第九讲+扭转构件应力、变形、强度、刚度计算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,圆轴扭转变形及强度、刚度计算、矩形截面杆的自由扭转,教学要求：,1、,掌握圆轴扭转时横截面上的应力，圆轴扭转时的变形；,2、,掌握圆轴扭转的强度计算与刚度计算,；,重点：,圆轴扭转横截面上的应力及强度计算与刚度计算。,3,、,了解矩形截面杆的自由扭转。,难点：,危险截面的判断,、,矩形截面杆的自由扭转,。,学时安排：,2,教学内容,Mechanic of Materials,第九讲的,内容、要求、重难点,目录,第三章 扭 转,Mechanic of Materials,第九讲内容目录, 3.5,圆轴的扭转变形, 3.,6,圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,(,自学,), 3.,7,矩形截面杆的自由扭转,(,自学,), 3.5,圆轴的扭转变形,一、受扭圆轴的相对扭转角,圆杆受扭矩作用时，,dx,微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角,沿轴线方向积分，得到,相对扭转角,抗扭刚度,Mechanic of Materials,对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，,两端面的相对扭转角,为：,对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的,阶梯状圆轴,，轴两端面的相对扭转角必须分段求解再求和，为,：,二、,单位,长度的相对,扭转角,单位长度扭转角即扭转角的变化率。单位长度相对扭转角为：, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,三、圆轴扭转应力和变形公式的前提或适用范围,1,、材料均匀连续、各向同性、处于线弹性范围内的小变形。,2,、等截面圆轴。,例,3-4,：如图所示，求圆轴的两端面的相对扭转角，,G=80GPa,。,解：两端面的相对扭转角,可分段求各段的扭转角，再求其代数和：,由, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials, 3.5,圆轴的扭转变形,一、强度计算,1,、危险面,2,、危险点,3,、强度条件：,T,max,、,W,t,危险面上的扭矩、抗扭截面模量,注意：,Mechanic of Materials,扭矩最大的截面,(,T,max,),，或抗扭截面模量最小的截面,W,tmin,，或扭矩与抗扭截面模量之比 最大处的截面,危险面上应力最大,的点，圆轴危险面上的边缘各点。,当扭矩有变化时要画扭矩图；全杆扭矩不变可不画扭矩图。, 3.5,圆轴的扭转变形,二、刚度计算,1,、刚度条件：,或,2,、注意：,（,1,）,T,max,为危险面上的扭矩绝对值。,(2),max,是危险面杆段的单位扭转角。,Mechanic of Materials,例,3-5,：传动轴转速,n=300r/min,主动轮,A,输入功率,P,kA,=400kW,，,三个从动轮输出功率,P,kB,=,P,kC,=100kW,，,P,kD,=200kW,。若,，试设计轴的半径。,解：（,1,）计算外力偶矩, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,（,2,）画扭矩图如图,(b),所示。可见，内力最大的危险面在,AC,段内，最大扭矩值,T,max,=9549Nm,。,（,3,）确定轴的直径,d,按强度条件得：,按刚度条件得,:,故，, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,例,3-5,例,3-6,：已知：,n=300r/min,功率,P,=300kW,。空心轴内外径的比,d/D,=0.5,试：（,1,）设计截面尺寸（空心轴外径）,（,2,）若采用实心轴直径多大？,（,3,）实、空两轴重量比多大？,解：（,1,）设计空心轴尺寸,1,）求外力矩：,2,）求极惯矩,I,P,、抗扭截面模量,W,t, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,之一,d/D,=0.5,4,）按刚度条件设计,3,）按强度条件设计：,例,3-6, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,(1),设计空心轴尺寸,D,之二,（,2,）设计实心轴的直径,D,3,（,3,）,实、空两轴重量比,重量比,d/D,=0.5,例,3-6, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,之三,ABC,段是外径,D,=100mm,、内径,d=80mm,空心轴；,CD,段是直径为,d=80mm,的实心轴。两轴在,C,处，通过键联结在一起。,剪切的许用切应力,例,3-7,：已知：主动轮的输出功率,P,k,A,=220.66kW,，二个从动轮输出功率,P,kB,=,P,kD,=110.33kW,。轴的转速,n=300r/min,试：（,1,）校核轴的强度和刚度。不考虑键的影响。,（,2,）为了使轴和键不破坏，来计算键的个数。,许用扭转切应力,许用单位扭转角, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,和许用挤压应力分别为,例,3-7,（之一）,Ps,马力,P,k,A,=220.66,kW,，,P,kB,=,P,kD,=110.33,kW,，,n=300r/min,D,=100mm,、,d=80mm, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,试：（,1,）校核轴的强度和刚度。不考虑键的影响。,（,2,）为了使轴和键不破坏，来计算键的个数。,例,3-7,（之二）,m,m,m-m,P,k,A,=220.66kW,，,P,kB,=,P,kD,=110.33kW,，,n=300r/min,D,=100mm,、,d=80mm, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,解：（,1,）校核轴的强度和刚度,1,）计算外力偶矩，画扭矩图,扭矩图如图,(b),所示。,你认为该轮系布置合理不？,例,3-7,（之三）,交换、轮, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,2,）刚度校核：只计算,AB,、,CD,段,例,3-7,（之四）,3,）强度校核：,轴的强度不够,是不是重新换个轴呢,？, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,例,3-7,（之五）,（,2,）计算键的个数,n,：每个键发生单剪,1,）由强度条件设计：,取,n=3,2,）校核挤压强度：,例,3-,：已知,m,、,a,、,b,求图示构件所受反力偶,超静定问题, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,一、斜截面的应力分布, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,n,t,探讨,讨论：,二、几种材料的扭转破坏,脆性材料,塑性材料,木杆, 3.5,圆轴的扭转变形,Mechanic of Materials,低碳钢试件：,沿横截面断开。,铸铁试件：,沿与轴线约成,45,的螺旋线断开。,由切应力互等定理纵向截面面上也有最大的切应力，而,木杆沿纹路的方向抗剪的能力差，,故沿纵向开裂。,探讨,作业,P.101 3-5,、,6,、,11,作业, 3.,7,矩形截面杆的自由扭转（自学）,1,、自由扭转：,2,、约束扭转：,一、矩形截面杆的扭转与圆轴扭转的区别,翘曲,扭转后，横截面将不再保持平面。,角点切应力等于零；,边缘各点切应力沿切线方向。,3,、矩形截面杆在自由扭转时主要结果，见,教材,P.55,。,Mechanic of Materials,当,h,/b,10,时,表,3-1,中查出。,(,教材,P.56),Mechanic of Materials, 3.,7,矩形截面杆的自由扭转,的作用。已知材料的许用扭转切应力,例,3-9,：矩形截面钢杆，在两端受外力偶矩,，剪切弹性模量为,，杆件的许用单位扭转角,求：（,1,）杆内最大切应力,max,的大小、位置。校核杆的强度。,（,2,）校核杆的刚度。,Mechanic of Materials, 3.,7,矩形截面杆的自由扭转,例,3-11,求：（,1,）杆内最大切应力,max,的大小、位置。校核杆的强度。,（,2,）校核杆的刚度。,Mechanic of Materials, 3.,7,矩形截面杆的自由扭转,（,2,）因,h/b,=2,，查表可得：,，,解：（,1,）最大切应力,max,发生在横截面两长边的中点。,故：,（,3,）校核杆的强度,强度够,（,4,）校核杆的刚度。,刚度够。,本章小结,1,、主要研究圆轴受扭转时的内力,应力,变形的分析方法及其强度和刚度的计算,.,对于非圆截面杆的扭转问题只作简要的介绍并给出主要结论,.,一、本章所讲内容,2,、通过对拉伸,压缩,剪切与扭转变形问题的学习,我们已经初步学会了材料力学分析问题和解决问题的基本方法,.,即首先分析杆件承受外力及变形的特点,然后从静力平衡,变形的几何协调和力与变形间的物理关系等三方面来进行问题的分析,.,这一基本方法贯穿在整个材料力学课程中,在解超静定问题中显得更加重要,.,在学习各种基本变形问题时,我们都应该遵循下列理论线索循序渐进逐一解决,.,应力强度条件,外力内力 解决三类问题,变形刚度条件,3,、使杆产生扭转变形的作用,在与杆轴线垂直的平面内的力偶,工程中有时给出功率,根据力矩作功的原理,可得到功率,.,转速计算外力偶矩的计算式,:,m=9550P/n,4,、受扭杆件横截面上的内力是作用在该截面上的力偶称为扭矩,.,扭矩是内力偶矩,.,它与外力偶矩有关,但又不同于外力偶矩,.,扭矩用截面法求,注意其符号规定,.,5,、扭矩图表示杆件各截面上的扭矩沿杆轴的变化规律,.,画扭矩图一般用截面法,.,注意截开后一般假设正号的扭矩,Mn ,然后再用静力平衡条件求,要求能正确熟练求出任一横截面上的扭矩并作出全轴扭矩图,.,能根据扭矩图确定受扭杆件的危险截面位置,.,从而进行强度及刚度计算,能根据扭矩图和扭矩的正负,从物理概念出发定出横截面上切应力的方向和杆件扭转角的转向,.,6,、切应力计算公式,7,、扭转变形,理解其相对性,8,、极惯性矩和抗扭截面模量,实心,空心,9,、强度、刚度条件,二、注意,:,1,、在应用上述公式时需注意四点：,正确确定,T,；,单位一致 ；,危险截面的判断,。,2,、关于公式的应用条件,扭转切应力公式是圆轴在弹性范围内导出的，其适用条件是：,（1）. 必须是圆轴，否则横截面将不再保持平面，变形协调公式,将不再成立。,三、圆轴强度与刚度设计的一般过程,1、,根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。,2、,应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。,3、,根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,4、,计算危险截面上的最大切应力，以及危险杆段单位长度上的相对扭转角。,5、,根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核，设计轴的直径以及确定许用载荷。,