3.5--大数定律与中心极限定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3,5,大数定律与中心极限定理,一、依概率收敛,二、大数定律,三、中心极限定理,一、依概率收敛,设,X,X,1,X,2,X,n,是一列随机变量,如果对任意,0,恒有,定义,3,12(,依概率收敛,),二、大数定律,定理,3,8(,伯努利大数定律,),设,n,是,n,重伯努利试验中事件,A,发生的次数,已知在每次试验中,A,发生的概率为,p,(0,p,1),则对任意,0,有,如果记,则,(3,87),可改写为,提示,定理,3,9(,切比雪夫大数定律,),设,1,2,n,是一列两两不相关的随机变量,它们的数学期望,E,i,和方差,D,i,均存在,且方差有界,即存在常数,C,使得,D,i,C,(,i,1,2,),则对任意,0,有,推论,设,1,2,n,是一列独立同分布的随机变量,其数学期望和方差均存在,记,E,i,则对任意,0,有,定理,3,10(,辛钦大数定律,),设,1,2,n,是一列相互独立同分布的随机变量,且数学期望存在,记,E,i,则有,说明,要解决的问题,:,1.,为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？,2.,大样本统计推断的理论基础是什么？,三、中心极限定理,记,标准化,注：,（,1,）中心极限定理表明大量独立同分布的随机变量之和都近似服从正态分布。,（,2,）作用,由此可近似求出由,生成的任何事件的概率,例,3,30,一盒同型号螺丝钉共有,100,个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是,100g,标准差是,10g,求一盒螺丝钉的重量超过,10,2kg,的概率,设,i,为第,i,个螺丝钉的重量,(,i,1,2,100),且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量为,1,2,100,且,解,由中心极限定理有,1,0,(2),1,0,97725,0,02275,定理,3,12(,棣莫弗,拉普拉斯中心极限定理,),设,X,n,b,(,n,p,),0,p,1,则,定理表明,当,n,充分大时,二项分布可用正态分布来近似,下面的图形表明,:,正态分布是二项分布的极限分布,.,例,3,31,设某电站供电网有,10000,盏电灯,夜晚每盏灯开灯的概率为,0,7,而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯的盏数在,6800,与,7200,之间的概率,表示在夜晚同时开着的灯的盏数,则,b,(10000,0,7),于是,E,10000,0,7,7000,D,10000,0,7,0,3,2100,由中心极限定理,有,解,2,0,(4,36),1,0,99999,例,3,32,某仪器由,n,个电子元件组成,每个电子元件的寿命服从,0,1000,上的均匀分布,(,单位,h),当有,20%,的元件烧坏时,仪器便报废,求为使该仪器的寿命超过,100h,的概率不低于,0,95,n,至少为多大,?,设,X,表示仪器的寿命,X,i,表示第,i,个电子元件的寿命,记,A,i,X,i,100,表示,n,个事件,A,i,(,i,1,2,n,),中发生的个数,解,例,3,32,某仪器由,n,个电子元件组成,每个电子元件的寿命服从,0,1000,上的均匀分布,(,单位,h),当有,20%,的元件烧坏时,仪器便报废,求为使该仪器的寿命超过,100h,的概率不低于,0,95,n,至少为多大,?,设,X,表示仪器的寿命,X,i,表示第,i,个电子元件的寿命,记,A,i,X,i,100,表示,n,个事件,A,i,(,i,1,2,n,),中发生的个数,解,记,X,为,200,台机器中工作着的机器台数,则,X,是随机变量,服从参数为,200,0,6,的二项分布,并且,np,120,npq,48,解,补充例,2,某车间有,200,台机床独立地工作着,设每台机床开工率为,0,6,开工时耗电,1,千瓦,问供电所至少要供多少电才能以不小于,99,9%,的概率保证车间不会因供电不足而影响生产,按题意,求最小的,r,使,P,(0,X,r,),0,999,因为,解,补充例,2,某车间有,200,台机床独立地工作着,设每台机床开工率为,0,6,开工时耗电,1,千瓦,问供电所至少要供多少电才能以不小于,99,9%,的概率保证车间不会因供电不足而影响生产,记,X,为,200,台机器中工作着的机器台数,则,X,是随机变量,服从参数为,200,0,6,的二项分布,并且,np,120,npq,48,按题意,求最小的,r,使,P,(0,X,r,),0,999,因为,解得,r,141,因此供电所至少供电,141,千瓦,才能以不小于,99,9%,的概率保证车间不会因供电不足而影响生产,解,补充例,3,设某单位为了解人们对某一决议的态度进行抽样调查,设该单位每个人赞成该决议的概率为,p,且人与人之间赞成与否相互独立,p,未知,(0,p,1),试问要调查多少人,才能使赞成该决议的人数的频率与,p,相差不超过,0,01,概率达,0,95,以上,设,Y,n,为所调查的,n,个人中赞成该决议的人数,则,Y,n,B,(,n,p,),问题是求最小的,n,使,根据极限定理,在,n,充分大时有,解,设,Y,n,为所调查的,n,个人中赞成该决议的人数,则,Y,n,B,(,n,p,),问题是求最小的,n,使,于是,n,应满足不等式,n,(196),2,pq,注意到当,0,p,1,时,必有,故,n,只需满足如下不等式,因此所需要的抽样调查人数为,9604,人,小结,两个中心极限定理,林德贝格-列维中心极限定理,隶莫佛拉普拉斯定理,中心极限定理表明,在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分布,.,