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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,计算流体力学讲义,2011,第十一讲 湍流与转捩 （,1,）,；力学所主楼,219,；,82543801,知识点：,讲义、课件上传至,(,流体中文网）,-,“流体论坛”,-,“,CFD,基础理论,”,讲课录像及讲义上传至网盘,线性稳定性理论,转捩的预测方法,壁湍流转捩的涡动力学机制,1, 11.1,线性稳定性理论,一、 稳定性基本概念,常识：流体中的不稳定性,K-H,不稳定性,A. K-H (Kelvin-Helmholtz,）不稳定性,自由剪切流,的,无粘,不稳定性,混合层, K-H,不稳定性,K-H,不稳定性的关键：,速度剖面有拐点,Lee-Lin:,速度剖面的拐点是无粘不稳定性的必要条件,流体不禁搓，一搓搓出涡,已知某运动状态；,在此基础上施加微小扰动；,如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定,2,自然界中,K-H,不稳定性图片,智利塞尔扣克岛的卡门涡街,澳大利亚,Duval,山上空的云,KelvinHelmholtz instability clouds in San Francisco,佛兰格尔岛周围的卡门涡街,高速流,低速流,自由剪切层受到扰动界面变形后的情况,K-H,不稳定性的产生机理,受阻减速，压力升高，产生高压区,高压导致变形加剧,3,B. T-S (Tollmien-Schlichting),不稳定性,不可压,壁面剪切流,的,粘性,不稳定性,Mack,不稳定性,超声速壁面剪切流的不稳定性,不可压边界层速度剖面 （,Blasius,解）,无拐点,可压缩情况, Mach,数足够高时会出现广义拐点,出现无粘不稳定性,不可压缩无粘,不稳定性,需存在拐点,可压缩无粘,不稳定性,需存在广义拐点,Mach 6,钝锥（,1,攻角）,不同子午面 的分布,超音速平板边界层的不稳定波,第,1,模态（,T-S,波）,第,2,模态 （,Mack,模态）,4,激波,密度界面,R-M (Richtmyer-Meshkov),不稳定性,激波与密度界面作用的,斜压,效应,惯性约束聚变（,ICF,）示意图,小知识,涡的产生机制：,粘性、 斜压、有旋的外力,激波,密度界面,斜压项,5,D. R-T (,Reyleigh-Taylor),不稳定性,重力带来的不稳定性,R-T (Reyleigh-Taylor),不稳定性,重介质,轻介质,6,E Barnard,热对流不稳定性,其他学科的不稳定性：,Euler,压杆的不稳定性,Barnard,热对流的胞格结构,板壳的不稳定性,7,二、 稳定性问题的常用数学方法,线性稳定性分析,Step 1:,得到线性化的扰动方程,控制方程为：,已知其具有解,最好是精确解，也可用高精度的数值解,令,：,舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程,（,1,）,例如： 平板的,Blasius,解，槽道的,Poiseuille,解,线性方程,8,Step 2:,求解 的特征值问题,什么条件下具有非零解，非零解如何？,通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题,数值方法： 将 （,1,） 离散,代数方程,何时有非零解， 非零解如何？,特征值问题,什么条件下有非零解？,特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题,9,三、 稳定性问题示例,不可压缩槽道流动的线性稳定性（,LST,）理论,(,以二维为例,),Step 1:,获得线性化扰动方程,令,：,Poiseuille,解：,(2),代入方程（,2,），并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程,（,3,）,1,） 控制方程及边界条件,10,研究扰动发展的空间模式和时间模式,扰动源,空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性,符合物理条件,假设扰动具有如下形式：,沿流向及时间方向具有波动特性,称为,Tolmien-Schlichting,（,T-S,）波,任意扰动可分解为正弦波的叠加,线性系统各成分无相互作用,可独立研究,为实数,为复数,扰动波的振幅沿流向指数变化,空间增长率,时间模式： 扰动具有流向的周期性,假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化,为实数,为复数,扰动波的振幅虽时间变化,时间增长率,11,以时间模式为例：,（,4,）,（,5,）,（,6,）,线性偏微方程（,3,）转化成为含参数的线性常微方程组（,4,）,-,（,6,）,谱方法的常规做法,通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的）,常用做法，通常还可以反向为之： 高阶方程转化为低阶方程组,消去,Orr-Sommerfeld,（,O-S),方程,其中：,12,最终，控制方程为,O-S,方程：,边界条件：,y=,1,（固壁）,:,y=0,（中心线，对称）,：,可以取计算域,-1,1,使用固壁边界条件；,也可以取计算域,-1,0,使用固壁及对称边界条件,流函数形式的,O-S,方程,引入流函数，使得：,计算出 后，利用公式,计算其他两个量,则：,令：,常数倍,满足的方程及边界条件与 完全相同,。,13,如果 恒大于（或恒小于,0,），则必有,小知识： 关于,O-S,方程,1,）,O-S,方程适用于不可压,平行流,的稳定性问题 （不仅槽道流）,2,） 准平行流 （流线沿,x,方向接近平行）也可使用（例如边界层流动）,3,）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为,Rayleigh,方程,Rayleigh,拐点定理：,Rayleigh,方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点 使得,若存在无粘不稳定性，该项必有,0,点。,分部积分，并取虚部，得：,不存在非稳定解,14,2,）,O-S,方程的解法,数学表述,奇性（特征值）问题：,参数 为何值时，方程有非零解？,非零解如何？,时间发展槽道湍流：,(,通常,),给定,Re,及,a,，问,w,取何值时，,O-S,方程有非零解？,增长率,求解步骤：,1,） 将,O-S,方程离散，得到线性代数方程组,离散方法： 差分法、有限元法、谱方法、打靶法,2,） 求,w,，使得该方程有非零解（奇性或特征值问题）,.,求出,w,局部法：只求出一个,w,全局法：计算出全部的,w,15,试计算 的时间发展槽流中,（即波长,2,p,）,T-S,波的频率及增长率,四,:,例题,Step 1:,离散 （差分法）,一维问题,网格： 均匀网格 （简单，但需要较多网格点,N 300,）,非均匀网格,差分离散：,2,阶格式,4,阶格式：自行推导 （利用小程序）,非均匀网格：,16,问题：,会产生大量非物理解 （例：,1000,个网格点算出,1000,个特征值） ； 可通过不同网格的对比，进行筛选,离散化后得,：,Step 2:,求广义解特征值问题（,1,）,即,w,为何值时（,1,）有非零解,(1),方法,1,： 全局法,一次计算出全部特征值,常用,Q-Z,分解法,;,其他： 幂法、反幂法、,Jacobi,法，,Householder ),狭义特征值问题,广义特征值问题,求解特征值是计算数学的主要研究方向，有大量成熟的方法,可借助软件包或,Lapack,库等 （自行到网上搜索）,通常关心最不稳定的扰动波,最大的那个,17,方法,2,： 局部法,令：,方法：,Newton,法， 弦位法，抛物线（,Muler,）法,Newton,法：,弦位法：,差分化,抛物线法：,已知：,可连成一条抛物线,令：,求出新的值,消元法计算行列式（利用,5,对角特征）,计算出 后，求解方程（,1,）就可得到特征向量,。,（,1,）,方程有奇性，可补充一个条件，例如给定某个点的值,18,效果更好的方法, Malik,提出的紧致差分格式求解,参考文献,:,周恒等：,流动稳定性,（,p. 10-13,），国防工业出版社,非均匀网格的超紧致格式（,4,阶精度）,优点： 紧致,网格基仅,2,点,精度高, 4,阶,直接适用于非均匀网格,无需坐标变换,原方程组：,形式变换,变为一阶方程组,通常的做法,推导仓促,可能有误,请仔细推导,19,与,y,无关,令：,带入差分格式：,得：,20,令：,边界处表达式,(C,1,D,1,C,N,D,N,),根据边界条件而定,内点的表达式,特点： 离散形成的代数方程组呈,块两对角,特征,求行列式，特征值都非常便利！,其余步骤与前文相同,可用矩阵广义特征值理论计算全部模态,也可利用 计算单个模态,计算域可以取为,-1,1,。,也可取为,-1,0,， 在中心线给对称（或反对称）边界条件,21,边界条件,1,） 如果取完整计算域,-1,1,2),如果取一半计算域,-1,0,处可设定对称或反对称边界条件,如设定对称条件，只能计算出对称扰动模态,如设定反对称条件，只能计算出反对称模态,对于槽道流，最不稳定模态是对称模态,但有些情况下，稳定模态在转捩过程中也发挥作用（例如感受性过程，见,Zhong et al. JFM 556,55-103,2006,）,按照内点方法计算,先根据处理内点的方法，求出所有点上的,C,D,值，再对边界点进行特殊处理（,D,的前两行设为,0,，,C,的前两行设为,(1,0,0,0),及（,0,，,1,，,0,，,0,）,22,具体解法（局部法）,求解,显然,因此只需计算每个,4*4,矩阵的行列式即可,（可直接写出表达式，也可用消元法计算）,编制好计算 的子程序后，可利用,Newton,法，弦位法，抛物线法等求解 ，得到复增长率,23,计算出 后，利用消元法求解方程 ，即可得到特征向量,消元过程中，充分利用两对角块矩阵的性质，可减少计算量,独立消元,注： 由于方程有奇性，消元后，最后一个方程为,0=0,舍弃最后一个方程，并令最后一个未知数为,1,（ ），即可解出,显然,（,a,为任意常数）也是原方程的解，因此,可用某一值（例如,）归一化。,最终，得到 条件下，波数为,的最不稳定扰动波：,扰动波型函数的分布,24, 11.2,边界层转捩的预测方法,1.,经验公式法,转捩位置,Mach 6,钝锥边界层表面的摩擦系数分布,(Li et al. Phys. Fluid. 22,，,025105,，,2010.,Li et al. AIAA J. 46,（,11,），,2899-2913,，,2008),x,摩阻或热流,转捩起始点（,transition onset),转捩峰（,transition peak),充分发展湍流区,球锥的转捩,Reynolds,数,边界层外缘的,Mach,数,动量厚度定义的转捩,Reynolds,数,25,2. e,N,方法,LST,理论：,积分起始点,扰动波进入中性曲线后，开始增长，局部增长率为,e,N,理论：扰动波增长到,e,N,倍，即发生转捩,N,值需要由实验（或经验）确定，通常为,811,即扰动增长,4,个量级（,10000,倍）左右,。,在不可压缩及航空领域（亚、跨、超）较为成熟。,在航天领域（高超声速），还有待检验。,不足之处： 未考虑扰动波进入中性曲线前的衰减过程，没考虑感受性过程。,他人的改进： 苏彩虹，周恒等,考虑衰减过程,C. H. Su, and H. Zhou, Science in China G, 52 (1):115-123 (2009).,26,3. PSE,（抛物化扰动方程）法,优点：,1,） 无需平行流假设；,2,） 可处理非线性,(N-PSE),Step 1:,得到扰动的控制方程,已知解,线性化,L-PSE,N-PSE,Step 2:,假设扰动具有波动形式,振幅，沿,x,方向是个,缓变量,（相对,y,方向而言）,Step 3:,带入扰动方程，得到振幅 的控制方程,“缓变量”是个很有用的概念，可用来简化方程,Plantdl,边界层理论就是利用“缓变量”的概念进行简化的。,LST,的 方程是一维的,PSE,的 方程是二维的,Step 4:,利用缓变量性质，舍弃方程中的椭圆项（为高阶小量），得到抛物化的扰动方程,沿,x,方向推进求解 （类似时间方向的处理），计算量相当于一维问题。 （“抛物化”的优势）,非线性项的处理方法与谱方法相似,27,4.,转捩模型法 （间歇因子模型）,实际粘性系数,层流粘性系数,湍流粘性系数,（由湍流模型给定）,湍流间歇因子 （,0,表示纯层流，,1,表示纯湍流）,方法,1,）,根据经验公式，给定 沿流向的分布,方法,2,）,给出,的发展方程，进行求解,28,常识： 湍流的间歇性,外间歇性： 层流及湍流交替出现的现象,Mach 6,钝锥边界层的密度分布 （,Li et al. PoF 22, 2010),边界层有清晰锐利的界面（层流区、湍流区“泾渭分明”）,湍流信号,层流信号,内间歇性： 湍流脉动的概率密度分布偏离,Gauss,分布（随机分布）,概率论（中心极限定理）,独立随机事件满足,Gauss,分布,偏离,Gauss,分布,湍流不是完全随机的,。,既非确定，又非随机,湍流的复杂性,29,边界层湍流,DNS, Ma=0.7, 2.25,6,扰动,:,二维不稳定波,+,一对三维斜波,(,自然转捩）,壁面吹吸扰动,(Bypass),计算模型：平板边界层, 13.3,平板边界层转捩过程的涡动力学机制,30,动画演示： 平板边界层拟序结构的形成及演化,Q=10,的等值面 （流场中的涡结构）,31,发卡涡形成及发展的涡动力学机制,32,作业题,11.1,以不可压缩槽道湍流为例，推导线性稳定性理论的控制方程及边界条件。要求：,1,） 给出扰动量 满足的,线性化,控制方程及边界条件（必须有推导步骤）,2,） 推导扰动量振幅满足的,O-S,方程及边界条件 （必须有详细推导步骤）,作业题,11. 2,（选作题）,利用差分法 （最好是,MaliK,的方法，见本,PPT19-24,）计算不可压缩槽道流,(Re=7500),波长为,2,p,的最不稳定,T-S,波的频率及时间增长率 （时间模式）。要求给出复频率 及扰动波型函数 的分布曲线。,要求： 必须写出详细的计算过程 （例如类似本,PPT 19-21,页，推导出矩阵,A,B,C,D,的表达式并写出来）,。本,PPT,中的公式推导仓促，难免出现问题，切勿照搬使用，请务必推导！,可使用局部法或全局法，如使用全局法建议使用,Q-Z,分解法，可使用线性代数库或自行编制程序。,使用局部法可使用初值：,建议使用非均匀网格 ， 例如,201,网格点效果即可。,33,
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