投影,可见轮廓线：,实线,不可见轮廓线：,虚线,V,W,H,X,Z,Y,O,虚线,移去物体,V,面不动,H,面连同水平投影绕,X,轴向下旋转,W,面连同侧面投影绕,Z,轴向右旋转,V,W,H,X,Z,Y,O,X,Z,Y,W,O,H,V,W,Y,H,H,W,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的展开,V,W,H,X,Z,Y,W,Y,H,O,正面投影：,左上方,水平投影：正面投影的正下方,侧面投影：正面投影的正右方,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的展开,V,W,H,X,Z,Y,W,Y,H,O,投影面边框一般不画,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的展开,V,W,H,X,Z,Y,W,Y,H,O,投影轴线也可不画,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的展开,X,轴向尺寸（左右）,长度,Y,轴向尺寸（前后）,宽度,Z,轴向尺寸（上下）,高度,正面投影：反映长度和高度,水平投影：反映长度和宽度,侧面投影：反映高度和宽度,V,W,H,X,Z,Y,O,度量对应关系,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的投影规律,长,宽,宽,高,正面投影：反映长度和高度,水平投影：反映长度和宽度,侧面投影：反映高度和宽度,度量对应关系,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的投影规律,长,宽,宽,高,度量对应关系,长 对 正,高 平 齐,宽 相 等,2.3.2,正投影图的原理,三面投影图的投影规律,2.4,点、直线、平面的投影,2.4.1,点的投影,2.4.2,直线的投影,2.4.3,平面的投影,2.4.4,直线与平面、平面与平面的相对位置,2.4.1,点的投影,2.4.1.1,点的三面投影及其特性,.2,两点的相对位置,2.4.1.1,点的三面投影及其特性,V,W,H,X,Z,Y,O,A,a,a,a,a,X,a,Y,a,Z,空间点,A,H,面投影,a,V,面投影,a,W,面投影,a,点的三面投影,X,Z,Y,W,O,Y,H,H,W,V,a,H,a,W,a,移去空间点,V,面不动,H,面连同水平投影绕,X,轴向下旋转,W,面连同侧面投影绕,Z,轴向右旋转,V,W,H,X,Z,Y,O,A,a,a,a,a,x,a,y,a,z,2.4.1.1,点的三面投影及其特性,点的三面投影,V,W,H,X,Z,Y,O,A,a,a,a,a,X,a,Y,a,Z,V,W,H,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,a,X,a,Z,a,YH,a,YW,点的投影连线垂直于相应的投影轴,点的,H,面投影与,V,面投影的连线垂直于,OX,轴,a,a,OX,点的,V,面投影与,W,面投影的连线垂直于,OZ,轴,a,a,OZ,2.4.1.1,点的三面投影及其特性,点的三面投影的特性,V,W,H,X,Z,Y,O,A,a,a,a,a,X,a,Y,a,Z,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,a,X,a,Z,a,YH,a,YW,某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离,a,a,Z,= a,a,YH,=Aa,点到,W,面的距离,aa,X,= a,a,Z,=Aa,点到,V,面的距离,a,a,X,= a,a,YW,=Aa,点到,H,面的距离,2.4.1.1,点的三面投影及其特性,点的三面投影的特性,【,例,2-1】,已知,A,点的,H,面投影,a,和,V,面投影,a,，求,A,点的,W,面投影,a,。,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,2.4.1.2,两点的相对位置,点的坐标,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,a,x,a,y,a,z,V,W,H,Z,Y,O,A,a,a,a,a,x,a,y,a,z,X,45,a,y,y,A,x,A,z,A,x,y,z,H,面投影反映,x,、,y,坐标，即,a,（,x,，,y,）,V,面投影反映,x,、,z,坐标，即,a,（,x,，,z,）,W,面投影反映,y,、,z,坐标，即,a,（,y,，,z,）,z,A,x,A,y,A,x,A,z,A,y,A,Y,W,b,X,Z,b,b,O,Y,H,Z,X,Y,O,W,V,a,B,H,A,a,a,b,b,b,C,c,c,c,a,a,a,c,c,c,投影面上的点,在该投影面上的投影与空间点自身重合，,另外两个面上投影在相应的坐标轴上。,2.4.1.2,两点的相对位置,点的一个坐标为,0,Y,X,H,V,W,O,f,e,d,d,D,e,E,f,F,d,e,f,Z,投影轴上的点,在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，,另一投影面上的投影与坐标原点重合。,d,d,d,X,O,Z,Y,H,Y,W,f,f,f,e,e,e,2.4.1.2,两点的相对位置,点的两个坐标为,0,a,a,a,20,a,x,a,z,a,y,15,10,X,Z,Y,W,Y,H,O,【,例,2-2】,已知点,A(20,10,15),，求点,A,的三面投影图。,A,O,V,W,H,Z,Y,X,B,根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置,两点的左右关系，,X,坐标大在左，小的在右；,两点的前后关系，,Y,坐标大在前，小的在后；,两点的上下关系，,Z,坐标大在上，小的在下。,b,b,b,a,a,a,Y,W,X,Z,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,2.4.1.2,两点的相对位置,两点的相对位置,【,例,2-3】,已知,A,点在,B,点的右方,10,、前方,6,、上方,8,，求,A,点的投影。,8,10,6,Y,W,X,Z,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,b,( ),当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的,重影点,。,O,V,W,H,Z,Y,X,B,b,b,A,a,a,a,2.4.1.2,两点的相对位置,重影点及其可见性,b,( ),O,V,W,H,Z,Y,X,B,b,b,A,a,a,a,Y,W,X,Z,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,( ),不可见的投影字母加括号（ ）表示,判断的基本原则,看第三坐标，大者可见,2.4.1.2,两点的相对位置,重影点及其可见性,X,b,( c,),O,V,W,H,Z,Y,X,B,C,b,c,c,b,Y,W,Z,Y,H,O,b,b,c,c,b,( c,),前遮后,上遮下,左遮右,2.4.1.2,两点的相对位置,重影点及其可见性,2.4.2,直线的投影,2.4.2.1,投影面垂直线,.2,投影面平行线,.3,一般位置直线,.4,直线上的点,.5,两直线的相对位置,2.4.2.1,投影面垂直线,铅垂线,H,，,/,V,、,W,正垂线,V,，,/,H,、,W,侧垂线,W,，,/,H,、,V,垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面,铅垂线,TL,TL,a(b),O,Y,W,X,Z,Y,H,a,a,b,b,a(b),b,O,V,W,H,Z,Y,X,B,A,b,a,a,a(b),投影特性,H,积聚为一点,V,、,W,反映实长，,/,OZ,倾角,90,0,2.4.2.1,投影面垂直线,正垂线,d,O,V,W,H,Z,Y,X,D,C,c,(,d,),c,d,c,TL,TL,O,Y,W,X,Z,Y,H,c,d,c,d,c,(,d,),投影特性,V,积聚为一点,H,、,W,反映实长，,/,OY,倾角,90,0,2.4.2.1,投影面垂直线,侧垂线,O,V,W,H,Z,Y,X,F,E,e,e,(,f,),f,e,f,TL,TL,O,Y,W,X,Z,Y,H,e,f,e,f,e,(,f,),投影特性,W,积聚为一点,V,、,H,反映实长，,/,OX,倾角,90,0,2.4.2.1,投影面垂直线,侧垂线,O,V,W,H,Z,Y,X,F,E,e,e,(,f,),f,e,f,TL,TL,O,Y,W,X,Z,Y,H,e,f,e,f,e,(,f,),投影面垂直线的投影特性：,在所垂直的投影面上的投影积聚为一点,在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长,TL,2.4.2.1,投影面垂直线,水平线,/,H,，,V,、,W,正平线,/,V,，,H,、,W,侧平线,/,W,，,H,、,V,平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面,2.4.2.2,投影面平行线,水平线,TL,O,V,W,H,Z,Y,X,B,A,b,b,b,a,a,a,O,Y,W,X,Z,Y,H,a,a,a,b,b,b,投影特性,H,反映实长,反映,、,倾角,V,、,W,长度小于实长,OZ,2.4.2.2,投影面平行线,正平线,O,V,W,H,Z,Y,X,c,c,c,d,d,d,投影特性,V,反映实长,反映,、,倾角,H,、,W,长度小于实长,OY,O,Y,W,X,Z,Y,H,d,d,d,c,c,c,TL,2.4.2.2,投影面平行线,侧平线,O,V,W,H,Z,Y,X,F,E,f,f,e,O,Y,W,X,Z,Y,H,e,e,e,f,f,f,TL,投影特性,W,反映实长,反映,、,倾角,V,、,H,长度小于实长,OX,2.4.2.2,投影面平行线,投影面平行线的投影特性：,在所平行的投影面上的投影反映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角,另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长,侧平线,O,V,W,H,Z,Y,X,F,E,f,f,e,O,Y,W,X,Z,Y,H,e,e,e,f,f,f,TL,2.4.2.2,投影面平行线,与三个投影面均倾斜,O,Y,W,X,Z,Y,H,a,a,a,b,b,b,O,V,W,H,Z,Y,X,B,A,b,b,b,a,a,a,2.4.2.3,一般位置直线,O,Y,W,X,Z,Y,H,b,b,b,a,a,a,O,V,W,H,Z,Y,X,A,B,a,a,a,b,b,b,投影特性：,三个投影均倾斜于投影轴,投影长度小于实长,2.4.2.3,一般位置直线,b,a,b,a,Z,Z,TL,Z,B,A,b,a,b,a,A,1,TL,O,V,H,Z,Y,X,O,X,直角三角形法求实长和,2.4.2.3,一般位置直线,直角三角形法求实长和,B,A,b,a,a,B,1,Y,TL,O,V,H,Z,Y,X,b,b,a,b,a,Y,Y,TL,O,X,2.4.2.3,一般位置直线,O,V,H,X,a,A,B,a,b,b,Z,Y,K,k,k,k,W,从属性,若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上。,Y,W,O,X,Z,Y,H,b,b,b,a,a,a,a,b,k,k,k,定比性,若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。,AK:KB = ak:kb = a,k,: k,b,= a,k,:,k,b,2.4.2.4,直线上的点,【,例,2-4】,已知,AB,上一点,C,的,H,面投影,c,，,求,V,面投影,c,。,b,a,a,b,c,c,O,X,b,1,c,1,定比性,【,例,2-5】,判断点,K,是否在侧平线,AB,上。,b,a,a,b,a,b,从属性,k,k,k,O,X,Y,W,Z,Y,H,b,a,a,b,定比性,k,k,O,X,b,1,k,1,【,例,2-5】,判断点,K,是否在侧平线,AB,上。,W,a,c,Z,V,C,a,O,A,d,D,b,c,d,b,Y,c,b,B,d,a,H,X,Z,c,d,b,a,d,b,c,c,d,a,b,X,Y,W,a,O,Y,H,投影特性,两直线的同面投影相互平行；,两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线平行,W,a,c,Z,V,C,a,O,A,d,D,b,c,d,b,Y,c,b,B,d,a,H,X,Z,c,d,b,a,d,b,c,c,d,a,b,X,Y,W,a,O,Y,H,已知,AB/CD,，,则,ab/cd , a,b,/ c,d, a,b,/,c,d,AB:CD = ab:cd = a,b,: c,d,= a,b,:,c,d,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线平行,判断两直线是否平行,对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；,对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。,b,a,a,b,d,c,d,c,X,O,b,c,b,d,a,c,a,O,X,d,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线平行,b,a,c,d,a,b,d,c,d,c,a,b,【,例,2-6】,（,a,）已知两侧平线,AB,和,CD,判断,AB,和,CD,是否平行,。,【,解一,】,作出第三投影,【,解二,】,字母顺序一样,投影长度成比例,Z,X,Y,W,O,Y,H,f,e,g,h,e,f,h,g,g,h,e,f,【,例,2-6】,（,b,）已知两侧平线,EF,和,GH,判断,EF,和,GH,是否平行,。,Z,X,Y,W,O,Y,H,【,解一,】,作出第三投影,【,解二,】,EF,和,GH,的,V,、,H,投影字母顺序不一样，,EF,和,GH,的指向不一致,空间两直线相交 三个同面投影均相交，,并且交点符合点的投影特性。,X,d,b,c,a,c,b,a,d,a,b,d,c,k,k,k,Y,W,Y,H,O,Z,V,H,A,Z,Y,B,D,C,d,a,c,b,W,c,d,b,a,d,c,a,b,k,k,k,K,O,X,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线相交,c,d,d,c,d,c,b,a,b,a,a,b,k,k,k,Z,X,Y,W,O,Y,H,【,例,2-7】,已知两直线,AB,和,CD,判断,AB,和,CD,是否相交,。,【,解一,】,作出第三投影,【,解二,】,a,k,:,k,b,ak,:,kb,两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线,V,H,D,B,C,A,d,d,c,c,a,a,b,b,O,X,Y,Z,b,a,b,a,c,d,c,d,X,O,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线交叉,可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。,和平行的区别,可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合点的投影特性。,和相交的区别,两直线交叉的投影特性,：,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线交叉,V,H,3,4,( ),D,B,C,A,d,d,c,c,a,a,b,b,1 2,3,4,1,2,( ),d,c,d,c,a,b,a,b,3,4,3,4,1,2,1 2,( ),( ),O,X,Y,Z,判断重影点的可见性,2.4.2.5,两直线的相对位置,直角投影定理：,若空间两直线,垂直，且有一条,平行于,某,一投影面，那么在,该,投影面上的投影仍然反映直角。,AB,BC,AB,Bb,AB,平面,BbcC,有,AB,bc,又,AB,ab,故,ab,bc,H,A,C,B,a,c,b,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线垂直,直角投影定理的逆定理：,若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于,该,投影面，则两直线必垂直。,H,A,C,B,a,c,b,c,O,a,b,c,a,b,X,2.4.2.5,两直线的相对位置,两直线垂直,【,例,2-8】,已知直线,AB,和点,C,的两面投影,求,C,点到,AB,的距离。,X,O,a,a,b,b,c,c,d,d,距离,【,例,2-9】,求交叉直线,AB,和,CD,的距离,MN,实长及其投影。,X,O,a,b,ab,c,c,d,d,n,n,m,m,距离,2.4.3,平面的投影,2.4.3.1,平面的表示方法,.2,各种位置平面的投影特性,.3,平面上的点和直线,2.4.3.1,平面的表示方法,用几何元素表示平面有五种形式：,不在一直线上的三个点；,一直线和直线外一点；,相交两直线；,平行两直线；,任意平面图形。,c,a,b,b,a,c,a,b,b,c,a,c,a,b,b,c,a,c,b,b,a,c,a,c,几何元素表示法,a,b,c,a,b,c,d,d,迹线表示法,迹线：,平面和投影面的交线。,V,W,H,Z,Y,O,X,P,P,W,P,H,P,V,X,Z,Y,W,Y,H,O,P,W,P,V,P,H,2.4.3.1,平面的表示方法,迹线：,平面和投影面的交线。,V,W,H,Z,Y,O,X,Q,W,Q,H,Q,V,X,Z,Y,W,Y,H,O,Q,Q,V,Q,W,Q,H,迹线表示法,2.4.3.1,平面的表示方法,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,水平面,/,H,，,V,、,W,正平线,/,V,，,H,、,W,侧平线,/,W,，,H,、,V,平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直,投影面平行面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,投影特性,H,反映实形,V,、,W,积聚成一直线，,OZ,倾角,0,90,水平面,V,W,H,Z,Y,O,X,p,p,p,P,X,Z,Y,W,Y,H,O,p,p,p,（,TS,）,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,投影特性,V,反映实形,H,、,W,积聚成一直线，,OY,倾角,0,90,V,W,H,Z,Y,O,X,q,Q,q,q,X,Z,Y,W,Y,H,O,q,q,q,（,TS,）,正平面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,投影特性,W,反映实形,H,、,V,积聚成一直线，,OX,倾角,0,90,V,W,H,Z,Y,O,X,r,r,X,Z,Y,W,Y,H,O,r,r,r,（,TS,）,r,R,侧平面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,V,W,H,Z,Y,O,X,r,r,X,Z,Y,W,Y,H,O,r,r,r,（,TS,）,r,R,投影面平行面的投影特性：,在所平行的投影面上的投影反映实形,在另外两个投影面上积聚成直线，且垂直于相关的投影轴,侧平面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,铅垂面,H,，,V,、,W,正垂线,V,，,H,、,W,侧垂线,W,，,H,、,V,垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面,投影面垂直面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,p,p,投影特性,H,积聚成一直线，,反映,、,倾角,V,、,W,反映类似形,V,W,H,Z,Y,O,X,X,Z,Y,W,Y,H,O,p,p,c,p,P,p,P,铅垂面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,投影特性,V,积聚成一直线，,反映,、,倾角,H,、,W,反映类似形,V,W,H,Z,Y,X,q,X,Z,Y,W,Y,H,O,q,q,q,O,Q,q,q,正垂面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,r,r,投影特性,W,积聚成一直线，,反映,、,倾角,H,、,V,反映类似形,V,W,H,Z,Y,O,X,R,X,Z,Y,W,Y,H,O,r,r,r,r,侧垂面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,r,r,V,W,H,Z,Y,O,X,R,X,Z,Y,W,Y,H,O,r,r,r,r,投影面垂直面的投影特性：,在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角,在另两个投影面上的投影是类似图形,侧垂面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,一般位置平面,V,W,H,Z,Y,O,X,一般位置平面,对三个投影面都倾斜的平面,b,a,a,c,a,c,b,b,c,X,Z,Y,W,Y,H,O,b,b,b,a,c,a,c,a,c,A,B,C,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,V,W,H,Z,Y,O,X,b,a,a,c,a,c,b,b,c,X,Z,Y,W,Y,H,O,b,b,b,a,c,a,c,a,c,A,B,C,一般位置平面的投影特性：,三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积,不反映平面对投影面的倾角,一般位置平面,2.4.3.2,各种位置平面的投影特性,平面内的点,点在平面内的某一条直线上,平面内的直线,通过平面内两个点,过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线,A,b,c,H,a,C,B,M,N,m,n,A,b,c,H,a,C,B,M,m,E,e,存在条件,2.4.3.3,平面上的点和直线,【,例,2-10】,已知平面,ABC,的两面投影及直线,EF,的水平投影,ef,。,直线,EF,在平面,ABC,上，求作,EF,的,V,面投影。,e,f,a,b,c,1,a,b,c,e,f,1,【,例,2-11】,已知平面图形,ABCDEFG,的,V,面投影及直线,AB,和,CD,的水平投影。试完成其,H,面投影。,X,O,c,a,b,a,c,b,d,d,e,f,e,f,g,g,2.4.4,直线与平面、平面与平面的相对位置,2.4.4.1,平行问题,.2,相交问题,.3,垂直问题,2.4.4.1,平行问题,直线和平面平行,若平面外一直线平行于平面内任一直线，则该直线和平面互相平行。,P,C,D,A,B,【,例,2-12】,已知,ABC,和,M,点，作过,M,点的水平线,MN,/,ABC,。,n,n,m,m,a,b,c,d,a,b,c,d,X,O,【,例,2-13】,判断直线,MN,与平面,ABCD,是否平行。,e,f,e,f,O,n,m,X,m,a,d,b,c,c,d,a,b,n,O,b,b,X,a,p,p,a,当平面的某一投影具有积聚性时，则该投影可反映平面和直线的平行关系。,2.4.4.1,平行问题,直线和平面平行,若两平面内分别有一对,相交,直线,对应,平行，则两平面互相平行。,B,C,A,P,Q,E,D,F,2.4.4.1,平行问题,平面和平面平行,【,例,2-14】,已知,ABC,和,M,点,，,过,M,点作平面平行于,ABC,。,a,b,c,a,b,c,m,m,e,e,f,f,X,O,【,例,2-15】,判断,ABC,和平面,DEFG,是否平行。,X,O,c,b,a,a,b,c,d,g,f,f,e,d,e,m,n,n,m,g,p,q,q,p,X,O,当两平面均垂直于某投影面时，它们有积聚性的投影可直接反映平行关系。,2.4.4.1,平行问题,平面和平面平行,P,A,B,K,A,B,C,M,N,交 点,直线和平面的,共有点,交 线,两平面的,共有线,（两个共有点）,P,直线和平面相交,平面和平面相交,2.4.4.2,相交问题,一般位置直线和特殊位置平面相交,若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。,A,B,K,P,H,a,b,k,2.4.4.2,相交问题,a,b,p,a,b,p,k,k,【,例,2-16】,一般位置直线,AB,与铅垂面,P,相交，求作交点,K,。,直观判别法,可见性判别,O,X,投影面垂直线和一般位置平面相交,直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用,面上取点,的方法求出。,K,k,d,m(n),b,A,B,H,a,C,c,D,M,N,2.4.4.2,相交问题,m(n),b,a,c,d,m,a,b,c,n,d,k,k,1,2,1, 2,(,),e,e,【,例,2-17】,铅垂线,MN,与平面,ABCD,相交，求作交点,K,。,可见性判别,重影点判别法,X,O,两特殊位置平面相交,两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。,2.4.4.2,相交问题,【,例,2-18】,铅垂面,P,和,Q,相交，求作交线,KL,，并判别可见性。,O,X,p,p,q,q,kl,k,l,一般位置平面与特殊位置平面相交,b,A,B,P,H,a,C,c,M,N,m,n,两平面的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。,2.4.4.2,相交问题,【,例,2-19】,求一般位置平面,ABC,与,铅垂面,Q,的交线,KL,。,a,b,q,a,b,q,c,c,k,l,k,l,O,X,一般位置直线和一般位置平面相交,H,M,N,P,A,C,B,E,F,K,辅助平面法,包含一般位置直线作一辅助平面，通常作投影面的垂直面,作辅助平面和一般位置平面的交线,求作此交线和一般位置直线的交点,2.4.4.2,相交问题,k,【,例,2-20】,一般位置直线,MN,和一般位置平面,ABC,相交，求交点,K,，并判别可见性。,1,2,e,f,f,e,n,m,H,M,N,P,A,B,C,E,F,K,c,a,m,n,c,a,b,b,P,H,k,1, 2,(,),3,3,4,(,),4,O,X,两一般位置平面相交,可采用直线与平面求交点的方法求得。,2.4.4.2,相交问题,直线与平面垂直,直线与平面垂直的几何条件：,若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。,若直线与平面垂直，则该直线垂直于平面内的所有直线。,P,A,B,C,D,K,L,E,F,M,N,2.4.4.3,垂直问题,H,a,X,V,a,O,c,b,a,c,b,m,m,M,N,n,n,A,B,C,c,m,n,b,m,a,n,c,b,直线与平面垂直的投影特性：,直线的,H,面投影与平面内水平线的,H,面投影,垂直；,直线的,V,面投影与平面内正平线的,V,面投影垂直；,直线的,W,面投影与平面内侧平线的,W,面投影垂直；,X,直线与平面垂直,2.4.4.3,垂直问题,【,例,2-21】,已知,ABCD,为矩形，试完成其投影。,X,O,c,a,b,c,b,d,d,1,2,1,2,【,例,2-22】,求点,M,到直线,AB,的距离。,X,a,b,a,b,m,m,k,k,2,1,2,1,距离,平面与平面垂直,平面与平面垂直的几何条件：,若直线,垂直于平面,，,则包含此直线的所有,平面和该平面垂直。,若两平面互相垂直，过其中一平面内任一点作另一平面的垂线，则垂线必在该平面内。,M,N,Q,P,R,P,Q,M,N,2.4.4.3,垂直问题,【,例,2-23】,过,MN,求作一平面垂直于,ABC,。,a,c,c,a,b,b,m,n,n,m,l,l,O,X,